2016年陕西省西安一中高考一模试卷数学文及答案解析.docx

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1、2016年 陕 西 省 西 安 一 中 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60分 )1.设 集 合 A=-1， 0， 1， 2， 3， B=x|x2-2x 0， 则 A B=( )A.3B.2， 3C.-1， 3D.0， 1， 2解 析 ： 由 B中 不 等 式 变 形 得 ： x(x-2) 0，解 得 ： x 0或 x 2， 即 B=x|x 0 或 x 2， A=-1， 0， 1， 2， 3， A B=-1， 3.答 案 ： C.2.若 z(1+i)=i(其 中 i 为 虚 数 单 位 )， 则 |z|等

2、于 ( )A. 22B. 32C.1D. 12 解 析 ： z(1+i)=i， 1 11 1 1 2 2i ii iz i i i ， 2 21 12 222z .答 案 ： A.3.设 a， b 是 实 数 ， 则 “ a b” 是 “ a 2 b2” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 本 题 考 查 的 判 断 充 要 条 件 的 方 法 ， 我 们 可 以 根 据 充 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 ， 此 题 的 关键 是 对 不 等 式 性 质 的 理

3、解 .因 为 a， b 都 是 实 数 ， 由 a b， 不 一 定 有 a 2 b2， 如 -2 -3， 但 (-2)2 (-3)2， 所 以 “ a b” 是 “ a2 b2” 的 不 充 分 条 件 ；反 之 ， 由 a2 b2也 不 一 定 得 a b， 如 (-3)2 (-2)2， 但 -3 -2， 所 以 “ a b” 是 “ a2 b2” 的不 必 要 条 件 .即 “ a b” 是 “ a2 b2” 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 .答 案 ： D4.已 知 5 12 5( )sin ， 那 么 cos =( )A. 25B. 15 C. 15D. 25解 析 ：

4、5 122 2 2 5sin sin sin cos （ ） （ ） （ ） .答 案 ： C.5.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n的 值 为 3， 则 输 出 s 的 值 是 ( ) A.1B.2C.4 D.7解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 及 已 知 中 输 入 3， 可 得 ： 进 入 循 环 的 条 件 为 i 3， 即 i=1， 2， 3.模 拟 程 序 的 运 行 结 果 ， 即 可 得 到 输 出 的 S 值 .当 i=1时 ， S=1+1-1=1；当 i=2时 ， S=1+2-1=2；当 i=3时 ， S=2+3-1=4；当 i=4

5、时 ， 退 出 循 环 ， 输 出 S=4.答 案 ： C.6.某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 的 体 积 是 ( ) A. 16B.13C. 23D.1解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 是 一 个 三 棱 锥 ， 其 中 PA 底 面 ABC， PA=2， AB BC， AB=BC=1. 21 1 112 2 2ABCS AB BC . 因 此 1 1 1 123 3 2 3ABCV S PA .答 案 ： B.7.在 函 数 y=cos 丨 2x 丨 ， y=丨 cosx 丨 ， y=cos(2x+ 6 ) y=tan(2x-

6、4 )中 ， 最 小 正周 期 为 的 所 有 函 数 为 ( )A. B. C. D. 解 析 ： 根 据 三 角 函 数 的 周 期 性 ， 求 出 各 个 函 数 的 最 小 正 周 期 ， 从 而 得 出 结 论 . y=cos 丨 2x 丨 =cos2x， 它 的 最 小 正 周 期 为 22 ， y=丨 cosx丨 的 最 小 正 周 期 为 1 22 1 ， y=cos(2x+ 6)的 最 小 正 周 期 为 22 ， y=tan(2x- 4)的 最 小 正 周 期 为 2 .答 案 ： A. 8.已 知 D 为 ABC的 边 BC 的 中 点 ， ABC所 在 平 面 内 有

7、一 个 点 P， 满 足 PA PB PC ， 则PDAD 的 值 为 ( ) A.13B. 12C.1D.2解 析 ： 如 图 所 示 ， PA PB PC ， PA 是 平 行 四 边 形 PBAC的 对 角 线 ， PA与 BC的 交 点 即 为 BC 的 中 点 D. 1PDAD .答 案 ： C.9.已 知 a 0， 实 数 x， y满 足 ： 1 3 3xx yy a x ， 若 z=2x+y的 最 小 值 为 1， 则 a=( )A.2 B.1C. 12D. 14解 析 ： 作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， (阴 影 部 分 ) 由 z=2x+y， 得 y=-2

