2016年湖北省随州市中考真题数学及答案解析.docx

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1、2016年 湖 北 省 随 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 .每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一个 是 正 确 的 )1.- 2 的 相 反 数 是 ( )A.- 2B. 22C. 2 D.- 22解 析 ： 利 用 相 反 数 的 定 义 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： C2. 随 着 我 国 经 济 快 速 发 展 ， 轿 车 进 入 百 姓 家 庭 ， 小 明 同 学 在 街 头 观 察 出 下 列 四 种 汽 车 标 志 ，其 中 既 是 中 心 对 称 图

2、 形 ， 又 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 . 答 案 ： C.3. 下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a2 a3=a6 B.a5 a2=a3C.(-3a)3=-9a3D.2x2+3x2=5x4解 析 ： A、 a2 a3=a5， 此 选 项 错 误 ；B、 a5 a2=a3， 此

3、选 项 正 确 ；C、 (-3a)3=-27a3， 此 选 项 错 误 ；D、 2x2+3x2=5x2， 此 选 项 错 误 .答 案 ： B.4. 如 图 ， 直 线 a b， 直 线 c分 别 与 a、 b 相 交 于 A、 B 两 点 ， AC AB于 点 A， 交 直 线 b 于 点C.已 知 1=42 ， 则 2的 度 数 是 ( ) A.38B.42C.48D.58解 析 ： 直 线 a b， 1= BCA， 1=42 ， BCA=42 ， AC AB， 2+ BCA=90 ， 2=48 .答 案 ： C. 5. 不 等 式 组 1 31 72 25 2 3 1x xx x 的 解

4、 集 表 示 在 数 轴 上 ， 正 确 的 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 解 不 等 式 12 x-1 7- 32 x， 得 ： x 4，解 不 等 式 5x-2 3(x+1)， 得 ： x 52 ， 不 等 式 组 的 解 集 为 ： 52 x 4.答 案 ： A.6. 为 了 响 应 学 校 “ 书 香 校 园 ” 建 设 ， 阳 光 班 的 同 学 们 积 极 捐 书 ， 其 中 宏 志 学 习 小 组 的 同 学捐 书 册 数 分 别 是 ： 5， 7， x， 3， 4， 6.已 知 他 们 平 均 每 人 捐 5 本 ， 则 这 组 数 据 的 众 数 、 中 位数 和

5、方 差 分 别 是 ( ) A.5， 5， 32B.5， 5， 10C.6， 5.5， 116D.5， 5， 53解 析 ： 由 5， 7， x， 3， 4， 6.已 知 他 们 平 均 每 人 捐 5本 ， 得x=5.众 数 是 5， 中 位 数 是 5，方 差 2 2 2 2 27 5 6 5 2 5 5 4 5 3 5 56 3 . 答 案 ： D.7. 如 图 ， D、 E 分 别 是 ABC的 边 AB、 BC上 的 点 ， 且 DE AC， AE、 CD相 交 于 点 O， 若 S DOE：S COA=1： 25， 则 S BDE与 S CDE的 比 是 ( )A.1： 3B.1：

6、 4C.1： 5D.1： 25 解 析 ： DE AC， DOE COA， 又 S DOE： S COA=1： 25， 15DEAC ， DE AC， 15BE DEBC AC ， 14BEEC ， S BDE与 S CDE的 比 是 1： 4.答 案 ： B.8. 随 州 市 尚 市 “ 桃 花 节 ” 观 赏 人 数 逐 年 增 加 ， 据 有 关 部 门 统 计 ， 2014 年 约 为 20 万 人 次 ，2016年 约 为 28.8万 人 次 ， 设 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为 x， 则 下 列 方 程 中 正 确 的 是 ( )A.20(1+2x)=28.8B.28.8

7、(1+x) 2=20C.20(1+x)2=28.8D.20+20(1+x)+20(1+x)2=28.8解 析 ： 设 观 赏 人 数 年 均 增 长 率 为 x， 那 么 依 题 意 得 20(1+x)2=28.8.答 案 ： C.9. 如 图 是 某 工 件 的 三 视 图 ， 则 此 工 件 的 表 面 积 为 ( ) A.15 cm2B.51 cm2C.66 cm2D.24 cm2解 析 ： 由 三 视 图 ， 得OB=3cm， 0A=4cm，由 勾 股 定 理 ， 得 AB= 2 23 4 =5cm， 圆 锥 的 侧 面 积 12 6 5=15 cm2，圆 锥 的 底 面 积 ( 62

