2013年河北省中考真题数学.docx

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1、 2013 年河北省中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 16 个小题， 1 6 小题，每小题 2 分； 7 16 小题，每小题 2 分，共42 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（ 2 分）气温由 1 上升 2 后是（ ） A. 1 B.1 C.2 D.3 解析 ： 气温由 1 上升 2 ， 1+2=1 . 答案： B. 2.（ 2 分）截至 2013年 3 月底，某市人口总数已达到 4 230 000 人 .将 4 230 000 用科学记数法表示为（ ） A.0.42310 7 B.4.2310 6 C.42.310 5 D.42310 4 解析 ： 科学

2、记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .将 4 230 000用科学记数法表示为： 4.2310 6. 答案： B. 3.（ 2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 . 答案： C. 4.（ 2 分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A.a（ x y） =ax ay B.x2+2x+1=

3、x（ x+2） +1 C.（ x+1）（ x+3） =x2+4x+3 D.x3 x=x（ x+1）（ x 1） 解析 ： A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确； 答案： D. 5.（ 2 分）若 x=1，则 |x 4|=（ ） A.3 B. 3 C.5 D. 5 解析 ： x=1 ， |x 4|=|1 4|=| 3|=3. 答案： A. 6.（ 2 分）下列运算中，正确的是（ ） A. =3 B. =2 C.（ 2） 0=0 D

4、.2 1= 解析 ： A、 =3，故本选项错误； B、 = 2，故本选项错误； C、（ 2） 0=1，故本选项错误； D、 2 1= ，故本选项正确 . 答案： D. 7.（ 3 分）甲队修路 120m 与乙队修路 100m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修 10m.设甲队每天修路 xm，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A. = B. = C. = D. = 解析 ： 设甲队每天修路 xm，依题意得： = ， 答案： A. 8.（ 3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70 方向的 M 处，它以每小时 40海里的速度向正北方向航行， 2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40

5、的 N 处，则 N 处与灯塔 P 的距离为（ ） A.40 海里 B.60 海里 C.70 海里 D.80 海里 解析 ： MN=240=80 （海里）， M=70 ， N=40 ， NPM=180 M N=180 70 40=70 ， NPM=M ， NP=MN=80 （海里） . 答案： D. 9.（ 3 分）如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏： 假设嘉嘉抽到牌的点数为 x，淇淇猜中的结果应为 y，则 y=（ ） A.2 B.3 C.6 D.x+3 解析 ： 根据题意得： （ x2+6 ） 2 x=x+3 x=3； 答案： B. 10.（ 3 分）反比例函数 y= 的图象如图所示，以下结论： 常数

6、 m 1； 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大； 若 A（ 1， h）， B（ 2， k）在图象上，则 h k； 若 P（ x， y）在图象上，则 P （ x， y）也在图象上 . 其中正确的是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 反比例函数的图象位于一三象限， m 0 故 错误； 当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小，故 错误； 将 A（ 1， h）， B（ 2， k）代入 y= 得到 h= m， 2k=m， m 0 h k 故 正确； 将 P（ x， y）代入 y= 得到 m=xy，将 P （ x， y）代入 y= 得到 m=xy， 故 P（

7、 x， y）在图象上，则 P （ x， y）也在图象上 故 正确， 答案： C 11.（ 3 分）如图，菱形 ABCD 中，点 M， N 在 AC 上， MEAD ， NFAB .若 NF=NM=2， ME=3，则AN=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 解析 ： 在菱形 ABCD 中， 1=2 ， 又 MEAD ， NFAB ， AEM=AFN=90 ， AFNAEM ， = ， 即 = ， 解得 AN=4. 答案： B. 12.（ 3 分）已知：线段 AB， BC， ABC=90 .求作：矩形 ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： 甲： 1.以点 C 为圆心， AB 长为半径画弧；

8、2.以点 A 为圆心， BC 长为半径画弧； 3.两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD， CD，四边形 ABCD 即为所求（如图 1） . 乙： 1.连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 M； 2.连接 BM 并延长，在延长线上取一点 D，使 MD=MB，连接 AD， CD，四边形 ABCD 即为所求（如图 2） . 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 解析 ： 由甲同学的作业可知， CD=AB， AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又 ABC=90 ， ABCD 是矩形 . 所以甲的作业正

9、确； 由乙同学的作业可知， CM=AM， MD=MB， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又 ABC=90 ， ABCD 是矩形 . 所以乙的作业正确； 答案： A. 13.（ 3 分）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若 3=50 ，则 1+2= （ ） A.90 B.100 C.130 D.180 解析 ： 如图， BAC=180 90 1=90 1 ， ABC=180 60 3=120 3 ， ACB=180 60 2=120 2 ， 在 ABC 中， BAC+ABC+ACB=180 ， 90 1+120 3+120 2=180 ， 1+2=150 3 ， 3=50 ， 1+2=