8、x+z，平 移 直 线 y=-2x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-2x+z经 过 点 C 时 ， 直 线 y=-2x+z的 截 距 最 小 ， 此时 z 最 小 .即 2x+y=1，由 12 1xx y ， 解 得 1 1xy ，即 C(1， -1)， 点 C也 在 直 线 y=a(x-3)上 ， -1=-2a，解 得 a= 12 . 答 案 ： C.10.已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 C 的 右 焦 点 为 F(1， 0)， 离 心 率 等 于 12 ， 则 C 的 方 程 是 ( )A. 2 2 13 4x y B. 2 2 14 3x y C. 2 2 14 2x

9、 y D. 2 2 14 3x y 解 析 ： 由 题 意 设 椭 圆 的 方 程 为 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0). 因 为 椭 圆 C的 右 焦 点 为 F(1， 0)， 所 以 c=1， 又 离 心 率 等 于 12 ，即 12ca ， 所 以 a=2， 则 b2=a2-c2=3.所 以 椭 圆 的 方 程 为 2 2 14 3x y .答 案 ： D.11.在 ABC 中 ， A=60 ， BC= 10 ， D 是 AB 边 上 的 一 点 ， CD= 2 ， BCD 的 面 积 为 1， 则AC的 长 为 ( ) A.2 3B. 3C. 33D. 2 33解 析

10、 ： BC= 10 ， CD= 2 ， BCD的 面 积 为 1， 0 12 21 1 sin DCB ， 55sin DCB ， 则 2 55cos DCB ，则 BD2=CB2+CD2-2CD CBcos DCB=4， 得 BD=2，在 BDC中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 4 2 102 2 222cos BDC ， BDC=135 ， ADC=45 ，在 ADC中 ， ADC=45 ， A=60 ， DC= 2 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 45 602ACsin sin ， 2 33AC . 答 案 ： D.12.已 知 函 数 2 ln xf x x x ， 则 函 数

11、y=f(x)的 大 至 图 象 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 由 题 意 可 得 ， 函 数 的 定 义 域 x 0， 并 且 可 得 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 满 足 f(-1)=f(1)=1， 可 排 除 B、 C 两 个 选 项 . 当 x 0 时 ， ln x lnxt x x 在 x=e时 ， t 有 最 小 值 为 1e ， 函 数 2 lnxy f x x x ， 当 x 0 时 满 足 2 1 0y f x e e ，因 此 ， 当 x 0 时 ， 函 数 图 象 恒 在 x 轴 上 方 ， 排 除 D 选 项 .答 案 ： A二 、 填 空 题 (本

12、大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ) 13.已 知 a 与 b 为 两 个 不 共 线 的 单 位 向 量 ， 若 向 量 a b 与 向 量 ka b 垂 直 ， 则 实 数 k= .解 析 ： 向 量 a b 与 向 量 ka b 垂 直 ， 它 们 的 数 量 积 为 零 ， 即 ： 0a b ka b . 2 21 0ka k a b b . a 与 b 为 两 个 单 位 向 量 ， 2 2 1a b .所 以 式 化 为 ： 1 1 0k k a b 即 ： 1 1 0k a b 单 位 向 量 a 与 b 不 共 线 ， 1 1 0a b a b

13、.因 此 ： k=1.答 案 ： 114.若 曲 线 y=ax2-lnx在 点 (1， a)处 的 切 线 平 行 于 x 轴 ， 则 a= .解 析 ： 由 题 意 得 y 2ax- 1x ， 在 点 (1， a)处 的 切 线 平 行 于 x 轴 ， 2a-1=0， 得 a= 12 . 答 案 ： 12 .15.设 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 -2 的 等 比 数 列 ， 则 a1+|a2|+a3+|a4|= .解 析 ： 数 列 an是 首 项 为 1， 公 比 为 -2的 等 比 数 列 ， an=a1 qn-1=(-2)n-1， a1=1， a2=-2， a3=4，

14、 a4=-8， 则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，答 案 ： 15.16.A、 B、 C、 D是 同 一 球 面 上 的 四 个 点 ， 其 中 ABC是 正 三 角 形 ， AD 平 面 ABC， AD=4， AB=2 3 ，则 该 球 的 表 面 积 为 .解 析 ： 由 题 意 画 出 几 何 体 的 图 形 如 图 ， 把 A、 B、 C、 D 扩 展 为 三 棱 柱 ， 上 下 底 面 中 心 连 线 的 中 点 与 A 的 距 离为 球 的 半 径 ，AD=4， AB=2 3 ， ABC是 正 三 角 形 ， 所 以 AE=2， AO=2 2 .所 求 球