8、 )2=9 cm， 圆 锥 的 表 面 积 15 +9 =24 (cm2).答 案 ： D.10. 二 次 函 数 y=ax2+bx+c(a 0)的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 图 象 过 点 (-1， 0)， 对 称 轴 为 直 线 x=2，下 列 结 论 ： (1)4a+b=0； (2)9a+c 3b； (3)8a+7b+2c 0； (4)若 点 A(-3， y1)、 点 B(- 12 ， y2)、点 C( 72 ， y 3)在 该 函 数 图 象 上 ， 则 y1 y3 y2； (5)若 方 程 a(x+1)(x-5)=-3的 两 根 为 x1和 x2，且 x1 x2， 则 x1

9、 -1 5 x2.其 中 正 确 的 结 论 有 ( )A.2个B.3个 C.4个D.5个解 析 ： (1)正 确 .根 据 对 称 轴 公 式 计 算 即 可 .(2)错 误 ， 利 用 x=-3时 ， y 0， 即 可 判 断 .(3)正 确 .由 图 象 可 知 抛 物 线 经 过 (-1， 0)和 (5， 0)， 列 出 方 程 组 求 出 a、 b 即 可 判 断 .(4)错 误 .利 用 函 数 图 象 即 可 判 断 .(5)正 确 .利 用 二 次 函 数 与 二 次 不 等 式 关 系 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小

10、 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )11.2015年 “ 圣 地 车 都 ” -随 州 改 装 车 的 总 产 值 为 14.966亿 元 ， 其 中 14.966亿 元 用 科 学 记数 法 表 示 为 _元 .解 析 ： 14.966 亿 =1.4966 10 9.答 案 ： 1.4966 109.12. 已 知 等 腰 三 角 形 的 一 边 长 为 9， 另 一 边 长 为 方 程 x2-8x+15=0 的 根 ， 则 该 等 腰 三 角 形 的 周长 为 _.解 析 ： 由 方 程 x2-8x+15=0得 ： (x-3)(x-5)=0， x-3=0 或 x-5=0，解 得

11、 ： x=3或 x=5，当 等 腰 三 角 形 的 三 边 长 为 9、 9、 3时 ， 其 周 长 为 21；当 等 腰 三 角 形 的 三 边 长 为 9、 9、 5时 ， 其 周 长 为 23；当 等 腰 三 角 形 的 三 边 长 为 9、 3、 3时 ， 3+3 9， 不 符 合 三 角 形 三 边 关 系 定 理 ， 舍 去 ；当 等 腰 三 角 形 的 三 边 长 为 9、 5、 5时 ， 其 周 长 为 19； 综 上 ， 该 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 19 或 21或 23. 答 案 ： 19 或 21或 23.13. 如 图 ， 在 ABC 中 ， ACB=90

12、， M、 N分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， 延 长 BC 至 点 D， 使 CD=13 BD，连 接 DM、 DN、 MN.若 AB=6， 则 DN=_.解 析 ： 连 接 CM M、 N分 别 是 AB、 AC的 中 点 ， NM= 12 CB， MN BC， 又 CD=13 BD， MN=CD， 又 MN BC， 四 边 形 DCMN 是 平 行 四 边 形 ， DN=CM， ACB=90 ， M 是 AB 的 中 点 ， CM= 12 AB=3， DN=3.答 案 ： 3. 14. 如 图 ， 直 线 y=x+4 与 双 曲 线 y= kx (k 0)相 交 于 A(-1， a)

