2013年浙江省绍兴市中考真题数学及答案解析.docx

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1、2013年 浙 江 省 绍 兴 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 )1.(4分 )-2的 绝 对 值 是 ( )A.2B.-2C.0D.解 析 ： -2 的 绝 对 值 是 2，答 案 ： A. 2.(4分 )计 算 3a (2b)的 结 果 是 ( )A.3abB.6aC.6abD.5ab解 析 ： 3a (2b)=3 2a b=6ab.答 案 ： C.3.(4分 )地 球 半 径 约 为 6400000米 ， 则 此 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.64 10 9B.6.4 106C.

2、6.4 104D.64 103解 析 ： 6 400 000=6.4 106，答 案 ： B.4.(4分 )由 5 个 相 同 的 立 方 体 搭 成 的 几 何 体 如 图 所 示 ， 则 它 的 主 视 图 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 从 正 面 可 看 到 从 左 往 右 三 列 小 正 方 形 的 个 数 为 ： 1， 1， 2.答 案 ： C.5.(4分 )一 个 不 透 明 的 袋 子 中 有 3个 白 球 、 2 个 黄 球 和 1 个 红 球 ， 这 些 球 除 颜 色 可 以 不 同 外其 他 完 全 相 同 ， 则 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球

3、是 黄 球 的 概 率 为 ( )A.B. C.D.解 析 ： 根 据 题 意 可 得 ： 袋 子 中 有 3个 白 球 ， 2 个 黄 球 和 1个 红 球 ， 共 6个 ，从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 它 是 黄 球 的 概 率 2 6= .答 案 ： B.6.(4分 )绍 兴 是 著 名 的 桥 乡 ， 如 图 ， 石 拱 桥 的 桥 顶 到 水 面 的 距 离 CD为 8m， 桥 拱 半 径 OC 为5m， 则 水 面 宽 AB为 ( ) A.4mB.5mC.6mD.8m解 析 ： 连 接 OA， 桥 拱 半 径 OC 为 5m， OA=5m， CD=8m， OD=8

4、-5=3m， AD= = =4m， AB=2AD=2 4=8(m)；答 案 ： D.7.(4分 )若 圆 锥 的 轴 截 图 为 等 边 三 角 形 ， 则 称 此 圆 锥 为 正 圆 锥 ， 则 正 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 圆心 角 是 ( )A.90B.120C.150D.180解 析 ： 设 正 圆 锥 的 底 面 半 径 是 r， 则 母 线 长 是 2r， 底 面 周 长 是 2 r， 设 正 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 是 n ， 则 =2 r， 解 得 ： n=180 .答 案 ： D.8.(4分 )如 图 是 我 国 古 代 计 时 器 “ 漏

5、壶 ” 的 示 意 图 ， 在 壶 内 盛 一 定 量 的 水 ， 水 从 壶 底 的 小 孔漏 出 .壶 壁 内 画 有 刻 度 ， 人 们 根 据 壶 中 水 面 的 位 置 计 时 ， 用 x 表 示 时 间 ， y 表 示 壶 底 到 水 面的 高 度 ， 则 y 与 x 的 函 数 关 系 式 的 图 象 是 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 由 题 意 知 ： 开 始 时 ， 壶 内 盛 一 定 量 的 水 ， 所 以 y的 初 始 位 置 应 该 大 于 0， 可 以 排 除 A、B；由 于 漏 壶 漏 水 的 速 度 不 变 ， 所 以 图 中 的 函 数 应 该 是 一

6、次 函 数 ， 可 以 排 除 D 选 项 ；答 案 ： C.9.(4分 )小 敏 在 作 O 的 内 接 正 五 边 形 时 ， 先 做 了 如 下 几 个 步 骤 ： (1)作 O 的 两 条 互 相 垂 直 的 直 径 ， 再 作 OA的 垂 直 平 分 线 交 OA于 点 M， 如 图 1；(2)以 M 为 圆 心 ， BM长 为 半 径 作 圆 弧 ， 交 CA于 点 D， 连 结 BD， 如 图 2.若 O 的 半 径 为 1， 则由 以 上 作 图 得 到 的 关 于 正 五 边 形 边 长 BD的 等 式 是 ( )A.BD 2= ODB.BD2= ODC.BD2= ODD.B