15、的 表 面 积 为 ： 4 (2 2 )2=32 .答 案 ： 32 .三 、 解 答 题 (本 大 题 6小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ， 并 把 解答 写 在 答 卷 纸 的 相 应 位 置 上 )17.已 知 a n中 ， a1=1， 其 前 n项 和 为 Sn， 且 满 足 222 1nn nSa S .( )求 证 ： 数 列 1nS 是 等 差 数 列 .解 析 ： ( )根 据 数 列 的 递 推 关 系 进 行 化 简 结 合 等 差 数 列 的 定 义 即 可 证 明 数 列 1nS 是 等 差 数列

16、 .答 案 ： ( )当 n 2 时 ， 21 22 1nn n n nSa S S S ， 即 Sn-1-Sn=2SnSn-1，则 11 1 2n nS S ，从 而 1Sn构 成 以 1 为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 .( )证 明 ： 1 2 31 1 1 32 3 2nS S S Sn .解 析 ： ( )求 出 1 nSn 的 通 项 公 式 ， 利 用 放 缩 法 进 行 证 明 不 等 式 . 答 案 ： ( ) 1nS 构 成 以 1 为 首 项 ， 2为 公 差 的 等 差 数 列 ， 1nS =1+2(n-1)=2n-1， 即 12 1nS n ， 当

17、n 2 时 ， 1 1 12 1 2 2nSn n n n n .从 而 1 2 31 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 31 12 3 2 2 2 3 1 2 2 2nS S S Sn n n n （ ） . 18.截 至 2014年 11 月 27 目 ， 我 国 机 动 车 驾 驶 人 数 量 突 破 3 亿 大 关 ， 年 均 增 长 超 过 两 千 万 .为 了 解 我 地 区 驾 驶 预 考 人 员 的 现 状 ， 选 择 A， B， C三 个 驾 校 进 行 调 查 .参 加 各 驾 校 科 目 一 预考 人 数 如 下 ：若 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 三 个 驾

18、 校 随 机 抽 取 24人 进 行 分 析 ， 他 们 的 成 绩 如 下 ： ( )求 三 个 驾 校 分 别 应 抽 多 少 人 ？解 析 ： ( )求 出 A、 B、 C三 个 驾 校 的 总 人 数 ， 根 据 同 一 比 例 求 出 从 三 个 驾 校 分 别 应 抽 的 人 数 .答 案 ： ( ) A、 B、 C 三 个 驾 校 的 人 数 分 别 是 150、 200、 250， 从 三 个 驾 校 分 别 应 抽 的 人 数 是15024 6150 200 250 ，20024 8150 200 250 ，25024 10150 200 250 . ( )补 全 下 面 的

19、 茎 叶 图 ， 并 求 样 本 的 众 数 和 极 差 . 解 析 ： ( )根 据 表 中 数 据 ， 补 全 茎 叶 图 ， 求 出 样 本 的 众 数 与 极 差 .答 案 ： ( )根 据 表 中 数 据 ， 补 全 茎 叶 图 如 图 所 示 ：根 据 茎 叶 图 ， 得 ；样 本 的 众 数 是 92，极 差 是 99-64=35. (3)在 对 数 据 进 一 步 分 析 时 ， 满 足 |x-96.5| 4的 预 考 成 绩 ， 称 为 具 有 M特 性 .在 样 本 中 随 机抽 取 一 人 ，求 此 人 的 预 考 成 绩 具 有 M特 性 的 概 率 .解 析 ： (3

20、)求 出 满 足 |x-96.5| 4 的 预 考 成 绩 的 个 数 ， 计 算 满 足 条 件 的 概 率 .答 案 ： (3)根 据 题 意 ， 满 足 |x-96.5| 4的 预 考 成 绩 ， 有 99、 99、 99、 98、 97、 97、 94、 93、93共 9个 ，在 样 本 数 据 中 随 机 抽 取 一 人 ， 则 此 人 的 预 考 成 绩 具 有 M 特 性 的 概 率 是 38924P .19.如 图 ， 已 知 AF 平 面 ABCD， 四 边 形 ABEF为 矩 形 ， 四 边 形 ABCD为 直 角 梯 形 ， DAB=90 ，AB CD， AD=AF=CD