10、150 50=100 . 答案： B. 14.（ 3 分）如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB ， C=30 ， CD=2 .则 S 阴影 =（ ） A. B.2 C. D. 解析 ： CDAB ， CD=2 CE=DE= CD= ， 在 RtACE 中， C=30 ， 则 AE=CEtan30=1 ， 在 RtOED 中， DOE=2C=60 ， 则 OD= =2， OE=OA AE=OD AE=1， S 阴影 =S 扇形 OAD SOED +SACE = 1 + 1 = . 答案： D. 15.（ 3分）如图 1， M是铁丝 AD的中点，将该铁丝首尾相接折成 ABC ，且 B=30

11、， C=100 ，如图 2.则下列说法正确的是（ ） A.点 M 在 AB 上 B.点 M 在 BC 的中点处 C.点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C较远 D.点 M 在 BC 上，且距点 C 较近，距点 B较远 解析 ： C=100 ， AB AC， 如图，取 BC 的中点 E，则 BE=CE， AB+BE AC+CE， 由三角形三边关系， AC+BC AB， AB AD， AD 的中点 M 在 BE 上， 即点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C较远 . 答案： C. 16.（ 3 分）如图，梯形 ABCD 中， ABDC ， DEAB ， CFAB ，且 AE=E

12、F=FB=5， DE=12 动点 P从点 A 出发，沿折线 AD DC CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止 .设运动时间为 t秒， y=S EPF，则 y 与 t 的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 解析 ： 在 RtADE 中， AD= =13，在 RtCFB 中， BC= =13， 点 P 在 AD 上运动： 过点 P 作 PMAB 于点 M，则 PM=APsinA= t， 此时 y= EFPM= t，为一次函数； 点 P 在 DC 上运动， y= EFDE=30 ； 点 P 在 BC 上运动，过点 P 作 PNAB 于点 N，则 PN=BPsinB= （ AD

13、+CD+BC t）= ， 则 y= EFPN= ，为一次函数 . 综上可得选项 A 的图象符合 . 答案： A. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3分，共 12 分 .把答案写在题中横线上） 17.（ 3 分）如图， A 是正方体小木块（质地均匀）的一顶点，将木块随机投掷在水平桌面上，则 A 与桌面接触的概率是 . 解析 ： 共有 6 个面， A 与桌面接触的有 3 个面， A 与桌面接触的概率是： = . 答案 ： . 18.（ 3 分）若 x+y=1，且 x0 ，则（ x+ ） 的值为 . 解析 ： （ x+ ） = = =x+y， 把 x+y=1 代入上式得： 原式 =1； 答

14、案 ： 1. 19.（ 3 分）如图，四边形 ABCD 中，点 M、 N 分别在 AB、 BC 上，将 BMN 沿 MN 翻折，得 FMN ，若 MFAD ， FNDC ，则 B= . 解析 ： MFAD ， FNDC ， BMF=A=100 ， BNF=C=70 ， BMN 沿 MN 翻折得 FMN ， BMN= BMF= 100=50 ， BNM= BNF= 70=35 ， 在 BMN 中， B=180 （ BMN+BNM ） =180 （ 50+35 ） =180 85=95 . 答案 ： 95. 20.（ 3 分）如图，一段抛物线： y= x（ x 3）（ 0x3 ），记为 C1，它与

15、 x 轴交于点 O， A1； 将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交 x 轴于点 A2； 将 C2绕点 A2旋转 180 得 C3，交 x 轴于点 A3； 如此进行下去，直至得 C13.若 P（ 37， m）在第 13 段抛物线 C13上，则 m= . 解析 ： 一段抛物线： y= x（ x 3）（ 0x3 ）， 图象与 x 轴交点坐标为：（ 0， 0），（ 3， 0）， 将 C1绕点 A1旋转 180 得 C2，交 x 轴于点 A2； 将 C2绕点 A2旋转 180 得 C3，交 x 轴于点 A3； 如此进行下去，直至得 C13. C 13的解析式与 x 轴的交点坐标为（ 36， 0）

16、，（ 39， 0），且图象在 x 轴上方， C 13的解析式为： y13=（ x 36）（ x 39）， 当 x=37 时， y=（ 37 36） （ 37 39） =2. 答案 ： 2. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 66分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21.（ 9 分）定义新运算：对于任意实数 a， b，都有 ab=a （ a b） +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 25=2 （ 2 5） +1=2 （ 3） +1= 6+1= （ 1）求（ 2） 3 的值； （ 2）若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来 . 解析

