2013年甘肃省天水市中考真题数学.docx

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1、2013 年甘肃省天水市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 ) 1.(4 分 )下列四个数中，小于 0 的数是 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 解析 ：如图所示： -1 在 0 的左边， -1 0. 答案： A. 2.(4 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a3+a2=2a5 B. (-2a3)2=4a6 C. (a+b)2=a2+b2 D. a6a 2=a3 解析 ： A、 a3和 a2不是同类项不能合并，故本选项错误； B、 (-2a3)2=4a6，正确； C、应为 (a+b)2=a2+b2+2ab，故本选项错误； D、应为 a6

2、a 2=a4，故本选项错误 . 答案： B. 3.(4 分 )下列图形中，中心对称图形有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解析 ： 第一个图形是中心对称图形； 第二个图形是中心对称图形； 第三个图形是中心对称图形； 第四个图形不是中心对称图形 . 故共 3 个中心对称图形 . 答案： C. 4.(4 分 )函数 y1=x 和 y2= 的图象如图所示，则 y1 y2的 x取值范围是 ( ) A. x -1 或 x 1 B. x -1 或 0 x 1 C. -1 x 0 或 x 1 D. -1 x 0 或 0 x 1 解析 ： 由图象得： y1 y2的 x 取值范围

3、是 -1 x 0 或 x 1. 答案： C 5.(4 分 )如图，直线 l1l 2，则 为 ( ) A. 150 B. 140 C. 130 D. 120 解析 ： l 1l 2， 130 所对应的同旁内角为 1=180 -130=50 ， 又 与 (70+1) 的角是对顶角， =70+50=120. 答案： ： D. 6.(4 分 )一个三角形的两边长分别为 3和 6，第三边的边长是方程 (x-2)(x-4)=0 的根，则这个三角形的周长是 ( ) A. 11 B. 11 或 13 C. 13 D. 以上选项都不正确 解析 ：方程 (x-2)(x-4)=0，可得 x-2=0 或 x-4=0，

4、解得： x=2 或 x=4， 当 x=2 时， 2， 3， 6 不能构成三角形，舍去；则 x=4，此时周长为 3+4+6=13. 答案： C 7.(4 分 )一组数据： 3， 2， 1， 2， 2 的众数，中位数，方差分别是 ( ) A. 2， 1， 0.4 B. 2， 2， 0.4 C. 3， 1， 2 D. 2， 1， 0.2 解析 ： 从小到大排列此数据为： 1， 2， 2， 2， 3；数据 2 出现了三次最多为众数， 2 处在第 3位为中位数 .平均数为 (3+2+1+2+2)5=2 ，方差为 (3-2)2+3(2 -2)2+(1-2)2=0.4，即中位数是 2，众数是 2，方差为 0

5、.4. 答案： B. 8.(4 分 )从一块正方形的木板上锯掉 2m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48m2，则原来这块木板的面积是 ( ) A. 100m2 B. 64m2 C. 121m2 D. 144m2 解析 ： 设原来正方形木板的边长为 xm.由题意，可知 x(x-2)=48， 解得 x1=8， x2=-6(不合题意，舍去 ).所以 88=64. 答案： B. 9.(4 分 )如图，已知 O 的半径为 1，锐角 ABC 内接于 O ， BDAC 于点 D， OMAB 于点 M，则 sinCBD 的值等于 ( ) A. OM 的长 B. 2OM 的长 C. CD 的长 D. 2CD 的

6、长 解析 ： 连接 AO 并延长交圆于点 E，连接 BE.则 C=E ， 由 AE 为直径，且 BDAC ，得到 BDC=ABE=90 ， 所以 ABE 和 BCD 都是直角三角形，所以 CBD=EAB. 又 OAM 是直角三角形， AO=1 ， sinCBD=sinEAB= =OM，即 sinCBD 的值等于 OM 的长 . 答案： A. 10.(4 分 )如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2， E、 F、 G 分别是边 AB、 BC、 CA 的点，且AE=BF=CG，设 EFG 的面积为 y， AE 的长为 x，则 y 与 x的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：