13、、 B 两 点 ， 在 y轴 上 找 一 点 P，当 PA+PB 的 值 最 小 时 ， 点 P 的 坐 标 为 _.解 析 ： 把 点 A 坐 标 代 入 y=x+4得 ，-1+4=a， a=3，即 A(-1， 3)，把 点 A坐 标 代 入 双 曲 线 的 解 析 式 ： 3=-k，解 得 ： k=-3，联 立 两 函 数 解 析 式 得 ： 43y xy x ，解 得 ： 11 13xy ， 22 31xy ，即 点 B坐 标 为 ： (-3， 1)，作 出 点 A 关 于 y轴 的 对 称 点 C， 连 接 BC， 与 y 轴 的 交 点 即 为 点 P， 使 得 PA+PB 的 值

14、最 小 ， 则 点 C坐 标 为 ： (1， 3)，设 直 线 BC 的 解 析 式 为 ： y=ax+b，把 B、 C 的 坐 标 代 入 得 ： 3 13a ba b ，解 得 ： 1252ab ，函 数 解 析 式 为 ： y= 12 x+ 52 ， 则 与 y轴 的 交 点 为 ： (0， 52 ).答 案 ： (0， 52 ).15. 如 图 (1)， PT与 O1相 切 于 点 T， PAB与 O1相 交 于 A、 B 两 点 ， 可 证 明 PTA PBT，从 而 有 PT2=PA PB.请 应 用 以 上 结 论 解 决 下 列 问 题 ： 如 图 (2)， PAB、 PCD分

15、 别 与 O2相 交 于 A、B、 C、 D 四 点 ， 已 知 PA=2， PB=7， PC=3， 则 CD=_. 解 析 ： 如 图 2 中 ， 过 点 P作 O 的 切 线 PT， 切 点 是 T. PT2=PA PB=PC PD， PA=2， PB=7， PC=3， 2 7=3 PD， PD=143 CD=PD-PC=143 -3= 53 .答 案 ： 53 .16. 如 图 ， 边 长 为 1 的 正 方 形 ABCD的 对 角 线 AC、 BD 相 交 于 点 O.有 直 角 MPN， 使 直 角 顶 点P与 点 O 重 合 ， 直 角 边 PM、 PN 分 别 与 OA、 OB

16、重 合 ， 然 后 逆 时 针 旋 转 MPN， 旋 转 角 为 (0 90 )， PM、 PN 分 别 交 AB、 BC 于 E、 F 两 点 ， 连 接 EF交 OB于 点 G， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 _.(1)EF= 2 OE； (2)S 四 边 形 OEBF： S 正 方 形 ABCD=1： 4； (3)BE+BF= 2 OA； (4)在 旋 转 过 程 中 ， 当 BEF与 COF的 面 积 之 和 最 大 时 ， AE= 34 ； (5)OG BD=AE2+CF2.解 析 ： (1)由 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， 直 角 MPN， 易 证 得 BOE

17、 COF(ASA)， 则 可 证 得 结 论 ；(2)由 (1)易 证 得 S 四 边 形 OEBF=S BOC= 14 S 正 方 形 ABCD， 则 可 证 得 结 论 ；(3)由 BE=CF， 可 得 BE+BF=BC， 然 后 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 ， 证 得 BE+BF= 2 OA；(4)首 先 设 AE=x， 则 BE=CF=1-x， BF=x， 继 而 表 示 出 BEF 与 COF的 面 积 之 和 ， 然 后 利 用 二次 函 数 的 最 值 问 题 ， 求 得 答 案 ；(5)易 证 得 OEG OBE， 然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边

18、 成 比 例 ， 证 得 OG OB=OE 2， 再 利 用 OB与 BD 的 关 系 ， OE与 EF 的 关 系 ， 即 可 证 得 结 论 .答 案 ： (1)， (2)， (3)， (5). 三 、 解 答 题 (本 题 共 9 小 题 ， 共 72 分 ， 解 答 应 写 出 必 要 演 算 步 骤 ， 文 字 说 明 或 证 明 过 程 )17. 计 算 ： -|-1|+ 12 cos30 -(- 12 )-2+( -3.14)0.解 析 ： 本 题 涉 及 绝 对 值 、 二 次 根 式 化 简 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 、 负 指 数 幂 、 零 指 数 幂 5个

