2014年陕西省中考真题数学及答案解析.docx

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1、2014年 陕 西 省 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30分 )1.(3分 )4 的 算 术 平 方 根 是 ( )A.-2B.2C. 2D.16解 析 ： 2 2=4， 4 的 算 术 平 方 根 是 2.答 案 ： B.2.(3分 )如 图 是 一 个 正 方 体 被 截 去 一 个 直 三 棱 柱 得 到 的 几 何 体 ， 则 该 几 何 体 的 左 视 图 是( )A. B.C.D.解 析 ： 左 视 图 从 图 形 的 左 边 向 右 边 看 ， 看 到 一 个 正 方 形 的 面 ， 在 面 上 有 一 条 实 线 ，

2、答 案 ： A.3.(3分 )若 点 A(-2， m)在 正 比 例 函 数 y=- x 的 图 象 上 ， 则 m 的 值 是 ( ) A.B.-C.1D.-1解 析 ： 点 A(-2， m)在 正 比 例 函 数 y=- x 的 图 象 上 ， m=- (-2)=1， 答 案 ： C.4.(3分 )小 军 旅 行 箱 的 密 码 是 一 个 六 位 数 ， 由 于 他 忘 记 了 密 码 的 末 位 数 字 ， 则 小 军 能 一 次 打开 该 旅 行 箱 的 概 率 是 ( )A.B.C.D.解 析 ： 一 共 有 10 种 等 可 能 的 结 果 ， 小 军 能 一 次 打 开 该 旅

3、 行 箱 的 只 有 1 种 情 况 ， 小 军 能 一 次 打 开 该 旅 行 箱 的 概 率 是 ： .答 案 ： A.5.(3分 )把 不 等 式 组 的 解 集 表 示 在 数 轴 上 ， 正 确 的 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 解 得 ，答 案 ： D.6.(3分 )某 区 10名 学 生 参 加 市 级 汉 字 听 写 大 赛 ， 他 们 得 分 情 况 如 下 表 ：那 么 这 10 名 学 生 所 得 分 数 的 平 均 数 和 众 数 分 别 是 ( )A.85和 82.5B.85.5和 85 C.85和 85D.85.5和 80解 析 ： 这 组 数 据 中 8

4、5出 现 的 次 数 最 多 ， 故 众 数 是 85； 平 均 数 = (80 3+085 4+90 2+95 1)=85.答 案 ： B.7.(3分 )如 图 ， AB CD， A=45 ， C=28 ， 则 AEC 的 大 小 为 ( )A.17B.62C.63D.73 解 析 ： AB CD， ABC= C=28 ， A=45 ， AEC= A+ ABC=28 +45 =73 ，答 案 ： D.8.(3分 )若 x=-2是 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2- ax+a2=0的 一 个 根 ， 则 a 的 值 为 ( )A.1 或 4B.-1或 -4C.-1或 4D.1 或 -

5、4解 析 ： x=-2是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2- ax+a2=0 的 一 个 根 ， 4+5a+a2=0， (a+1)(a+4)=0， 解 得 a1=-1， a2=-4，答 案 ： B.9.(3分 )如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， AB=5， 对 角 线 AC=6.若 过 点 A作 AE BC， 垂 足 为 E， 则 AE的 长 为 ( )A.4 B.C.D.5解 析 ： 连 接 BD， 交 AC于 O 点 ， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AB=BC=CD=AD=5， AC BD， AO= AC， BD=2BO， AOB=90 ， AC=6， AO=

6、3， B0= =4， DB=8， 菱 形 ABCD的 面 积 是 AC DB= 6 8=24， BC AE=24， AE= ，答 案 ： C.10.(3分 )二 次 函 数 y=ax 2+bx+c(a 0)的 图 象 如 图 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( )A.c -1B.b 0C.2a+b 0D.9a+c 3b解 析 ： 抛 物 线 与 y轴 的 交 点 在 点 (0， -1)的 下 方 . c -1； 抛 物 线 开 口 向 上 ， a 0， 抛 物 线 的 对 称 轴 在 y 轴 的 右 侧 ， x=- 0， b 0； 抛 物 线 过 点 (-2， 0)、 (4， 0)

