2011年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学试卷(文史类).pdf

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1、绝密启用前 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学 (文史类) 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 ( ) () ()P AB PA PB+= + 24SR= 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 ( ) () ()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 343VR= n次

2、独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 () (1 )kk nknnPk CP P=第一部分（选择题 共 60 分） 1选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2本大题共12小题，每小题5分，共60分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的 1若全集 1, 2, 3, 4, 5M = ， 2, 4N = ，则MN = （ A） （ B） 1,3,5 （ C） 2, 4 （ D） 1,2,3,4,5 答案： B 解析： 1, 2, 3, 4, 5M = ，则MN =1,35，选

3、 B 2有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5， 15.5) 2 15.5， 19.5) 4 19.5， 23.5) 9 23.5， 27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5， 39.5) 7 39.5， 43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5 的数据约占 （ A）211（ B） 13（ C）12（ D）23答案： B 解析： 大于或等于 31.5 的数据共有 12+7+3=22 个，约占22 166 3= ，选 B 3圆22460xy xy+=的圆心坐标是 （ A） (2， 3) （ B） ( 2

4、， 3) （ C） ( 2， 3) （ D） (2， 3) 答案： D 解析： 圆方程化为22(2)(3)13xy+=，圆心 (2， 3)，选 D 4函数1() 12xy =+的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 答案： A 解析：1() 12xy =+图象过点 (0,2) ， 且单调递减， 故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2,0)且单调递减，选 A 5 “ x 3”是“ x2 9”的 （ A） 充分而不必要的条件 （ B）必要而不充分的条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要的条件 答案： A 解析： 若 x 3，则 x2 9，反之，若 x2 9，则 3x = ，选 A

5、 61l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ A）12ll ，23ll13/ll （ B）12ll ，23/ll13ll （ C）233/ /lll1l ，2l ，3l 共面 （ D）1l ，2l ，3l 共点 1l ，2l ，3l 共面 答案： B 解析： 由12ll ，23/ll，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为 90，选 B 7如图，正六边形 ABCDEF 中， BA CD EF+ +=uuur uuur uuur（ A） 0 （ B） BEuuur（ C） ADuuur（ D） CFuuur答案： D 解析： BA CD EF CD DE EF CF

6、+=+=uuuruuruuruuruuruuruur，选 D 8在 ABC 中，222sin sin sin sin sinA BCBC+ ，则 A 的取值范围是 （ A） (0, 6（ B） ,)6 （ C） (0, 3（ D） ,)3 答案： C 解析： 由222sin sin sin sin sinA BCBC+ 得222abcbc +，即222122bcabc+ ， 1cos2A ， 0 A = = =nnnnnn 故二面角 A A1D B 的平面角的余弦值为23 20 （本小题共 12 分） 已知 na 是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，nS 为它的前 n 项和 （）当1S

7、、3S 、4S 成等差数列时，求 q 的值； （）当mS 、nS 、lS 成等差数列时，求证：对任意自然数 k，mka+、nka+、lka+也成等差数列 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、 解决问题的能力 解 ： （）由已知，1nnaaq= ，因此1Sa= ，23(1 )Sa qq=+，234(1 )Sa qqq=+ 当1S 、3S 、4S 成等差数列时，14 32SS S+= ，可得32aq aq aq=+ 化简得210qq=解得152q= （）若 1q = ，则 na 的每项naa= ，此时mka+、nka+、lka+显然成等差数列 若 1q ，由mS 、n

8、S 、lS 成等差数列可得 2ml nSS S+= ，即( 1) ( 1) 2 ( 1)11 1ml naq aq aqqq q += 整理得 2ml nqq q+= 因此，11()2 2kml nkmk lk nkaaaqqqaq a+ += += = 所以，mka+、nka+、lka+也成等差数列 21 （本小题共 l2 分） 过点 C(0， 1)的椭圆22221( 0)xyabab+=的离心率为32， 椭圆与 x 轴交于两点 (,0)A a 、(,0)A a ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q （ I）当直线 l 过

9、椭圆右焦点时，求线段 CD 的长； （）当点 P 异于点 B 时，求证： OP OQuuuruuur为定值 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力 解 ： （）由已知得31,2cba=，解得 2a = ，所以椭圆方程为2214xy+ = 椭圆的右焦点为 (3,0)，此时直线 l 的方程为 313yx=+，代入椭圆方程得 27830xx=，解得12830,7xx=，代入直线 l 的方程得 1211,7yy= = ，所以83 1(,)77D ， 故2283 1 16|( 0)( 1)777CD =+= （）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意

10、不符 设直线 l 的方程为11( 0 )2ykx k k=+ 且 代入椭圆方程得22(4 1) 8 0kxkx+ += 解得12280,41kxxk=+，代入直线 l 的方程得2122141,41kyyk=+， 所以 D 点的坐标为222814(,)4141kkkk+ 又直线 AC的方程为 12xy+=， 又直线 BD的方程为12(2)24kyxk+= +， 联立得4,21.x kyk=+因此 (4,2 1)Qkk+，又1(,0)Pk 所以1(,0)(4,21)4OP OQ k kk= +=uuuruuur 故 OP OQuuuruuur为定值 22 （本小题共 l4 分） 已知 函数21()

11、32fx x= + ， ()hx x= （）设函数 F(x) 18f(x) x2h(x)2，求 F(x)的单调区间与极值； （）设 aR ，解关于 x 的方程33lg ( 1) 2lg ( ) 2lg (4 )24f xhaxhx = ； （）设*nN ，证明：1()() (1) (2) ()6fnhn h h hn + L 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力 解 ： （）223( ) 18 ( ) ( ) 12 9( 0)Fx f x x hx x x x= =+， 2() 3

12、12Fx x=+ 令 () 0Fx=，得 2x = （ 2x = 舍去） 当 (0,2)x 时 () 0Fx ；当 (2, )x + 时， () 0Fx ，此时6204352ax a= = ， 1 x a 时， 14x ，方程有两解 35x a= ； 若 5a = 时，则 0= ，方程有一解 3x = ； 若 1a 或 5a ，原方程无解 方法二： 原方程可化为42 2log ( 1) log (4 ) log ( )x hx hax +=， 即22 21log ( 1) log 4 log2x xax+ = ，10,40,0,(1)(4) .xxaxx xax =214,(3)5.xxaax

13、 时，原方程无解 （）由已知得 (1) (2) ( ) 1 2hh hn n+ =+LL， 14 3 1()()66 6nfnhn n+= 设数列 na 的前 n 项和为nS ，且1()()6nSfnhn= （*nN ） 从而有111aS=，当 210k 时，143 41166kkkkkaSS k k+ = = 又1(4 3) (4 1) 16kak k kk k= + 221(4 3) (4 1)( 1)6(4 3) (4 1) 1kkk kkkkk+ =+ + 1106(4 3) (4 1) 1kkkk= + 即对任意 2k 时，有kak ，又因为111a = ，所以1212naa a n+ +LL 则 (1) (2) ( )nSh h hn+L ，故原不等式成立