7、 AE=BF=CG ，且等边 ABC 的边长为 2， BE=CF=AG=2 -x； AEGBEFCFG. 在 AEG 中， AE=x， AG=2-x， S AEG = AEAGsinA= x(2-x)； y=S ABC -3SAEG = -3 x(2-x)= ( x2- x+1). 其图象为二次函数，且开口向上 . 答案： C. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分 ) 11.(4 分 )已知点 M(3， -2)，将它先向左平移 4 个单位，再向上平移 3 个单位后得到点 N，则点 N 的坐标是 . 解析 ： 原来点的横坐标是 3，纵坐标是 -2，向左平移 4 个单位，再

8、向上平移 3 个单位得到新点的横坐标是 3-4=-1，纵坐标为 -2+3=1.则点 N 的坐标是 (-1， 1). 答案 ： (-1， 1). 12.(4 分 )从 1 至 9 这 9 个自然数中任取一个数，使它既是 2 的倍数又是 3 的倍数的概率是 . 解析 ： 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数只有 6 一个， P( 既是 2 的倍数，又是 3 的倍数 )= . 答案 ： . 13.(4 分 )已知分式 的值为零，那么 x 的值是 . 解析 ： 根据题意，得 x2-1=0 且 x+10 ，解得 x=1. 答案 ： 1. 14.(4 分 )如图所示，在梯形 ABCD 中， ADBC ，对角

9、线 ACBD ，且 AC=12， BD=5，则这个梯形中位线的长等于 . 解析 ： 作 DEAC ，交 BC 的延长线于 E， 则四边形 ACED 为平行四边形 ， AD=CE . ACBD ， BDE=90 ， 梯形的中位线长 = (AD+BC)= (CE+BC)= BE， BE= = =13， 梯形的中位线长 = 13=6.5. 答案 ： 6.5. 15.(4 分 )有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦 9000kg 和 15000kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，若设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，根据题意，可得方程 . 解析 ： 第一块试验田的面积为：

10、 ，第二块试验田的面积为： .方程应该为：. 16.(4 分 )已知 O 1的半径为 3， O 2的半径为 r， O 1与 O 2只能画出两条不同的公共切线，且 O1O2=5，则 O 2的半径为 r 的取值范围是 . 解析 ： O 1与 O 2只能画出两条不同的公共切线， 两圆的位置关系为相交， O 1的半径为 3， O 2的半径为 r， O1O2=5， r -3 5 r+3 解得： 2 r 8. 答案 ： 2 r 8. 17.(4 分 )如图所示，在 ABC 中， BC=4，以点 A 为圆心， 2 为半径的 A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，且 EAF=80

11、 ，则图中阴影部分的面积是 . 解析 ： 连结 AD，如图， A 与 BC 相切于点 D， ADBC ， S ABC = ADBC ， S 阴影部分 =SABC -S 扇形 AEF= 24 - =4- . 答案 ： 4- . 18.(4 分 )观察下列运算过程： S=1+3+32+33+3 2012+32013 ， 3 得 3S=3+32+33+3 2013+32014 ， - 得 2S=32014-1， S= . 运用上面计算方法计算： 1+5+52+53+5 2013= . 解析 ： 设 S=1+5+52+53+5 2013 ， 则 5S=5+52+53+54+5 2014 ， - 得：

12、4S=52014-1，所以 S= . 答案 ： . 三、解答题 (共 78 分 ) 19.(10 分 ) .解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来 . .计算： ( -3)0+ -2sin45 -( )-1. 解析 ： I、求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集即可； II、求出每一部分的值，代入后求出即可 . 答案： I、 ， 解不等式 得： x 1，解不等式 得： x 5， 不等式组的解集为 x 5， 在数轴上表示不等式组的解集为： . II、原式 =1+3 -2 -8=1+3 - -8=-7+2 . 20.(9 分 )如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 E， B

13、AC=90 ， CED=45 ，DCE=30 ， DE= ， BE=2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 . 解析 ： 利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中 30 所对边等于斜边的一半得出 CD 的长，求出 AC， AB 的长即可得出四边形 ABCD 的面积 . 答案： 过点 D 作 DHAC ， CED=45 ， DHEC ， DE= ， EH=DH ， EH 2+DH2=ED2， EH 2=1， EH=DH=1 ， 又 DCE=30 ， DC=2 ， HC= ， AEB=45 ， BAC=90 ， BE=2 ， AB=AE=2 ， AC=2+1