7、， 抛 物 线 对 称 轴 为 直 线 x=- =1， 2a+b=0； 当 x=-3 时 ， y 0， 9a-3b+c 0， 即 9a+c 3b.答 案 ： D.二 、 填 空 题 (共 2 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )11.(3分 )计 算 ： = .解 析 ： 原 式 = = =9. 答 案 ： 9.12.(3分 )因 式 分 解 ： m(x-y)+n(x-y)= .解 析 ： m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).答 案 ： (x-y)(m+n). 请 从 以 下 两 个 小 题 中 任 选 一 个 作 答 ， 若 多 选 ， 则 按 所 选 做 的 第

8、 一 题 计 分 .13.(3分 )一 个 正 五 边 形 的 对 称 轴 共 有 条 .解 析 ： 如 图 ， 正 五 边 形 的 对 称 轴 共 有 5条 .答 案 ： 5.14.用 科 学 计 算 器 计 算 ： +3tan56 (结 果 精 确 到 0.01) 解 析 ： 5.5678， tan56 1.4826， 则 +3tan56 5.5678+3 1.4826 10.02答 案 ： 10.02.15.(3分 )如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， AD=1， 将 ABD绕 点 B 顺 时 针 旋 转 45 得 到 A BD ，此 时 A D 与 CD交 于 点 E， 则 D

9、E的 长 度 为 .解 析 ： 由 题 意 可 得 出 ： BDC=45 ， DA E=90 ， DEA =45 ， A D=A E， 在 正 方 形 ABCD中 ， AD=1， AB=A B=1， BD= ， A D= -1， 在 Rt DA E中 ， DE= =2- .答 案 ： 2- .16.(3分 )已 知 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是 同 一 个 反 比 例 函 数 图 象 上 的 两 点 ， 若 x2=x1+2， 且= + ， 则 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 .解 析 ： 设 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y= ， P 1(x

10、1， y1)， P2(x2， y2)是 同 一 个 反 比 例 函 数 图 象 上 的 两 点 ， x1 y1=x2 y2=k， = ， = ， = + ， = + ， (x2-x1)= ， x2=x1+2， 2= ， k=4， 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y= .答 案 ： y= .17.(3分 )如 图 ， O 的 半 径 是 2， 直 线 l 与 O相 交 于 A、 B两 点 ， M、 N是 O 上 的 两 个 动 点 ，且 在 直 线 l的 异 侧 ， 若 AMB=45 ， 则 四 边 形 MANB 面 积 的 最 大 值 是 . 解 析 ： 过 点 O 作 OC

11、AB 于 C， 交 O 于 D、 E 两 点 ， 连 结 OA、 OB、 DA、 DB、 EA、 EB， 如 图 ， AMB=45 ， AOB=2 AMB=90 ， OAB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB= OA=2 ， S 四 边 形 MANB=S MAB+S NAB， 当 M点 到 AB 的 距 离 最 大 ， MAB的 面 积 最 大 ； 当 N点 到 AB的 距 离 最 大 时 ， NAB 的 面 积最 大 ， 即 M点 运 动 到 D 点 ， N点 运 动 到 E 点 ，此 时 四 边 形 MANB面 积 的 最 大 值 =S 四 边 形DAEB=S DAB+S EAB= A

12、B CD+ AB CE= AB(CD+CE)= AB DE= 2 4=4 .答 案 ： 4 .四 、 解 答 题 (共 9 小 题 ， 计 72分 )18.(5分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： - ， 其 中 x=- . 解 析 ： 原 式 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 得 到 最 简 结 果 ， 将 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求出 值 .答 案 ： 原 式 = - = = ，当 x=- 时 ， 原 式 = = . 19.(6分 )如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ABC=90 ， 点 D在 边 AB上 ， 使 DB=BC， 过 点 D作

13、 EF AC，分 别 交 AC 于 点 E， CB的 延 长 线 于 点 F.求 证 ： AB=BF.解 析 ： 根 据 EF AC， 得 F+ C=90 ， 再 由 已 知 得 A= F， 从 而 AAS证 明 FBD ABC，则 AB=BF.答 案 ： EF AC， F+ C=90 ， A+ C=90 ， A= F， 在 FBD和 ABC中 ， ， FBD ABC(AAS)， AB=BF.20.(7分 )根 据 2013 年 陕 西 省 国 民 经 济 和 社 会 发 展 统 计 公 报 提 供 的 大 气 污 染 物 (A-二 氧 化硫 ， B-氢 氧 化 物 ， C-化 学 需 氧 量