19、 考点 .在 计 算 时 ， 需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =-1+2 3 32 -4+1=-1+3-4+1=-1.18. 先 化 简 ， 再 求 值 ： 23 4 411 1x xxx x （ ） ， 其 中 x= 2 -2. 解 析 ： 首 先 将 括 号 里 面 的 通 分 相 减 ， 然 后 将 除 法 转 化 为 乘 法 ， 化 简 后 代 入 x的 值 即 可 求 解 .答 案 ： 原 式 = 21 13 11 1 2x x xx x x = 22 2 11 2x

20、 x xx x = 2 2xx ，当 x= 2 -2时 ，原 式 = 2 2 2 4 2 2 2 12 2 2 2 . 19. 某 校 学 生 利 用 双 休 时 间 去 距 学 校 10km 的 炎 帝 故 里 参 观 ， 一 部 分 学 生 骑 自 行 车 先 走 ， 过了 20min 后 ， 其 余 学 生 乘 汽 车 沿 相 同 路 线 出 发 ， 结 果 他 们 同 时 到 达 .已 知 汽 车 的 速 度 是 骑 车学 生 速 度 的 2 倍 ， 求 骑 车 学 生 的 速 度 和 汽 车 的 速 度 .解 析 ： 求 速 度 ， 路 程 已 知 ， 根 据 时 间 来 列 等 量

21、 关 系 .关 键 描 述 语 为 ： “ 一 部 分 学 生 骑 自 行 车 先走 ， 过 了 20min 后 ， 其 余 学 生 乘 汽 车 沿 相 同 路 线 出 发 ， 结 果 他 们 同 时 到 达 ” ， 根 据 等 量 关 系列 出 方 程 .答 案 ： 设 骑 车 学 生 的 速 度 为 x千 米 /小 时 ， 汽 车 的 速 度 为 2x 千 米 /小 时 ，可 得 ： 10 10 202 60 x x ，解 得 ： x=15，经 检 验 x=15是 原 方 程 的 解 ，2x=2 15=30，答 ： 骑 车 学 生 的 速 度 和 汽 车 的 速 度 分 别 是 每 小 时

22、 15km， 30km. 20. 国 务 院 办 公 厅 2015年 3月 16日 发 布 了 中 国 足 球 改 革 的 总 体 方 案 ， 这 是 中 国 足 球 历 史 上 的 重 大 改 革 .为 了 进 一 步 普 及 足 球 知 识 ， 传 播 足 球 文 化 ， 我 市 举 行 了 “ 足 球 进 校 园 ” 知识 竞 赛 活 动 ， 为 了 解 足 球 知 识 的 普 及 情 况 ， 随 机 抽 取 了 部 分 获 奖 情 况 进 行 整 理 ， 得 到 下 列 不完 整 的 统 计 图 表 ： 请 根 据 所 给 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)a=_， b=_，

23、 且 补 全 频 数 分 布 直 方 图 ；(2)若 用 扇 形 统 计 图 来 描 述 获 奖 分 布 情 况 ， 问 获 得 优 胜 奖 对 应 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 是 多 少 ？(3)在 这 次 竞 赛 中 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 都 获 得 一 等 奖 ， 若 从 这 四 位 同 学 中 随 机 选 取 两位 同 学 代 表 我 市 参 加 上 一 级 竞 赛 ， 请 用 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ， 计 算 恰 好 选 中 甲 、 乙 二 人 的 概率 .解 析 ： (1)根 据 公 式 频 率 =频 数 样 本 总 数 ， 求 得

24、样 本 总 数 ， 再 根 据 公 式 得 出 a， b 的 值 即 可 ；(2)根 据 公 式 优 胜 奖 对 应 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 =优 胜 奖 的 频 率 360 计 算 即 可 ；(3)画 树 状 图 或 列 表 将 所 有 等 可 能 的 结 果 列 举 出 来 ， 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)样 本 总 数 为 10 0.05=200人 ，a=200-10-20-30-80=60人 ，b=30 200=0.15， (2)优 胜 奖 所 在 扇 形 的 圆 心 角 为 0.30 360 =108 ；(3)列 表 ： 甲 乙 丙 丁 分