14、+ =3+ ， S 四边形 ABCD= 2(3+ )+ 1(3+ )= . 21.(9 分 )某班同学分三组进行数学活动，对七年级 400 名同学最喜欢喝的饮料情况，八年级 300 名同学零花钱的最主要用途情况，九年级 300 名同学完成家庭作业时间情况进行了全面调查，并分别用扇形图、频数分布直方图、表格来描述整理得到的数据 . 根据以上信息，请回答下列问题： (1)七年级 400 名同学中最喜欢喝 “ 冰红茶 ” 的人数是多少； (2)补全八年级 300 名同学中零花钱的最主要用途情况频数分布直方图； (3)九年级 300 名同学中完成家庭作业的平均时间大约是多少小时？ (结果保留一位小数

15、) 解析 ： (1)先求出喝红茶的百分比，再乘总数 . (2)先让总数减其它三种人数，再根据数值画直方图 . (3)用加权平均公式求即可 . 答案： (1)冰红茶的百分比为 1-25%-25%-10%=40%，冰红茶的人数为 40040%=160( 人 )， 即七年级同学最喜欢喝 “ 冰红茶 ” 的人数是 160 人； (2)补全频数 分布直方图如 图所示 . (3) (小时 ). 答：九年级 300 名同学完成家庭作业的平均时间约为 1.8 小时 . 22.(8 分 )如图所示，在天水至宝鸡 (天宝 )高速公路建设中需要确定某条隧道 AB 的长度，已知在离地面 2700 米高度 C 处的飞机

16、上，测量人员测得正前方 AB 两点处的俯角分别是 60和 30 ，求隧道 AB 的长 .(结果保留根号 ) 解析 ： 易得 CAO=60 ， CBO=30 ，利用相应的正切值可得 AO， BO 的长，相减即可得到AB 的长 . 答案： 由题意得 CAO=60 ， CBO=30 ， OA=2700tan30=2700 =900 m， OB=2700tan60=2700 m， AB=2700 -900 =1800 (m). 答：隧道 AB 的长为 1800 m. 23.(8 分 )如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= (x 0)的图象与一次函数 y=kx-k 的图象的交点为 A(m， 2)

17、. (1)求一次函数的解析式； (2)设一次函数 y=kx-k 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足 PAB 的面积是 4，直接写出 P 点的坐标 . 解析 ： (1)将 A 点坐标代入 y= (x 0)，求出 m 的值为 2，再将 (2， 2)代入 y=kx-k，求出 k的值，即可得到一次函数的解析式； (2)将三角形以 x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加 . 答案： (1)将 A(m， 2)代入 y= (x 0)得， m=2，则 A 点坐标为 A(2， 2)， 将 A(2， 2)代入 y=kx-k 得， 2k-k=2，解得 k=2，则一次函数解析式为

18、 y=2x-2； (2) 一次函数 y=2x-2 与 x 轴的交点为 C(1， 0)，与 y 轴的交点为 (0， -2)， SABP =SACP +SBPC ， 2CP+ 2CP=4 ，解得 CP=2， 则 P 点坐标为 (3， 0)， (-1， 0). 24.(10 分 )某工程机械厂根据市场需求，计划生产 A、 B 两种型号的大型挖掘机共 100 台，该厂所筹生产资金不少于 22400 万元，但不超过 22500 万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表： (1)该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？ (2)该厂如何

19、生产能获得最大利润？ (3)根据市场调查，每台 B 型挖掘机的售价不会改变，每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m万元 (m 0)，该厂应该如何生产获得最大利润？ (注：利润 =售价 -成本 ) 解析 ： (1)在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产 A 型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机 (100-x)台的情况下，可列不等式 22400200x+240(100 -x)22500 ，解不等式，取其整数值即可求解； (2)在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式 W=50x+60(100-x)=6000-10x，利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值；

20、(3)结合 (2)得 W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x，在此，必须把 (m-10)正负性考虑清楚，即 m 10， m=10， m 10 三种情况，最终才能得出结论 .即怎样安排，完全取决于 m 的大小 . 答案： (1)设生产 A 型挖掘机 x 台，则 B 型挖掘机 (100-x)台， 由题意得 22400200x+240(100 -x)22500 ，解得 37.5x40. x 取非负整数， x 为 38， 39， 40. 有三种生产方案 A 型 38 台， B 型 62 台； A 型 39 台， B 型 61 台； A 型 40 台， B 型 60 台 . 答