17、 ： （ 1）按照定义新运算 ab=a （ a b） +1，求解即可； （ 2）先按照定义新运算 ab=a （ a b） +1，得出 3x ，再令其小于 13，得到一元一次不等式，解不等式求出 x 的取值范围，即可在数轴上表示 . 答案 ： （ 1） ab=a （ a b） +1， （ 2） 3= 2（ 2 3） +1 =10+1=11； （ 2） 3x 13， 3 （ 3 x） +1 13， 9 3x+1 13， 3x 3， x 1. 在数轴上表示如下： 22.（ 10 分）某校 260 名学生参加植树活动，要求每人植 4 7 棵，活动结束后随机抽查了20 名学生每人的植树量，并分为四种类型

18、， A： 4 棵； B： 5 棵； C： 6 棵； D： 7 棵 .将各类的 人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误 . 回答下列问题： （ 1）写出条形图中存在的错误，并说明理由； （ 2）写出这 20 名学生每人植树量的众数、中位数； （ 3）在求这 20 名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样 解析 的： 小宇的 解析 是从哪一步开始出现错误的？ 请你帮他计算出正确的平均数，并估计这 260 名学生共植树多少棵 . 解析 ： （ 1）条形统计图中 D 的人数错误，应为 2010% ； （ 2）根据条形统计图及扇形统计图得出众数与中位数

19、即可； （ 3） 小宇的 解析 是从第二步开始出现错误的； 求出正确的平均数，乘以 260 即可得到结果 . 答案 ： （ 1） D 错误，理由为： 2010%=23 ； （ 2）众数为 5，中位数为 5； （ 3） 第二步； = =5.3， 估计 260 名学生共植树 5.3260=1378 （棵） . 23.（ 10 分）如图， A（ 0， 1）， M（ 3， 2）， N（ 4， 4） .动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒 1个单位长的速度向上移动，且过点 P 的直线 l： y= x+b 也随之移动，设移动时间为 t 秒 . （ 1）当 t=3 时，求 l 的解析式； （ 2）若点

20、 M， N 位于 l 的异侧，确定 t 的取值范围； （ 3）直接写出 t 为何值时，点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上 . 解析 ： （ 1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数的解析式； （ 2）分别求出直线 l 经过点 M、点 N 时的 t 值，即可得到 t 的取值范围； （ 3）找出点 M 关于直线 l 在坐标轴上的对称点 E、 F， 如 答案 图所示 .求出点 E、 F 的坐标，然后分别求出 ME、 MF 中点坐标，最后分别求出时间 t 的值 . 答案 ： （ 1）直线 y= x+b 交 y 轴于点 P（ 0， b）， 由题意，得 b 0， t0 ， b=1+t. 当 t

21、=3 时， b=4， 故 y= x+4. （ 2）当直线 y= x+b 过点 M（ 3， 2）时， 2= 3+b， 解得： b=5， 5=1+t， 解得 t=4. 当直线 y= x+b 过点 N（ 4， 4）时， 4= 4+b， 解得： b=8， 8=1+t， 解得 t=7. 故若点 M， N 位于 l 的异侧， t 的取值范围是： 4 t 7. （ 3）如右图，过点 M 作 MF 直线 l，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 E，则点 E、 F为点 M在坐标轴上的对称点 . 过点 M 作 MDx 轴于点 D，则 OD=3， MD=2. 已知 MED=OEF=45 ，则 MDE 与 OEF 均

22、为等腰直角三角形， DE=MD=2 ， OE=OF=1， E （ 1， 0）， F（ 0， 1） . M （ 3， 2）， F（ 0， 1）， 线段 MF 中点坐标为（ ， ） . 直线 y= x+b 过点（ ， ），则 = +b，解得： b=2， 2=1+t， 解得 t=1. M （ 3， 2）， E（ 1， 0）， 线段 ME 中点坐标为（ 2， 1） . 直线 y= x+b 过点（ 2， 1），则 1= 2+b，解得： b=3， 3=1+t， 解得 t=2. 故点 M 关于 l 的对称点，当 t=1 时，落在 y轴上，当 t=2时，落在 x轴上 . 24.（ 11 分）如图， OAB 中

23、， OA=OB=10， AOB=80 ，以点 O 为圆心， 6 为半径的优弧 分别交 OA， OB 于点 M， N. （ 1）点 P 在右半弧上（ BOP 是锐角），将 OP 绕点 O 逆时针旋转 80 得 OP .求证： AP=BP ； （ 2）点 T 在左半弧上，若 AT 与弧相切，求点 T 到 OA的距离； （ 3）设点 Q 在优弧 上，当 AOQ 的面积 最大时，直接写出 BOQ 的度数 . 解析 ： （ 1）首先根据已知得出 AOP=BOP ，进而得出 AOPBOP ，即可得出答案； （ 2）利用切线的性质得出 ATO=90 ，再利用勾股定理求出 AT 的长，进而得出 TH 的长即可