7、D2= OD解 析 ： 如 图 2， 连 接 BM， 根 据 题 意 得 ： OB=OA=1， AD OB， BM=DM， OA 的 垂 直 平 分 线 交 OA于 点 M， OM=AM= OA= ， BM= = ， DM= ， OD=DM-OM= - = ， BD2=OD2+OB2= = = OD.答 案 ： C.10.(4分 )教 室 里 的 饮 水 机 接 通 电 源 就 进 入 自 动 程 序 ， 开 机 加 热 时 每 分 钟 上 升 10 ， 加 热 到100 ， 停 止 加 热 ， 水 温 开 始 下 降 ， 此 时 水 温 ( )与 开 机 后 用 时 (min)成 反 比 例

8、 关 系 .直 至 水温 降 至 30 ， 饮 水 机 关 机 .饮 水 机 关 机 后 即 刻 自 动 开 机 ， 重 复 上 述 自 动 程 序 .若 在 水 温 为 30时 ， 接 通 电 源 后 ， 水 温 y( )和 时 间 (min)的 关 系 如 图 ， 为 了 在 上 午 第 一 节 下 课 时 (8： 45)能喝 到 不 超 过 50 的 水 ， 则 接 通 电 源 的 时 间 可 以 是 当 天 上 午 的 ( ) A.7： 20B.7： 30C.7： 45D.7： 50解 析 ： 开 机 加 热 时 每 分 钟 上 升 10 ， 从 30 到 100 需 要 7 分 钟

9、，设 一 次 函 数 关 系 式 为 ： y=k1x+b，将 (0， 30)， (7， 100)代 入 y=k1x+b得 k1=10， b=30， y=10 x+30(0 x 7)， 令 y=50， 解 得 x=2；设 反 比 例 函 数 关 系 式 为 ： y= ， 将 (7， 100)代 入 y= 得 k=700， y= ，将 y=30代 入 y= ， 解 得 x= ； y= (7 x )， 令 y=50， 解 得 x=14. 所 以 ， 饮 水 机 的 一 个 循 环 周 期 为 分 钟 .每 一 个 循 环 周 期 内 ， 在 0 x 2及 14 x 时间 段 内 ， 水 温 不 超

10、过 50 .逐 一 分 析 如 下 ：选 项 A： 7： 20至 8： 45 之 间 有 85分 钟 .85- 3=15， 位 于 14 x 时 间 段 内 ， 故 可 行 ；选 项 B： 7： 30 至 8： 45 之 间 有 75分 钟 .75- 3=5， 不 在 0 x 2 及 14 x 时 间 段内 ， 故 不 可 行 ；选 项 C： 7： 45至 8： 45 之 间 有 60分 钟 .60- 2= 13.3， 不 在 0 x 2及 14 x时 间 段 内 ， 故 不 可 行 ；选 项 D： 7： 50至 8： 45之 间 有 55 分 钟 .55- 2= 8.3， 不 在 0 x 2

11、及 14 x 时 间 段 内 ， 故 不 可 行 . 综 上 所 述 ， 四 个 选 项 中 ， 唯 有 7： 20 符 合 题 意 .答 案 ： A.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 ) 11.(5分 )分 解 因 式 ： x2-y2= .解 析 ： x2-y2=(x+y)(x-y).答 案 ： (x+y)(x-y)12.(5分 )分 式 方 程 =3的 解 是 .解 析 ： 去 分 母 得 ： 2x=3x-3， 解 得 ： x=3， 经 检 验 x=3是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： x=313.(5分 )我 国 古 代 数