21、：有三种生产方案，分别是 A 型 38 台， B型 62 台； A型 39 台， B 型 61 台； A型 40 台， B型 60 台 . (2)设获得利润 W(万元 )，由题意得 W=50x+60(100-x)=6000-10x， 当 x=38 时， W 最大 =5620(万元 )， 答：生产 A 型 38 台， B 型 62 台时，获得最大利润 . (3)由题意得 W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x 当 0 m 10，则 x=38 时， W 最大，即生产 A 型 38台， B 型 62 台； 当 m=10 时， m-10=0 则三种生产方案获得利润相等； 当

22、m 10，则 x=40 时， W 最大，即生产 A 型 40台， B 型 60 台 . 答：当 0 m 10 时，生 产 A型 38 台， B型 62 台获利最大；当 m=10 时， 3 种方案获利一样；当 m 10 时，生产 A 型 40 台， B 型 60 台获利最大 . 25.(12 分 )如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx(a0 )经过 A(3， 0)、 B(4， 4)两点 . (1)求抛物线的解析式； (2)将直线 OB 向下平移 m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求 m 的值及点 D 的坐标； (3)如图 2，若点 N 在抛物线上，且 NBO=ABO ，则

23、在 (2)的条件下，求出所有满足PODNOB 的点 P 坐标 (点 P、 O、 D 分别与点 N、 O、 B 对应 ). 解析 ： (1)利用待定系数法求出二次函数解析式即可； (2)根据已知条件可求出 OB的解析式为 y=x，则向下平移 m个单位长度后的解析式为： y=x-m.由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于 0，由此可求出 m 的值和 D 点坐标； (3)综合利用几何变换和相似关系求解 . 方法一：翻折变换，将 NOB 沿 x 轴翻折； 方法二：旋转变换，将 NOB 绕原点顺时针旋转 90. 特别注意求出 P 点坐标之后，该点关于直线

24、y=-x 的对称点也满足题意，即满足题意的 P点有两个，避免漏解 . 答案： (1) 抛物线 y=ax2+bx(a0) 经过 A(3， 0)、 B(4， 4) 将 A 与 B 两点坐标代入得： ，解得： ， 抛物线的解析式是 y=x2-3x. (2)设直线 OB 的解析式为 y=k1x，由点 B(4， 4)，得： 4=4k1，解得： k1=1 直线 OB 的解析式为 y=x， 直线 OB 向下平移 m 个单位长度后的解析式为： y=x-m， 点 D 在抛物线 y=x2-3x 上， 可设 D(x， x2-3x)， 又 点 D 在直线 y=x-m 上， x 2-3x=x-m，即 x2-4x+m=0

25、， 抛物线与直线只有一个公共点， =16 -4m=0，解得： m=4， 此时 x1=x2=2， y=x2-3x=-2， D 点的坐标为 (2， -2). (3) 直线 OB 的解析式为 y=x，且 A(3， 0)， 点 A 关于直线 OB 的对称点 A 的坐标是 (0， 3)， 根据轴对称性质和三线合一性质得出 ABO=ABO ， 设直线 AB 的解析式为 y=k2x+3，过点 (4， 4)， 4k 2+3=4，解得： k2= ， 直线 AB 的解析式是 y= ， NBO=ABO ， ABO=ABO ， BA 和 BN 重合，即点 N 在直线 AB 上， 设点 N(n， )，又点 N 在抛物线

26、 y=x2-3x 上， =n2-3n， 解得： n1=- ， n2=4(不合题意，舍去 )N 点的坐标为 (- ， ). 方法一： 如图 1，将 NOB 沿 x 轴翻折，得到 N 1OB1， 则 N1( ， )， B1(4， -4)， O 、 D、 B1都在直线 y=-x 上 . P 1ODNOB ， NOBN 1OB1， P 1ODN 1OB1， ， 点 P1的坐标为 ( ， ). 将 OP 1D 沿直线 y=-x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2( ， )， 综上所述，点 P 的坐标是 ( ， )或 ( ， ). 方法二： 如图 2，将 NOB 绕原点顺时针旋转 90 ，得到 N 2OB

27、2， 则 N2( ， )， B2(4， -4)， O 、 D、 B1都在直线 y=-x 上 . P 1ODNOB ， NOBN 2OB2， P 1ODN 2OB2， ， 点 P1的坐标为 ( ， ). 将 OP 1D 沿直线 y=-x 翻折，可得另一个满足条件的点 P2( ， )， 综上所述，点 P 的坐标是 ( ， )或 ( ， ). 26.(12 分 )如图 1，在平面直角坐标系中，已知 AOB 是等边三角形，点 A 的坐标是 (0， 4)，点 B 在第一象限，点 P是 x 轴上的一个动点，连接 AP，并把 AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转，使边 AO 与 AB 重合，得到 ABD .