21、=2， AB=4. ( )求 证 ： AF 平 面 BCE.解 析 ： ( )AF BE， BE平 面 BCE， AF平 面 BCE， 运 用 判 定 定 理 可 判 断 .答 案 ： ( ) 四 边 形 ABEF为 矩 形 ， AF BE， BE平 面 BCE， AF平 面 BCE， AF 平 面 BCE.( )求 证 ： AC 平 面 BCE.解 析 ： ( )运 用 勾 股 定 理 可 判 断 AC BC， 再 根 据 线 面 的 转 化 ， AF 平 面 ABCD， AF BE， BE 平 面 ABCD， BE AC， 得 出 AC 平 面 BCE.答 案 ： ( )过 C作 CM A

22、B， 垂 足 为 M， AD DC， 四 边 形 ADCM为 矩 形 ， AM=MB=2 AD=2， AB=4. AC=2 2 ， CM=2， BC=2 2 ， AC2+BC2=AB2， AC BC， AF 平 面 ABCD， AF BE， BE 平 面 ABCD， BE AC， BE平 面 BCE， BC平 面 BCE， BC BE=B， AC 平 面 BCE. ( )求 三 棱 锥 E-BCF的 体 积 .解 析 ： ( )CM 平 面 ABEF， VE-BCF=VC-BEF得 出 体 积 即 可 判 断 .答 案 ： ( ) AF 平 面 ABCD， AF CM， CM AB， AF平

23、面 ABEF， AB平 面 ABEF， AF AB=A， CM 平 面 ABEF， 1 1 1 2 4 23 2 6E BCF C BEFV V BE CM .20.已 知 椭 圆 C： x 2+2y2=4.( )求 椭 圆 C 的 离 心 率 .解 析 ： ( )椭 圆 C： x2+2y2=4 化 为 标 准 方 程 为 2 2 14 2x y ， 求 出 a， c， 即 可 求 椭 圆 C 的 离 心率 . 答 案 ： ( )椭 圆 C： x2+2y2=4 化 为 标 准 方 程 为 2 2 14 2x y ， a=2， b= 2 ， c= 2 ， 椭 圆 C 的 离 心 率 22ce a

24、 .( )设 O为 原 点 ， 若 点 A 在 直 线 y=2上 ， 点 B 在 椭 圆 C上 ， 且 OA OB， 求 线 段 AB长 度 的 最小 值 .解 析 ： ( )先 表 示 出 线 段 AB 长 度 ， 再 利 用 基 本 不 等 式 ， 求 出 最 小 值 .答 案 ： ( )设 A(t， 2)， B(x 0， y0)， x0 0， 则 OA OB， 0OA OB ， tx0+2y0=0， 002yt x ， x 02+2y02 4， 22 2 2 200 0 0 00 22 2 02 2 20 00 0 02 20 02 20 020 22 22( 44 44 428 4 0

25、 42 ) yAB x t y x yx xy xx y xx xx xx ，因 为 20 208 42x x (0 x 02 4)， 当 且 仅 当 20 2082x x ， 即 x02=4 时 等 号 成 立 ， 所 以 |AB|28. 线 段 AB 长 度 的 最 小 值 为 2 2 .21.已 知 函 数 1alnx bf x x x ， 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 为 x+2y-3=0.( )求 a、 b 的 值 .解 析 ： ( )根 据 切 点 在 切 线 上 ， 求 出 切 点 坐 标 ； 求 出 导 函 数 ； 利 用 导 函 数 在

26、切 点 处 的 值 为 切线 的 斜 率 及 切 点 在 曲 线 上 ， 列 出 方 程 组 ， 求 出 a， b 的 值 . 答 案 ： ( ) 2 21 1xa lnx bxf x xx .由 于 直 线 x+2y-3=0 的 斜 率 为 12 ， 且 过 点 (1， 1)所 以 1 12 2ba b ，解 得 11ab . ( )证 明 ： 当 x 0， 且 x 1时 ， 1lnxf x x .解 析 ： ( )构 造 新 函 数 ， 求 出 导 函 数 ， 通 过 研 究 导 函 数 的 符 号 判 断 出 函 数 的 单 调 性 ， 求 出 函数 的 最 值 ， 证 得 不 等 式