25、 别 用 ABCD表 示 ， 共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 恰 好 选 中 A、 B的 有 2 种 ，画 树 状 图 如 下 ： P(选 中 A、 B)= 2 112 6 . 21. 某 班 数 学 兴 趣 小 组 利 用 数 学 活 动 课 时 间 测 量 位 于 烈 山 山 顶 的 炎 帝 雕 像 高 度 ， 已 知 烈 山 坡面 与 水 平 面 的 夹 角 为 30 ， 山 高 857.5 尺 ， 组 员 从 山 脚 D 处 沿 山 坡 向 着 雕 像 方 向 前 进 1620尺 到 达 E 点 ， 在 点 E处 测 得 雕 像 顶 端 A的 仰 角 为 60 ， 求 雕

26、 像 AB的 高 度 .解 析 ： 构 造 直 角 三 角 形 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 ， 进 行 简 单 计 算 即 可 .答 案 ： 如 图 ， 过 点 E作 EF AC， EG CD，在 Rt DEG中 ， DE=1620， D=30 ， EG=DEsin D=1620 12 =810， BC=857.5， CF=EG， BF=BC-CF=47.5，在 Rt BEF中 ， tan BEF= BFEF ， EF= 3 BF，在 Rt AEF中 ， AEF=60 ， 设 AB=x， tan AEF= AFEF ， AF=EF tan AEF， x+47.5=3 47.5， x=9

27、5，答 ： 雕 像 AB的 高 度 为 95尺 . 22. 如 图 ， AB 是 O 的 弦 ， 点 C 为 半 径 OA 的 中 点 ， 过 点 C 作 CD OA 交 弦 AB 于 点 E， 连 接BD， 且 DE=DB.(1)判 断 BD与 O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 CD=15， BE=10， tanA= 512 ， 求 O 的 直 径 .解 析 ： (1)连 接 OB， 由 圆 的 半 径 相 等 和 已 知 条 件 证 明 OBD=90 ， 即 可 证 明 BD是 O 的 切 线 ； (2)过 点 D 作 DG BE于 G， 根 据 等 腰 三 角

28、形 的 性 质 得 到 EG= 12 BE=5， 由 两 角 相 等 的 三 角 形 相似 ， ACE DGE， 利 用 相 似 三 角 形 对 应 角 相 等 得 到 sin EDG=sinA= 513 ， 在 Rt EDG 中 ，利 用 勾 股 定 理 求 出 DG的 长 ， 根 据 三 角 形 相 似 得 到 比 例 式 ， 代 入 数 据 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OB， OB=OA， DE=DB， A= OBA， DEB= ABD，又 CD OA， A+ AEC= A+ DEB=90 ， OBA+ ABD=90 ， OB BD， BD 是 O的

29、切 线 ； (2)如 图 ， 过 点 D 作 DG BE 于 G， DE=DB， EG= 12 BE=5， ACE= DGE=90 ， AEC= GED， GDE= A， ACE DGE， sin EDG=sinA= 35EGDE ， 即 CE=13，在 Rt ECG中 ， DG= 2 2DE ED =12， CD=15， DE=13， DE=2， ACE DGE， AC CEDG GE ， AC=CEGE DG= 245 ， O的 直 径 2OA=4AD= 965 . 23. 九 年 级 (3)班 数 学 兴 趣 小 组 经 过 市 场 调 查 整 理 出 某 种 商 品 在 第 x 天 (

30、1 x 90， 且 x为 整数 )的 售 价 与 销 售 量 的 相 关 信 息 如 下 .已 知 商 品 的 进 价 为 30 元 /件 ， 设 该 商 品 的 售 价 为 y(单位 ： 元 /件 )， 每 天 的 销 售 量 为 p(单 位 ： 件 )， 每 天 的 销 售 利 润 为 w(单 位 ： 元 ). (1)求 出 w 与 x 的 函 数 关 系 式 ； (2)问 销 售 该 商 品 第 几 天 时 ， 当 天 的 销 售 利 润 最 大 ？ 并 求 出 最 大 利 润 ；(3)该 商 品 在 销 售 过 程 中 ， 共 有 多 少 天 每 天 的 销 售 利 润 不 低 于 5