14、 ， D-氨 氮 )排 放 量 的 相 关 数 据 ， 我 们 将 这 些 数 据 用 条 形 统 计图 和 扇 形 统 计 图 统 计 如 下 ： 根 据 以 上 统 计 图 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)补 全 上 面 的 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ；(2)国 务 院 总 理 李 克 强 在 十 二 届 全 国 人 大 二 次 会 议 的 政 府 工 作 报 告 中 强 调 ， 建 设 美 好 家 园 ，加 大 节 能 减 排 力 度 ， 今 年 二 氧 化 硫 、 化 学 需 氧 量 的 排 放 量 在 去 年 基 础 上 都 要 减 少 2%

15、， 按 此指 示 精 神 ， 求 出 陕 西 省 2014年 二 氧 化 硫 、 化 学 需 氧 量 的 排 放 量 供 需 减 少 约 多 少 万 吨 ？ (结 果精 确 到 0.1)解 析 ： (1)用 A的 排 放 量 除 以 所 占 的 百 分 比 计 算 求 出 2013年 总 排 放 量 ， 然 后 求 出 C 的 排 放 量 ，再 根 据 各 部 分 所 占 的 百 分 比 之 和 为 1 求 出 D的 百 分 比 ， 乘 以 总 排 放 量 求 出 D 的 排 放 量 ， 然 后补 全 统 计 图 即 可 ；(2)用 A、 C 的 排 放 量 乘 以 减 少 的 百 分 比 计

16、 算 即 可 得 解 .答 案 ： (1)2013年 总 排 放 量 为 ： 80.6 37.6% 214.4万 吨 ，C的 排 放 量 为 ： 214.4 24.2% 51.9万 吨 ，D的 百 分 比 为 1-37.6%-35.4%-24.2%=2.8%， 排 放 量 为 214.4 2.8% 6.0 万 吨 ；(2)由 题 意 得 ， (80.6+51.9) 2% 2.7万 吨 ，答 ： 陕 西 省 2014年 二 氧 化 硫 、 化 学 需 氧 量 的 排 放 量 供 需 减 少 约 2.7万 吨 . 21.(8分 )某 一 天 ， 小 明 和 小 亮 来 到 一 河 边 ， 想 用

17、遮 阳 帽 和 皮 尺 测 量 这 条 河 的 大 致 宽 度 ， 两人 在 确 保 无 安 全 隐 患 的 情 况 下 ， 现 在 河 岸 边 选 择 了 一 点 B(点 B与 河 对 岸 岸 边 上 的 一 棵 树 的底 部 点 D 所 确 定 的 直 线 垂 直 于 河 岸 ). 小 明 在 B点 面 向 树 的 方 向 站 好 ， 调 整 帽 檐 ， 使 视 线 通 过 帽 檐 正 好 落 在 树 的 底 部 点 D 处 ， 如图 所 示 ， 这 时 小 亮 测 的 小 明 眼 睛 距 地 面 的 距 离 AB=1.7米 ； 小 明 站 在 原 地 转 动 180 后 蹲下 ， 并 保

18、 持 原 来 的 观 察 姿 态 (除 身 体 重 心 下 移 外 ， 其 他 姿 态 均 不 变 )， 这 时 视 线 通 过 帽 檐 落 在了 DB 延 长 线 上 的 点 E 处 ， 此 时 小 亮 测 得 BE=9.6米 ， 小 明 的 眼 睛 距 地 面 的 距 离 CB=1.2米 .根 据 以 上 测 量 过 程 及 测 量 数 据 ， 请 你 求 出 河 宽 BD是 多 少 米 ？ 解 析 ： 根 据 题 意 求 出 BAD= BCE， 然 后 根 据 两 组 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形 相 似 求 出 BAD和 BCE相 似 ， 再 根 据 相 似 三 角 形 对

19、应 边 成 比 例 列 式 求 解 即 可 .答 案 ： 由 题 意 得 ， BAD= BCE， ABD= CBE=90 ， BAD BCE， = ， 即 = ，解 得 BD=13.6米 .答 ： 河 宽 BD 是 13.6米 .22.(8分 )小 李 从 西 安 通 过 某 快 递 公 司 给 在 南 昌 的 外 婆 寄 一 盒 樱 桃 ， 快 递 时 ， 他 了 解 到 这 个公 司 除 收 取 每 次 6 元 的 包 装 费 外 ， 樱 桃 不 超 过 1kg收 费 22元 ， 超 过 1kg， 则 超 出 部 分 按 每千 克 10元 加 收 费 用 .设 该 公 司 从 西 安 到