12、学 名 著 孙 子 算 经 中 有 这 样 一 题 ， 今 有 鸡 兔 同 笼 ， 上 有 35头 ， 下 有94足 ， 问 鸡 兔 各 几 何 ？ 此 题 的 答 案 是 ： 鸡 有 23只 ， 兔 有 12 只 ， 现 在 小 敏 将 此 题 改 编 为 ：今 有 鸡 兔 同 笼 ， 上 有 33头 ， 下 有 88足 ， 问 鸡 兔 各 几 何 ？ 则 此 时 的 答 案 是 ： 鸡 有 只 ，兔 有 只 . 解 析 ： 设 鸡 有 x只 ， 兔 有 y 只 ， 由 题 意 ， 得 ： ， 解 得 ： ， 鸡 有 22 只 ， 兔 有 11 只 .答 案 ： 22， 11.14.(5分

13、)在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O是 原 点 ， A是 x轴 上 的 点 ， 将 射 线 OA 绕 点 O旋 转 ， 使 点 A与 双 曲 线 y= 上 的 点 B 重 合 ， 若 点 B 的 纵 坐 标 是 1， 则 点 A 的 横 坐 标 是 .解 析 ： 如 图 所 示 ： 点 A与 双 曲 线 y= 上 的 点 B重 合 ， 点 B 的 纵 坐 标 是 1， 点 B的 横 坐 标 是 ， OB= =2， A 点 可 能 在 x轴 的 正 半 轴 也 可 能 在 负 半 轴 ， A 点 坐 标 为 ： (2， 0)， (-2， 0).答 案 ： 2 或 -2.15.(5分 )如

14、 图 钢 架 中 ， 焊 上 等 长 的 13根 钢 条 来 加 固 钢 架 ， 若 AP 1=P1P2=P2P3= =P13P14=P14A，则 A的 度 数 是 .解 析 ： 设 A=x， AP1=P1P2=P2P3= =P13P14=P14A， A= AP2P1= AP13P14=x， P2P1P3= P13P14P12=2x， P3P2P4= P12P13P11=3x， ， P7P6P8= P8P9P7=7x， AP7P8=7x， AP8P7=7x，在 AP 7P8中 ， A+ AP7P8+ AP8P7=180 ，即 x+7x+7x=180 ， 解 得 x=12 ， 即 A=12 .答

15、 案 ： 12 .16.(5分 )矩 形 ABCD中 ， AB=4， AD=3， P， Q是 对 角 线 BD 上 不 重 合 的 两 点 ， 点 P关 于 直 线 AD，AB的 对 称 点 分 别 是 点 E、 F， 点 Q关 于 直 线 BC、 CD的 对 称 点 分 别 是 点 G、 H.若 由 点 E、 F、 G、H构 成 的 四 边 形 恰 好 为 菱 形 ， 则 PQ的 长 为 .解 析 ： 由 矩 形 ABCD 中 ， AB=4， AD=3， 可 得 对 角 线 AC=BD=5.依 题 意 画 出 图 形 ， 如 图 所 示 . 由 轴 对 称 性 质 可 知 ， PAF+ PA

16、E=2 PAB+2 PAD=2( PAB+ PAD)=180 ， 点 A在 菱 形 EFGH 的 边 EF 上 .同 理 可 知 ， 点 B、 C、 D 均 在 菱 形 EFGH的 边 上 . AP=AE=AF， 点 A为 EF中 点 .同 理 可 知 ， 点 C为 GH中 点 .连 接 AC， 交 BD于 点 O， 则 有 AF=CG， 且 AF CG， 四 边 形 ACGF为 平 行 四 边 形 ， FG=AC=5， 即 菱 形 EFGH的 边 长 等 于 矩 形 ABCD 的 对 角 线 长 . EF=FG=5， AP=AE=AF， AP= EF=2.5. OA= AC=2.5， AP=