27、.答 案 ： ( )由 (I)知 11lnxf x x x ，所 以 221 121 1lnx xf x lnxx x x .考 虑 函 数 2 1 )2 0(xh x lnx xx ， 则 22 22 22 1 12 x x xh x x x x ，所 以 当 x 1 时 ， h (x) 0 而 h(1)=0，当 x (0， 1)时 ， h(x) 0 可 得 21 01 h xx ；当 x (1， + )时 ， h(x) 0， 可 得 21 01 h xx .从 而 当 x 0 且 x 1时 ， 01lnxf x x 即 1lnxf x x . 请 考 生 在 22.23.24 三 题 中

28、任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 答 ， 则 按 做 的 第 一 题 记 分 .22.已 知 四 边 形 ABCD 内 接 于 O， AD： BC=1： 2， BA、 CD 的 延 长 线 交 于 点 E， 且 EF 切 O 于F.( )求 证 ： EB=2ED.解 析 ： ( )根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 ， 可 得 EAD= C， 进 而 可 得 AED CEB， 结 合 相 似 三 角 形 的 性 质 及 已 知 可 得 结 论 .答 案 ： ( ) 四 边 形 ABCD内 接 于 O， EAD= C，又 DEA= BEC， AED CEB， ED： EB=AD：

29、BC=1： 2，即 EB=2ED.( )若 AB=2， CD=5， 求 EF的 长 .解 析 ： ( )根 据 切 割 线 定 理 可 得 EF 2=ED EC=EA EB， 设 DE=x， 由 AB=2， CD=5 构 造 方 程 ，解 得 DE， 进 而 可 得 EF长 .答 案 ： ( ) EF切 O 于 F. EF2=ED EC=EA EB，设 DE=x， 则 由 AB=2， CD=5得 ：x(x+5)=2x(2x-2)， 解 得 ： x=3， EF2=24， 即 EF=2 6 .23.在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 以 O 为 极 点 ， x 轴 非 负 半 轴 为

30、极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 sin2 =4cos ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 ： 24 2222x ty t (t 为 参 数 )， 两曲 线 相 交 于 M， N 两 点 .( )写 出 曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 和 直 线 l 的 普 通 方 程 .解 析 ： ( )根 据 x= cos 、 y= sin ， 写 出 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ； 用 代 入 法 消 去 参 数求 得 直 线 l的 普 通 方 程 .答 案 ： ( )根 据 x= cos 、 y= sin ， 求 得 曲 线 C的

31、直 角 坐 标 方 程 为 y 2=4x，用 代 入 法 消 去 参 数 求 得 直 线 l的 普 通 方 程 x-y-2=0. ( )若 P(-2， -4)， 求 |PM|+|PN|的 值 .解 析 ： ( )把 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 y2=4x， 得 到 2 12 4 02 8t t ， 设 M， N 对 应 的 参 数分 别 为 t1， t2， 利 用 韦 达 定 理 以 及 |PM|+|PN|=|t1+t2|， 计 算 求 得 结 果 .答 案 ： ( )直 线 l 的 参 数 方 程 为 ： 24 2222x ty t (t为 参 数 )，代 入 y 2=4x， 得

32、 到 2 12 4 02 8t t ， 设 M， N 对 应 的 参 数 分 别 为 t1， t2，则 t1+t2=12 2 ， t1 t2=48， |PM|+|PN|=|t1+t2|=12 2 .24.设 函 数 f(x)=|x-4|+|x-a|(a 1)， 且 f(x)的 最 小 值 为 3.( )求 a 的 值 .解 析 ： ( )由 条 件 利 用 绝 对 值 的 意 义 可 得 |a-4|=3， 再 结 合 a 1， 可 得 a 的 值 .答 案 ： ( )函 数 f(x)=|x-4|+|x-a|表 示 数 轴 上 的 x 对 应 点 到 4、 a 对 应 点 的 距 离 之 和 ，

33、 它 的最 小 值 为 |a-4|=3，再 结 合 a 1， 可 得 a=7. ( )若 f(x) 5， 求 满 足 条 件 的 x的 集 合 .解 析 ： ( )把 f(x) 5 等 价 转 化 为 的 三 个 不 等 式 组 ， 求 出 每 个 不 等 式 组 的 解 集 ， 再 取 并 集 ，即 得 所 求 .答 案 ： ( ) 2 11 44 7 3 4 72 11 7x xf x x x xx x ， （ ） ， ， ， 故 由 f(x) 5可 得 ，42 11 5x x ， 或 4 73 5x ， 或 72 11 5xx .解 求 得 3 x 4， 解 求 得 4 x 7， 解 求 得 7 x 8，所 以 不 等 式 的 解 集 为 3， 8.