20、南 昌 快 递 樱 桃 的 费 用 为 y(元 )， 所 寄 樱 桃 为 x(kg).(1)求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)已 知 小 李 给 外 婆 快 寄 了 2.5kg 樱 桃 ， 请 你 求 出 这 次 快 寄 的 费 用 是 多 少 元 ？ 解 析 ： (1)根 据 快 递 的 费 用 =包 装 费 +运 费 由 分 段 函 数 就 ， 当 0 x 1 和 x 1 时 ， 可 以 求 出 y与 x 的 函 数 关 系 式 ；(2)由 (1)的 解 析 式 可 以 得 出 x=2.5 1 代 入 解 析 式 就 可 以 求 出 结 论 . 答 案 ： (1)由

21、题 意 ， 得 当 0 x 1 时 ， y=22+6=28；当 x 1 时 ， y=28+10(x-1)=10 x+18； y= ；(2)当 x=2.5 时 ， y=10 2.5+18=43. 这 次 快 寄 的 费 用 是 43 元 .23.(8分 )小 英 与 她 的 父 亲 、 母 亲 计 划 外 出 旅 游 ， 初 步 选 择 了 延 安 、 西 安 、 汉 中 、 安 康 四 个城 市 ， 由 于 时 间 仓 促 ， 他 们 只 能 去 其 中 一 个 城 市 ， 到 底 去 哪 一 个 城 市 三 个 人 意 见 不 统 一 ， 在这 种 情 况 下 ， 小 英 父 亲 建 议 ，

22、 用 小 英 学 过 的 摸 球 游 戏 来 决 定 ， 规 则 如 下 ： 在 一 个 不 透 明 的 袋 子 中 装 一 个 红 球 (延 安 )、 一 个 白 球 (西 安 )、 一 个 黄 球 (汉 中 )和 一 个 黑 球(安 康 )， 这 四 个 球 除 颜 色 不 同 外 ， 其 余 完 全 相 同 ； 小 英 父 亲 先 将 袋 中 球 摇 匀 ， 让 小 英 从 袋 中 随 机 摸 出 一 球 ， 父 亲 记 录 下 其 颜 色 ， 并 将 这 个 球放 回 袋 中 摇 匀 ， 然 后 让 小 英 母 亲 从 袋 中 随 机 摸 出 一 球 ， 父 亲 记 录 下 它 的 颜

23、 色 ； 若 两 人 所 摸 出 球 的 颜 色 相 同 ， 则 去 该 球 所 表 示 的 城 市 旅 游 ， 否 则 ， 前 面 的 记 录 作 废 ， 按 规则 重 新 摸 球 ， 直 到 两 人 所 摸 出 求 的 颜 色 相 同 为 止 .按 照 上 面 的 规 则 ， 请 你 解 答 下 列 问 题 ：(1)已 知 小 英 的 理 想 旅 游 城 市 是 西 安 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 均 摸 出 白 球 的 概 率 是 多少 ？(2)已 知 小 英 母 亲 的 理 想 旅 游 城 市 是 汉 中 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次

24、， 至 少 有 一 人 摸 出 黄球 的 概 率 是 多 少 ？解 析 ： (1)首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 小 英 和 母 亲 随机 各 摸 球 一 次 ， 均 摸 出 白 球 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 ；(2)由 (1)得 ： 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 至 少 有 一 人 摸 出 黄 球的 有 7 种 情 况 ， 然 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 .答 案 ：

25、(1)画 树 状 图 得 ： 共 有 16 种 等 可 能 的 结 果 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 均 摸 出 白 球 的 只 有 1 种 情 况 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 均 摸 出 白 球 的 概 率 是 ： ；(2)由 (1)得 ： 共 有 16种 等 可 能 的 结 果 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 至 少 有 一 人 摸 出 黄 球的 有 7种 情 况 ， 小 英 和 母 亲 随 机 各 摸 球 一 次 ， 至 少 有 一 人 摸 出 黄 球 的 概 率 是 ： .24.(8分 )如 图 ， O的 半

26、 径 为 4， B 是 O 外 一 点 ， 连 接 OB， 且 OB=6， 过 点 B 作 O 的 切 线BD， 切 点 为 D， 延 长 BO 交 O于 点 A， 过 点 A 作 切 线 BD 的 垂 线 ， 垂 足 为 C. (1)求 证 ： AD平 分 BAC；(2)求 AC 的 长 .解 析 ： (1)首 先 连 接 OD， 由 BD是 O 的 切 线 ， AC BD， 易 证 得 OD AC， 继 而 可 证 得 AD 平 分 BAC；(2)由 OD AC， 易 证 得 BOD BAC， 然 后 由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 ， 求 得 AC的 长 .答 案 ：