17、AO， 即 APO为 等 腰 三 角 形 .过 点 A作 AN BD交 BD 于 点 N， 则 点 N为 OP的 中 点 .由 S ABD= AB AD= AC AN， 可 求 得 ： AN=2.4.在 Rt AON中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： ON= = =0.7， OP=2ON=1.4；同 理 可 求 得 ： OQ=1.4， PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8.答 案 ： 2.8.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 有 8 小 题 ， 第 17-20 小 题 每 小 题 8 分 ， 第 21小 题 10分 ， 第 22、 23小 题 每 小 题 8 分 ， 第 24小 题 1

18、4分 ， 共 80分 )17.(8分 )(1)化 简 ： (a-1) 2+2(a+1)(2)解 不 等 式 ： + 1.解 析 ： (1)原 式 第 一 项 利 用 完 全 平 方 公 式 展 开 ， 去 括 号 合 并 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)原 式 =a2-2a+1+2a+2=a2+3；(2)去 分 母 得 ： 3(x+1)+2(x-1) 6， 去 括 号 得 ： 3x+3+2x-2 6， 解 得 ： x 1.18.(8分 )某 市 出 租 车 计 费 方 法 如 图 所 示 ， x(km)表 示 行 驶 里 程 ， y(元 )表 示 车 费 ， 请 根 据 图象 回

19、答 下 面 的 问 题 ： (1)出 租 车 的 起 步 价 是 多 少 元 ？ 当 x 3时 ， 求 y关 于 x 的 函 数 关 系 式 .(2)若 某 乘 客 有 一 次 乘 出 租 车 的 车 费 为 32 元 ， 求 这 位 乘 客 乘 车 的 里 程 .解 析 ： (1)根 据 函 数 图 象 可 以 得 出 出 租 车 的 起 步 价 是 8元 ， 设 当 x 3 时 ， y 与 x 的 函 数 关 系式 为 y=kx+b， 运 用 待 定 系 数 法 就 可 以 求 出 结 论 ；(2)将 y=32代 入 (1)的 解 析 式 就 可 以 求 出 x 的 值 .答 案 ： (1

20、)由 图 象 得 ： 出 租 车 的 起 步 价 是 8 元 ；设 当 x 3 时 ， y与 x的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b(k 0)，由 函 数 图 象 ， 得 ， 解 得 ： ， 故 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 ： y=2x+2；(2) 32元 8 元 ， 当 y=32时 ， 32=2x+2， x=15.答 ： 这 位 乘 客 乘 车 的 里 程 是 15km.19.(8分 )如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=6， 第 1 次 平 移 将 矩 形 ABCD沿 AB 的 方 向 向 右 平 移 5 个 单 位 ， 得 到 矩 形 A1B1C1D1， 第 2 次

21、 平 移 将 矩 形 A1B1C1D1沿 A1B1的 方 向 向 右 平 移 5 个 单 位 ， 得 到 矩形 A2B2C2D2 ， 第 n 次 平 移 将 矩 形 An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿 An-1Bn-1的 方 向 平 移 5 个 单 位 ， 得 到 矩 形AnBnCnDn(n 2).(1)求 AB 1和 AB2的 长 .(2)若 ABn的 长 为 56， 求 n.解 析 ： (1)根 据 平 移 的 性 质 得 出 AA1=5， A1A2=5， A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1， 进 而 求 出 AB1和 AB2的长 ；(2)根 据 (1)中 所 求 得 出 数 字 变

22、 化 规 律 ， 进 而 得 出 ABn=(n+1) 5+1求 出 n 即 可 .答 案 ： (1) AB=6， 第 1次 平 移 将 矩 形 ABCD沿 AB的 方 向 向 右 平 移 5个 单 位 ， 得 到 矩 形 A1B1C1D1，第 2 次 平 移 将 矩 形 A1B1C1D1沿 A1B1的 方 向 向 右 平 移 5 个 单 位 ， 得 到 矩 形 A2B2C2D2 ， AA 1=5， A1A2=5， A2B1=A1B1-A1A2=6-5=1， AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11， AB2的 长 为 ： 5+5+6=16；(2) AB1=2 5+1=11， AB2