28、 (1)求直线 AB 的解析式； (2)当点 P 运动到点 ( ， 0)时，求此时 DP 的长及点 D 的坐标； (3)是否存在点 P，使 OPD 的面积等于 ？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)过点 B 作 BEy 轴于点 E，作 BFx 轴于点 F.依题意得 BF=OE=2，利用勾股定理求出 OF，然后可得点 B 的坐标 .设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把已知坐标代入可求解 . (2)由 ABD 由 AOP 旋转得到，证明 ABDAOP.AP=AD ， DAB=PAO ， DAP=BAO=60 ，ADP 是等边三角形 .利用勾股定理

29、求出 DP.在 RtBDG 中， BGD=90 ， DBG=60. 利用三角函数求出 BG=BDcos60 ， DG=BDsin60. 然后求出 OH， DH，然后求出点 D 的坐标 . (3)本题分三种情况进行讨论，设点 P 的坐标为 (t， 0)： 当 P 在 x 轴正半轴上时，即 t 0 时，关键是求出 D 点的纵坐标，方法同 (2)，在直角三角形 DBG 中，可根据 BD 即 OP 的长和 DBG 的正弦函数求出 DG 的表达式，即可求出 DH 的长，根据已知的 OPD 的面积可列出一个关于 t 的方程，即可求出 t 的值 . 当 P 在 x 轴负半轴，但 D 在 x轴上方时 .即 t

30、0 时，方法同 类似，也是在直角三角形 DBG 用 BD 的长表示出 DG，进而求出 GF 的长，然后同 . 当 P 在 x 轴负半轴， D 在 x 轴下方时，即 t 时，方法同 . 综合上面三种情况即可求出符合条件的 t 的值 . 答案： (1)如图 1，过点 B 作 BEy 轴于点 E，作 BFx 轴于点 F. 由已知得： BF=OE=2， OF= = ， 点 B 的坐标是 ( ， 2) 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b(k0) ，则有 .解得 . 直线 AB 的解析式是 y= x+4； (2)如图 2， ABD 由 AOP 旋转得到， ABDAOP ， AP=AD ， DAB=PA

31、O ， DAP=BAO=60 ， ADP 是等边三角形， DP=AP= . 如图 2，过点 D 作 DHx 轴于点 H，延长 EB交 DH于点 G，则 BGDH. 方法 (一 ) 在 RtBDG 中， BGD=90 ， DBG=60. BG=BDcos60= = .DG=BDsin60= = . OH=EG= ， DH= 点 D 的坐标为 ( ， ) 方法 (二 ) 易得 AEB=BGD=90 ， ABE=BDG ， ABEBDG ， ；而 AE=2， BD=OP= ， BE=2 ， AB=4， 则有 ，解得 BG= ， DG= ； OH= ， DH= ； 点 D 的坐标为 ( ， ). (3

32、)假设存在点 P，在它的运动过程中，使 OPD 的面积等于 . 设点 P 为 (t， 0)，下面分三种情况讨论： 当 t 0 时，如图， BD=OP=t， DG= t， DH=2+ t. OPD 的面积等于 ， ， 解得 ， (舍去 )， 点 P1的坐标为 ( ， 0). 当 D 在 y 轴上时，根据勾股定理求出 BD= =OP， 当 t0 时，如图， BD=OP=-t， DG=- t， GH=BF=2 -(- t)=2+ t. OPD 的面积等于 ， ，解得 ， ， 点 P2的坐标为 ( ， 0)，点 P3的坐标为 ( ， 0). 当 t 时，如图 3， BD=OP=-t， DG=- t， DH= - t-2. OPD 的面积等于 ， (-t)-(2+ t)= ， 解得 (舍去 )， ， 点 P4的坐标为 ( ， 0)， 综上所述，点 P 的坐标分别为 P1( ， 0)、 P2( ， 0)、 P3( ， 0)、 P4( ， 0).