31、600元 ？ 请 直 接 写 出 结 果 .解 析 ： (1)当 0 x 50 时 ， 设 商 品 的 售 价 y 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b， 由 点 的 坐 标利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 此 时 y关 于 x的 函 数 关 系 式 ， 根 据 图 形 可 得 出 当 50 x 90时 ， y=90.再 结 合 给 定 表 格 ， 设 每 天 的 销 售 量 p 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 p=mx+n， 套 入 数 据 利 用 待 定系 数 法 即 可 求 出 p 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ， 根 据 销 售 利 润

32、=单 件 利 润 销 售 数 量 即 可 得 出 w 关于 x 的 函 数 关 系 式 ；(2)根 据 w 关 于 x 的 函 数 关 系 式 ， 分 段 考 虑 其 最 值 问 题 .当 0 x 50时 ， 结 合 二 次 函 数 的 性质 即 可 求 出 在 此 范 围 内 w的 最 大 值 ； 当 50 x 90 时 ， 根 据 一 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出 在 此 范围 内 w的 最 大 值 ， 两 个 最 大 值 作 比 较 即 可 得 出 结 论 ；(3)令 w 5600， 可 得 出 关 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式 和 一 元 一 次 不 等 式 ， 解

33、 不 等 式 即 可 得 出 x的 取 值 范 围 ， 由 此 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)当 0 x 50时 ， 设 商 品 的 售 价 y与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b(k、 b 为 常 数 且 k 0)， y=kx+b 经 过 点 (0， 40)、 (50， 90)， 4050 90b k b ， 解 得 ： 140kb ， 售 价 y 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 y=x+40；当 50 x 90 时 ， y=90. 售 价 y 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 y= 40 0 5090 50( )90(x x xx x

34、 ， 且 整 ， 且 整为 数为 数 .由 书 记 可 知 每 天 的 销 售 量 p 与 时 间 x 成 一 次 函 数 关 系 ，设 每 天 的 销 售 量 p 与 时 间 x 的 函 数 关 系 式 为 p=mx+n(m、 n为 常 数 ， 且 m 0)， p=mx+n 过 点 (60， 80)、 (30， 140)， 60 8030 140m nm n ， 解 得 ： 2200mn ， p=-2x+200(0 x 90， 且 x为 整 数 )，当 0 x 50时 ， w=(y-30) p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180 x+2000；当 50 x 90 时 ，

35、w=(90-30)(-2x+200)=-120 x+12000.综 上 所 示 ， 每 天 的 销 售 利 润 w与 时 间 x的 函 数 关 系 式 是 w=22 180 2000 0 50120 12000 50 9( 0( )x x x xx x x ， 且 整 ， 且 整 为 数为 数 .(2)当 0 x 50时 ， w=-2x 2+180 x+2000=-2(x-45)2+6050， a=-2 0且 0 x 50， 当 x=45 时 ， w取 最 大 值 ， 最 大 值 为 6050元 .当 50 x 90 时 ， w=-120 x+12000， k=-120 0， w随 x增 大

36、而 减 小 ， 当 x=50 时 ， w取 最 大 值 ， 最 大 值 为 6000元 . 6050 6000， 当 x=45 时 ， w最 大 ， 最 大 值 为 6050元 . 即 销 售 第 45天 时 ， 当 天 获 得 的 销 售 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 6050元 .(3)当 0 x 50时 ， 令 w=-2x2+180 x+2000 5600， 即 -2x2+180 x-3600 0，解 得 ： 30 x 50，50-30+1=21(天 )；当 50 x 90 时 ， 令 w=-120 x+12000 5600， 即 -120 x+6400 0，解 得 ： 50

37、x 1533 ， x 为 整 数 ， 50 x 53，53-50=3(天 ).综 上 可 知 ： 21+3=24(天 )，故 该 商 品 在 销 售 过 程 中 ， 共 有 24 天 每 天 的 销 售 利 润 不 低 于 5600元 . 24. 爱 好 思 考 的 小 茜 在 探 究 两 条 直 线 的 位 置 关 系 查 阅 资 料 时 ， 发 现 了 “ 中 垂 三 角 形 ” ， 即 两条 中 线 互 相 垂 直 的 三 角 形 称 为 “ 中 垂 三 角 形 ” .如 图 (1)、 图 (2)、 图 (3)中 ， AM、 BN 是 ABC的 中 线 ， AN BN于 点 P， 像 A