23、=3 5+1=16， ABn=(n+1) 5+1=56， 解 得 ： n=10. 20.(8分 )某 校 体 育 组 为 了 了 解 学 生 喜 欢 的 体 育 项 目 ， 从 全 校 同 学 中 随 机 抽 取 了 若 干 名 同 学进 行 调 查 ， 每 位 同 学 从 兵 乓 球 、 篮 球 、 羽 毛 球 、 排 球 、 跳 绳 中 选 择 一 项 最 喜 欢 的 项 目 ， 并 将调 查 的 结 果 绘 制 成 如 下 的 两 幅 统 计 图 .根 据 以 上 统 计 图 ， 解 答 下 列 问 题 ： (1)这 次 被 调 查 的 共 有 多 少 名 同 学 ？ 并 补 全 条 形

24、 统 计 图 .(2)若 全 校 有 1200名 同 学 ， 估 计 全 校 最 喜 欢 篮 球 和 排 球 的 共 有 多 少 名 同 学 ？解 析 ： (1)利 用 条 形 统 计 图 可 得 喜 欢 羽 毛 球 的 人 数 有 30人 ， 根 据 扇 形 统 计 图 可 得 喜 欢 羽 毛 球的 人 数 有 15%， 利 用 30 15%即 可 得 到 被 调 查 的 总 人 数 ； 用 总 人 数 -喜 欢 乒 乓 球 的 人 数 -喜 欢篮 球 的 人 数 -喜 欢 羽 毛 球 的 人 数 -喜 欢 排 球 的 人 数 可 得 喜 欢 跳 绳 的 人 数 ， 再 补 图 即 可 ；(

25、2)计 算 出 调 查 的 人 数 中 喜 欢 篮 球 和 排 球 的 人 数 所 占 百 分 比 ， 再 乘 以 1200 即 可 .答 案 ： (1)这 次 被 调 查 的 学 生 总 数 ： 30 15%=200(人 )，跳 绳 人 数 ： 200-70-40-30-12=48， 如 图 所 示 ： (2)1200 100%=312(人 ).答 ： 全 校 有 1200名 同 学 ， 估 计 全 校 最 喜 欢 篮 球 和 排 球 的 共 有 312 名 同 学 .21.(10分 )如 图 ， 伞 不 论 张 开 还 是 收 紧 ， 伞 柄 AP始 终 平 分 同 一 平 面 内 两 条

26、 伞 架 所 成 的 角 BAC，当 伞 收 紧 时 ， 结 点 D 与 点 M 重 合 ， 且 点 A、 E、 D 在 同 一 条 直 线 上 ， 已 知 部 分 伞 架 的 长 度 如 下 ：单 位 ： cm (1)求 AM 的 长 .(2)当 BAC=104 时 ， 求 AD 的 长 (精 确 到 1cm).备 用 数 据 ： sin52 =0.788， cos52 =0.6157， tan52 =1.2799.解 析 ： (1)根 据 AM=AE+DE求 解 即 可 ；(2)先 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 出 EAD= BAC=52 ， 再 过 点 E 作 EG AD 于

27、G， 由 等 腰 三 角形 的 性 质 得 出 AD=2AG， 然 后 在 AEG 中 ， 利 用 余 弦 函 数 的 定 义 求 出 AG的 长 ， 进 而 得 到 AD的 长 度 .答 案 ： (1)由 题 意 ， 得 AM=AE+DE=36+36=72(cm).故 AM的 长 为 72cm；(2) AP平 分 BAC， BAC=104 ， EAD= BAC=52 .过 点 E 作 EG AD于 G， AE=DE=36， AG=DG， AD=2AG.在 AEG中 ， AGE=90 ， AG=AE cos EAG=36 cos52 =36 0.6157=22.1652， AD=2AG=2 2