27、 (1)连 接 OD， BD 是 O的 切 线 ， OD BD， AC BD， OD AC， 2= 3， OA=OD， 1= 3， 1= 2， 即 AD 平 分 BAC；(2) OD AC， BOD BAC， ， ， 解 得 ： AC= .25.(10分 )已 知 抛 物 线 C： y=-x2+bx+c 经 过 A(-3， 0)和 B(0， 3)两 点 ， 将 这 条 抛 物 线 的 顶 点记 为 M， 它 的 对 称 轴 与 x轴 的 交 点 记 为 N.(1)求 抛 物 线 C 的 表 达 式 ；(2)求 点 M 的 坐 标 ；(3)将 抛 物 线 C 平 移 到 C ， 抛 物 线 C

28、的 顶 点 记 为 M ， 它 的 对 称 轴 与 x 轴 的 交 点 记 为 N .如 果 以 点 M、 N、 M 、 N 为 顶 点 的 四 边 形 是 面 积 为 16 的 平 行 四 边 形 ， 那 么 应 将 抛 物 线 C 怎样 平 移 ？ 为 什 么 ？ 解 析 ： (1)直 接 把 A(-3， 0)和 B(0， 3)两 点 代 入 抛 物 线 y=-x2+bx+c， 求 出 b， c 的 值 即 可 ；(2)根 据 (1)中 抛 物 线 的 解 析 式 可 得 出 其 顶 点 坐 标 ；(3)根 据 平 行 四 边 形 的 定 义 ， 可 知 有 四 种 情 形 符 合 条 件

29、 ， 如 解 答 图 所 示 .需 要 分 类 讨 论 .答 案 ： (1) 抛 物 线 y=-x2+bx+c 经 过 A(-3， 0)和 B(0， 3)两 点 ， ， 解 得 ， 故 此 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=-x2-2x+3；(2) 由 (1)知 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： y=-x2-2x+3， 当 x=- =- =-1 时 ， y=4， M(-1， 4). (3)由 题 意 ， 以 点 M、 N、 M 、 N 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 边 MN的 对 边 只 能 是 M N ， MN M N 且 MN=M N . MN NN =16， NN =4

30、. i)当 M、 N、 M 、 N 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 是 MNN M 时 ， 将 抛 物 线 C向 左 或 向 右 平 移 4个 单 位 可 得 符 合 条 件 的 抛 物 线 C ；ii)当 M、 N、 M 、 N 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 是 MNM N 时 ， 将 抛 物 线 C 先 向 左 或 向 右 平 移4个 单 位 ， 再 向 下 平 移 8个 单 位 ， 可 得 符 合 条 件 的 抛 物 线 C . 上 述 的 四 种 平 移 ， 均 可 得 到 符 合 条 件 的 抛 物 线 C .26.(12分 )问 题 探 究 (1)如 图 ， 在 矩 形

31、ABCD中 ， AB=3， BC=4， 如 果 BC 边 上 存 在 点 P， 使 APD为 等 腰 三 角 形 ，那 么 请 画 出 满 足 条 件 的 一 个 等 腰 三 角 形 APD， 并 求 出 此 时 BP的 长 ；(2)如 图 ， 在 ABC中 ， ABC=60 ， BC=12， AD 是 BC 边 上 的 高 ， E、 F 分 别 为 边 AB、 AC的 中 点 ， 当 AD=6时 ， BC边 上 存 在 一 点 Q， 使 EQF=90 ， 求 此 时 BQ 的 长 ；问 题 解 决(3)有 一 山 庄 ， 它 的 平 面 图 为 如 图 的 五 边 形 ABCDE， 山 庄

32、保 卫 人 员 想 在 线 段 CD上 选 一 点 M安 装 监 控 装 置 ， 用 来 监 视 边 AB， 现 只 要 使 AMB大 约 为 60 ， 就 可 以 让 监 控 装 置 的 效 果 达到 最 佳 ， 已 知 A= E= D=90 ， AB=270m， AE=400m， ED=285m， CD=340m， 问 在 线 段 CD 上是 否 存 在 点 M， 使 AMB=60 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 符 合 条 件 的 DM的 长 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 .解 析 ： (1)由 于 PAD是 等 腰 三 角 形 ， 底 边 不 定 ， 需 三 种 情 况 讨