38、BC这 样 的 三 角 形 均 为 “ 中 垂 三 角 形 ” .设 BC=a， AC=b， AB=c.【 特 例 探 究 】(1)如 图 1， 当 tan PAB=1， c=4 2 时 ， a=_， b=_； 如 图 2， 当 PAB=30 ， c=2 时 ， a=_， b=_；【 归 纳 证 明 】(2)请 你 观 察 (1)中 的 计 算 结 果 ， 猜 想 a2、 b2、 c2三 者 之 间 的 关 系 ， 用 等 式 表 示 出 来 ， 并 利 用图 3 证 明 你 的 结 论 .【 拓 展 证 明 】(3)如 图 4， ABCD中 ， E、 F 分 别 是 AD、 BC的 三 等

39、分 点 ， 且 AD=3AE， BC=3BF， 连 接 AF、 BE、CE， 且 BE CE 于 E， AF 与 BE相 交 点 G， AD=3 5 ， AB=3， 求 AF 的 长 .解 析 ： (1) 首 先 证 明 APB， PEF都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 出 PA、 PB、 PE、 PF， 再 利 用 勾股 定 理 即 可 解 决 问 题 . 连 接 EF， 在 RT PAB， RT PEF中 ， 利 用 30 性 质 求 出 PA、 PB、 PE、 PF， 再 利 用 勾 股 定理 即 可 解 决 问 题 .(2)结 论 a 2+b2=5c2.设 MP=x， NP=

40、y， 则 AP=2x， BP=2y， 利 用 勾 股 定 理 分 别 求 出 a2、 b2、 c2即可 解 决 问 题 .(3)取 AB中 点 H， 连 接 FH 并 且 延 长 交 DA 的 延 长 线 于 P 点 ， 首 先 证 明 ABF是 中 垂 三 角 形 ，利 用 (2)中 结 论 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)解 ： 如 图 1 中 ， CE=AE， CF=BF， EF AB， EF= 12 AB=2 2 ， tan PAB=1， PAB= PBA= PEF= PFE=45 ， PF=PE=2， PB=PA=4， AE=BF= 2 24 2 2 5

41、. b=AC=2AE=4 5 ， a=BC=4 5 .如 图 2中 ， 连 接 EF， ， CE=AE， CF=BF， EF AB， EF= 12 AB=1， PAB=30 ， PB=1， PA= 3 ，在 RT EFP中 ， EFP= PAB=30 ， PE= 12 ， PF= 32 ， AE= 2 2 132PA PE ， BF= 2 2 72PB PF ， a=BC=2BF= 7 ， b=AC=2AE= 13 ，(2)结 论 a2+b2=5c2.证 明 ： 如 图 3 中 ， 连 接 EF. AF、 BE 是 中 线 ， EF AB， EF= 12 AB， FPE APB， 12MP P

42、NAP PB ，设 FP=x， EP=y， 则 AP=2x， BP=2y， a 2=BC2=4BF2=4(FP2+BP2)=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4(PE2+AP2)=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2， a2+b2=20 x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.(3)解 ： 如 图 4 中 ， 在 AGE和 FGB中 ，AGE FGBAEG FBGAE BF ， AGE FGB， BG=FG， 取 AB中 点 H， 连 接 FH 并 且 延 长 交 DA的 延 长 线 于 P点 ，同 理 可 证 APH BFH， AP=BF， PE=CF

43、=2BF，即 PE CF， PE=CF， 四 边 形 CEPF 是 平 行 四 边 形 ， FP CE， BE CE， FP BE， 即 FH BG， ABF是 中 垂 三 角 形 ，由 (2)可 知 AB 2+AF2=5BF2， AB=3， BF=13 AD= 5 ， 9+AF2=5 ( 5 )2， AF=4. 25. 已 知 抛 物 线 y=a(x+3)(x-1)(a 0)， 与 x 轴 从 左 至 右 依 次 相 交 于 A、 B 两 点 ， 与 y 轴 相交 于 点 C， 经 过 点 A的 直 线 y=- 3 x+b与 抛 物 线 的 另 一 个 交 点 为 D.(1)若 点 D 的