28、2.1652 44(cm).故 AD 的 长 约 为 44cm.22.(12分 )若 一 个 矩 形 的 一 边 是 另 一 边 的 两 倍 ， 则 称 这 个 矩 形 为 方 形 ， 如 图 1， 矩 形 ABCD中 ， BC=2AB， 则 称 ABCD 为 方 形 . (1)设 a， b是 方 形 的 一 组 邻 边 长 ， 写 出 a， b 的 值 (一 组 即 可 ).(2)在 ABC中 ， 将 AB， AC分 别 五 等 分 ， 连 结 两 边 对 应 的 等 分 点 ， 以 这 些 连 结 线 为 一 边 作 矩形 ， 使 这 些 矩 形 的 边 B1C1， B2C2， B3C3，

29、 B4C4的 对 边 分 别 在 B2C2， B3C3， B4C4， BC上 ， 如 图 2所示 . 若 BC=25， BC边 上 的 高 为 20， 判 断 以 B1C1为 一 边 的 矩 形 是 不 是 方 形 ？ 为 什 么 ？ 若 以 B3C3为 一 边 的 矩 形 为 方 形 ， 求 BC与 BC边 上 的 高 之 比 .解 析 ： (1)答 案 不 唯 一 ， 根 据 已 知 举 出 即 可 ；(2) 求 出 ABC AB 1C1 AB2C2 AB3C3 AB4C4， 推 出 = = ， = = ，= = ， = = ， 求 出 B1C1=5， B2C2=10， B3C3=15，

30、B4C4=20， AE=4， AH=8， AG=12，AN=16， MN=GN=GH=HE=4， B1Q=B2O=B3Z=B4K=4， 根 据 已 知 判 断 即 可 ； 设 AM=h， 根 据 ABC AB3C3， 得 出 = = ， 求 出 MN=GN=GH=HE= h， 分 为 两 种 情况 ： 当 B 3C3=2 h， 时 ， 当 B3C3= h 时 ， 代 入 求 出 即 可 .答 案 ： (1)答 案 不 唯 一 ， 如 a=2， b=4；(2) 以 B1C1为 一 边 的 矩 形 不 是 方 形 .理 由 是 ： 过 A 作 AM BC 于 M， 交 B1C1于 E， 交 B2C

31、2于 H， 交 B3C3于 G， 交 B4C4于 N， 则 AM B4C4， AM B3C3， AM B2C2， AM B1C1， 由 矩 形 的 性 质 得 ： BC B1C1 B2C2 B3C3 B4C4， ABC AB1C1 AB2C2 AB3C3 AB4C4， = = ， = = ， = = ， = = ， AM=20， BC=25， B1C1=5， B2C2=10， B3C3=15， B4C4=20， AE=4， AH=8， AG=12， AN=16， MN=GN=GH=HE=4， B1Q=B2O=B3Z=B4K=4，即 B1C1 2B1Q， B1Q 2B1C1， 以 B1C1为 一

32、 边 的 矩 形 不 是 方 形 ； 以 B3C3为 一 边 的 矩 形 为 方 形 ， 设 AM=h， ABC AB3C3， = = ， 则 AG= h， MN=GN=GH=HE= h，当 B 3C3=2 h 时 ， = = ；当 B3C3= h时 ， = = .综 合 上 述 ： BC 与 BC边 上 的 高 之 比 是 或 .23.(12分 )在 ABC 中 ， CAB=90 ， AD BC于 点 D， 点 E 为 AB的 中 点 ， EC与 AD交 于 点 G，点 F 在 BC 上 . (1)如 图 1， AC： AB=1： 2， EF CB， 求 证 ： EF=CD.(2)如 图 2