33、 论 ， 运 用 三 角 形 全 等 、 矩 形的 性 质 、 勾 股 定 理 等 知 识 即 可 解 决 问 题 . (2)以 EF 为 直 径 作 O， 易 证 O 与 BC 相 切 ， 从 而 得 到 符 合 条 件 的 点 Q 唯 一 ， 然 后 通 过 添 加辅 助 线 ， 借 助 于 正 方 形 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 等 知 识 即 可 求 出 BQ 长 .(3)要 满 足 AMB=60 ， 可 构 造 以 AB 为 边 的 等 边 三 角 形 的 外 接 圆 ， 该 圆 与 线 段 CD 的 交 点 就是 满 足 条 件 的 点 ， 然 后 借 助 于 等 边

34、三 角 形 的 性 质 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 等 知 识 ， 就 可 算 出 符合 条 件 的 DM 长 .答 案 ： (1) 作 AD 的 垂 直 平 分 线 交 BC 于 点 P， 如 图 ， 则 PA=PD. PAD是 等 腰 三 角 形 . 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AB=DC， B= C=90 . PA=PD， AB=DC， Rt ABP Rt DCP(HL). BP=CP. BC=4， BP=CP=2. 以 点 D 为 圆 心 ， AD为 半 径 画 弧 ， 交 BC于 点 P ， 如 图 ， 则 DA=DP . P AD是 等 腰 三 角 形 . 四

35、 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD=BC， AB=DC， C=90 . AB=3， BC=4， DC=3， DP =4. CP = = . BP =4- . 点 A为 圆 心 ， AD 为 半 径 画 弧 ， 交 BC于 点 P ， 如 图 ， 则 AD=AP . P AD是 等 腰 三 角 形 .同 理 可 得 ： BP = .综 上 所 述 ： 在 等 腰 三 角 形 ADP中 ，若 PA=PD， 则 BP=2； 若 DP=DA， 则 BP=4- ；若 AP=AD， 则 BP= .(2) E、 F分 别 为 边 AB、 AC 的 中 点 ， EF BC， EF= BC. BC=12，

36、 EF=6.以 EF 为 直 径 作 O， 过 点 O 作 OQ BC， 垂 足 为 Q， 连 接 EQ、 FQ， 如 图 . AD BC， AD=6， EF 与 BC之 间 的 距 离 为 3. OQ=3， OQ=OE=3. O与 BC相 切 ， 切 点 为 Q. EF 为 O的 直 径 ， EQF=90 .过 点 E作 EG BC， 垂 足 为 G， 如 图 . EG BC， OQ BC， EG OQ. EO GQ， EG OQ， EGQ=90 ， OE=OQ， 四 边 形 OEGQ是 正 方 形 . GQ=EO=3， EG=OQ=3. B=60 ， EGB=90 ， EG=3， BG=

37、. BQ=GQ+BG=3+ . 当 EQF=90 时 ， BQ 的 长 为 3+ .(3)在 线 段 CD 上 存 在 点 M， 使 AMB=60 .理 由 如 下 ： 以 AB为 边 ， 在 AB的 右 侧 作 等 边 三 角 形 ABG，作 GP AB， 垂 足 为 P， 作 AK BG， 垂 足 为 K.设 GP 与 AK交 于 点 O， 以 点 O为 圆 心 ， OA 为 半 径 作 O，过 点 O作 OH CD， 垂 足 为 H， 如 图 . 则 O是 ABG 的 外 接 圆 ， ABG是 等 边 三 角 形 ， GP AB， AP=PB= AB. AB=270， AP=135. E

38、D=285， OH=285-135=150. ABG是 等 边 三 角 形 ， AK BG， BAK= GAK=30 . OP=AP tan30 =135 =45 . OA=2OP=90 . OH OA. O 与 CD相 交 ， 设 交 点 为 M， 连 接 MA、 MB， 如 图 . AMB= AGB=60 ， OM=OA=90 . OH CD， OH=150， OM=90 ， HM= = =30 . AE=400， OP=45 ， DH=400-45 .若 点 M在 点 H 的 左 边 ， 则 DM=DH+HM=400-45 +30 . 400-45 +30 340， DM CD. 点 M 不 在 线 段 CD 上 ， 应 舍 去 . 若 点 M在 点 H 的 右 边 ， 则 DM=DH-HM=400-45 -30 . 400-45 -30 340， DM CD. 点 M 在 线 段 CD上 .综 上 所 述 ： 在 线 段 CD上 存 在 唯 一 的 点 M， 使 AMB=60 ，此 时 DM的 长 为 (400-45 -30 )米 .