44、横 坐 标 为 2， 求 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ； (2)若 在 第 三 象 限 内 的 抛 物 线 上 有 点 P， 使 得 以 A、 B、 P 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABC 相 似 ， 求 点P的 坐 标 ；(3)在 (1)的 条 件 下 ， 设 点 E 是 线 段 AD 上 的 一 点 (不 含 端 点 )， 连 接 BE.一 动 点 Q 从 点 B 出 发 ，沿 线 段 BE 以 每 秒 1 个 单 位 的 速 度 运 动 到 点 E， 再 沿 线 段 ED 以 每 秒 2 33 个 单 位 的 速 度 运 动到 点 D后 停 止 ， 问 当 点 E的 坐 标

45、是 多 少 时 ， 点 Q在 整 个 运 动 过 程 中 所 用 时 间 最 少 ？解 析 ： (1)根 据 二 次 函 数 的 交 点 式 确 定 点 A、 B 的 坐 标 ， 求 出 直 线 的 解 析 式 ， 求 出 点 D的 坐 标 ，求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)作 PH x 轴 于 H， 设 点 P 的 坐 标 为 (m， n)， 分 BPA ABC和 PBA ABC， 根 据 相 似三 角 形 的 性 质 计 算 即 可 ；(3)作 DM x 轴 交 抛 物 线 于 M， 作 DN x 轴 于 N， 作 EF DM 于 F， 根 据 正 切 的 定 义 求 出 Q

46、的运 动 时 间 t=BE+EF时 ， t最 小 即 可 . 答 案 ： (1) y=a(x+3)(x-1)， 点 A的 坐 标 为 (-3， 0)、 点 B 两 的 坐 标 为 (1， 0)， 直 线 y=- 3 x+b 经 过 点 A， b=-3 3 ， y=- 3 x-3 3 ，当 x=2时 ， y=-5 3 ，则 点 D的 坐 标 为 (2， -5 3 )， 点 D在 抛 物 线 上 ， a(2+3)(2-1)=-5 3 ，解 得 ， a=- 3 ，则 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=- 3 (x+3)(x-1)=- 3 x2-2 3 x+3 3 ； (2)作 PH x 轴 于 H

47、，设 点 P的 坐 标 为 (m， n)，当 BPA ABC时 ， BAC= PBA， tan BAC=tan PBA， 即 OC PHOA HB ， 33 1a nm ， 即 n=-a(m-1)， 13 1n a mn m m ，解 得 ， m 1=-4， m2=1(不 合 题 意 ， 舍 去 )，当 m=-4时 ， n=5a， BPA ABC， AC ABAB PB ， 即 AB2=AC PB， 2 2 24 9 9 25 25a a ，解 得 ， a 1= 1515 (不 合 题 意 ， 舍 去 )， a2=- 1515 ，则 n=5a=- 153 ， 点 P的 坐 标 为 (-4， -

48、 153 )；当 PBA ABC时 ， CBA= PBA， tan CBA=tan PBA， 即 OC PHOB HB ， 31 1a nm ， 即 n=-3a(m-1)， 3 13 1n a mn a m m ，解 得 ， m1=-6， m2=1(不 合 题 意 ， 舍 去 )， 当 m=-6时 ， n=21a， PBA ABC， BC ABBA PB ， 即 AB2=BC PB， 22 2 24 1 9 7 21a a ，解 得 ， a 1= 77 (不 合 题 意 ， 舍 去 )， a2=- 77 ，则 点 P的 坐 标 为 (-6， - 77 )，综 上 所 述 ， 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 (-4， - 153 )和 (-6， - 77 )；(3)作 DM x 轴 交 抛 物 线 于 M， 作 DN x轴 于 N， 作 EF DM于 F， 则 tan DAN= 5 3 35DNAN ， DAN=60 ， EDF=60 ， DE= 2 33EF EFsin EDF ， Q 的 运 动 时 间 t= 1 2 33BE DE =BE+EF， 当 BE和 EF 共 线 时 ， t最 小 ， 则 BE DM， y=-4 3 .