33、， AC： AB=1： ， EF CE， 求 EF： EG的 值 .解 析 ： (1)根 据 同 角 的 余 角 相 等 得 出 CAD= B， 根 据 AC： AB=1： 2及 点 E 为 AB 的 中 点 ， 得出 AC=BE， 再 利 用 AAS证 明 ACD BEF， 即 可 得 出 EF=CD；(2)作 EH AD于 H， EQ BC于 Q， 先 证 明 四 边 形 EQDH是 矩 形 ， 得 出 QEH=90 ， 则 FEQ= GEH，再 由 两 角 对 应 相 等 的 两 三 角 形 相 似 证 明 EFQ EGH， 得 出 EF： EG=EQ： EH， 然 后 在 BEQ中 ，

34、 根 据 正 弦 函 数 的 定 义 得 出 EQ= BE， 在 AEH中 ， 根 据 余 弦 函 数 的 定 义 得 出 EH= AE，又 BE=AE， 进 而 求 出 EF： EG的 值 .答 案 ： (1)在 ABC中 ， CAB=90 ， AD BC 于 点 D， CAD= B=90 - ACB. AC： AB=1： 2， AB=2AC， 点 E为 AB的 中 点 ， AB=2BE， AC=BE. 在 ACD与 BEF中 ， ， ACD BEF， CD=EF， 即 EF=CD；(2)如 图 2， 作 EH AD于 H， EQ BC于 Q， EH AD， EQ BC， AD BC， 四

35、边 形 EQDH是 矩 形 ， QEH=90 ， FEQ= GEH=90 - QEG，又 EQF= EHG=90 ， EFQ EGH， EF： EG=EQ： EH. AC： AB=1： ， CAB=90 ， B=30 .在 BEQ中 ， BQE=90 ， sinB= = ， EQ= BE.在 AEH中 ， AHE=90 ， AEH= B=30 ， cos AEH= = ， EH= AE. 点 E为 AB的 中 点 ， BE=AE， EF： EG=EQ： EH= BE： AE=1： .24.(14分 )抛 物 线 y=(x-3)(x+1)与 x 轴 交 于 A， B两 点 (点 A 在 点 B

36、左 侧 )， 与 y轴 交 于 点 C，点 D 为 顶 点 . (1)求 点 B 及 点 D 的 坐 标 .(2)连 结 BD， CD， 抛 物 线 的 对 称 轴 与 x轴 交 于 点 E. 若 线 段 BD上 一 点 P， 使 DCP= BDE， 求 点 P的 坐 标 . 若 抛 物 线 上 一 点 M， 作 MN CD， 交 直 线 CD于 点 N， 使 CMN= BDE， 求 点 M 的 坐 标 .解 析 ： (1)解 方 程 (x-3)(x+1)=0， 求 出 x=3或 -1， 根 据 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)与 x 轴 交 于 A， B两 点 (点 A 在 点 B 左

37、侧 )， 确 定 点 B的 坐 标 为 (3， 0)； 将 y=(x-3)(x+1)配 方 ， 写 成 顶 点 式 为y=x2-2x-3=(x-1)2-4， 即 可 确 定 顶 点 D 的 坐 标 ；(2) 根 据 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)， 得 到 点 C、 点 E 的 坐 标 .连 接 BC， 过 点 C 作 CH DE于 H，由 勾 股 定 理 得 出 CD= ， CB=3 ， 证 明 BCD为 直 角 三 角 形 .分 别 延 长 PC、 DC， 与 x 轴 相 交 于 点 Q， R.根 据 两 角 对 应 相 等 的 两 三 角 形 相 似 证 明 BCD QOC， 则

38、= = ， 得 出 Q的 坐 标 (-9， 0)， 运 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 CQ 的 解 析 式 为 y=- x-3， 直 线 BD的 解 析 式 为y=2x-6， 解 方 程 组 ， 即 可 求 出 点 P 的 坐 标 ； 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 ： ( )当 点 M 在 对 称 轴 右 侧 时 .若 点 N在 射 线 CD上 ， 如 备 用 图 1， 延长 MN交 y 轴 于 点 F， 过 点 M作 MG y轴 于 点 G， 先 证 明 MCN DBE， 由 相 似 三 角 形 对 应 边成 比 例 得 出 MN=2CN.设 CN=a， 再 证 明 CNF，

39、 MGF均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 然 后 用 含 a 的 代数 式 表 示 点 M 的 坐 标 ， 将 其 代 入 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)， 求 出 a 的 值 ， 得 到 点 M的 坐 标 ； 若点 N 在 射 线 DC上 ， 同 理 可 求 出 点 M的 坐 标 ； ( )当 点 M 在 对 称 轴 左 侧 时 .由 于 BDE 45 ，得 到 CMN 45 ， 根 据 直 角 三 角 形 两 锐 角 互 余 得 出 MCN 45 ， 而 抛 物 线 左 侧 任 意 一 点 K， 都 有 KCN 45 ， 所 以 点 M 不 存 在 .答 案 ： (1) 抛 物

40、 线 y=(x-3)(x+1)与 x轴 交 于 A， B 两 点 (点 A在 点 B 左 侧 )， 当 y=0时 ， (x-3)(x+1)=0， 解 得 x=3或 -1， 点 B的 坐 标 为 (3， 0). y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4， 顶 点 D 的 坐 标 为 (1， -4)；(2) 如 图 . 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3 与 与 y轴 交 于 点 C， C点 坐 标 为 (0， -3). 对 称 轴 为 直 线 x=1， 点 E的 坐 标 为 (1， 0).连 接 BC， 过 点 C作 CH DE于 H， 则 H 点 坐 标 为

41、 (1， -3)， CH=DH=1， CDH= BCO= BCH=45 ， CD= ， CB=3 ， BCD为 直 角 三 角 形 .分 别 延 长 PC、 DC， 与 x 轴 相 交 于 点 Q， R. BDE= DCP= QCR， CDB= CDE+ BDE=45 + DCP， QCO= RCO+ QCR=45 + DCP， CDB= QCO， BCD QOC， = = ， OQ=3OC=9， 即 Q(-9， 0). 直 线 CQ 的 解 析 式 为 y=- x-3， 直 线 BD的 解 析 式 为 y=2x-6.由 方 程 组 ， 解 得 . 点 P 的 坐 标 为 ( ， - )； (

42、 )当 点 M 在 对 称 轴 右 侧 时 .若 点 N在 射 线 CD上 ， 如 图 ， 延 长 MN 交 y 轴 于 点 F， 过 点 M 作 MG y 轴 于 点 G. CMN= BDE， CNM= BED=90 ， MCN DBE， = = ， MN=2CN.设 CN=a， 则 MN=2a. CDE= DCF=45 ， CNF， MGF均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， NF=CN=a， CF= a， MF=MN+NF=3a， MG=FG= a， CG=FG-FC= a， M( a， -3+ a).代 入 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)， 解 得 a= ， M( ， - )；

43、若 点 N在 射 线 DC上 ， 如 图 ， MN交 y 轴 于 点 F， 过 点 M 作 MG y 轴 于 点 G. CMN= BDE， CNM= BED=90 ， MCN DBE， = = ， MN=2CN.设 CN=a， 则 MN=2a. CDE=45 ， CNF， MGF均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， NF=CN=a， CF= a， MF=MN-NF=a， MG=FG= a， CG=FG+FC= a， M( a， -3+ a).代 入 抛 物 线 y=(x-3)(x+1)， 解 得 a=5 ， M(5， 12)；( )当 点 M在 对 称 轴 左 侧 时 . CMN= BDE 45 ， MCN 45 ，而 抛 物 线 左 侧 任 意 一 点 K， 都 有 KCN 45 ， 点 M不 存 在 .综 上 可 知 ， 点 M坐 标 为 ( ， - )或 (5， 12).