24、得出答案； （ 3）当 OQOA 时， AOQ 面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可 . 答案 ： （ 1）如图 1， AOP=AOB+BOP=80+BOP ， BOP=POP+BOP=80+BOP ， AOP=BOP ， 在 AOP 和 BOP 中 AOPBOP （ SAS）， AP=BP ； （ 2）解：如图 1，连接 OT，过点 T 作 THOA 于点 H， AT 与 相切， ATO=90 ， AT= = =8， OATH= ATOT ， 即 10TH= 86 ， 解得： TH= ，即点 T 到 OA 的距离为 ； （ 3）解：如图 2，当 OQOA 时， AOQ 的面积最大；

25、 理由： OQOA ， QO 是 AOQ 中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ=AOQ+AOB=90+80=170 ， 当 Q 点在优弧 右侧上， OQOA ， QO 是 AOQ 中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ=AOQ AOB=90 80=10 ， 综上所述：当 BOQ 的度数为 10 或 170 时， AOQ 的面积最大 . 25.（ 12 分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩 .Q=W+100，而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x（ km/h）有关（不考虑其他因素）， W 由两部分的和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与

26、 x 的 n 倍成正比 .试行中得到了表中的数据 . 次数 n 2 1 速度 x 40 60 指数 Q 420 100 （ 1）用含 x 和 n 的式子表示 Q； （ 2）当 x=70， Q=450 时，求 n 的值； （ 3）若 n=3，要使 Q 最大，确定 x 的值； （ 4）设 n=2， x=40，能否在 n 增加 m%（ m 0）同时 x 减少 m%的情况下，而 Q 的值仍为 420？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由 . 参考公式：抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）的顶点坐标是（ ， ） 解析 ： （ 1）根据题目所给的信息，设 W=k1x2+k2nx，然后根据 Q=W+

27、100，列出用 Q 的解析式； （ 2）将 x=70， Q=450，代入求 n 的值即可； （ 3）把 n=3 代入，确定函数关系式，然后求 Q 最大值时 x 的值即可； （ 4）根据题意列出关系式，求出当 Q=420 时 m 的值即可 . 答案 ： （ 1）设 W=k1x2+k2nx，则 Q=k1x2+k2nx+100， 由表中数据，得 ， 解得： ， Q= x2+6nx+100； （ 2）将 x=70， Q=450 代入 Q 得， 450= 702+670n+100 ， 解得： n=2； （ 3）当 n=3 时， Q= x2+18x+100= （ x 90） 2+910， 0， 函数图象开

28、口向下，有最大值， 则当 x=90 时， Q 有最大值， 即要使 Q 最大， x=90； （ 4）由题意得， 420= 40（ 1 m%） 2+62 （ 1+m%） 40 （ 1 m%） +100， 即 2（ m%） 2 m%=0， 解得： m%= 或 m%=0（舍去）， m=50 . 26.（ 14 分）一透明的敞口正方体容器 ABCD ABCD 装有一些液体，棱 AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为 （ CBE= ，如图 1 所示） .探究 如图 1，液面刚好过棱CD，并与棱 BB 交于点 Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图 2 所示 . 解决问题： （ 1） CQ 与

29、 BE 的位置关系是 ， BQ 的长是 dm； （ 2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积 V 液 =底面积 SBCQ 高 AB） （ 3）求 的度数 .（注： sin49=cos41= ， tan37= ） 拓展：在图 1 的基础上，以棱 AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图 3或图 4 是其正面示意图 .若液面与棱 CC 或 CB 交于点 P，设 PC=x， BQ=y.分别就图 3和图 4求 y 与 x 的函数关 系式，并写出相应的 的范围 . 延伸：在图 4 的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图 5，隔板高 NM=1dm，

30、 BM=CM， NMBC .继续向右缓慢旋转，当 =60 时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到 4dm3. 解析 ： （ 1）根据水面与水平面平行可以得到 CQ 与 BE 平行，利用勾股定理即可求得 BQ的长； （ 2）液体正好是一个以 BCQ 是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积； （ 3）根据液体体积不变，据此即可列方程求解； 延伸：当 =60 时，如图 6 所示，设 FNEB ， GBEB ，过点 G 作 GHBB 于点 H，此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以 RtNFM 和直角梯形 MBBG 为底面的直棱柱，求得棱柱的体积，即可求得溢出的水的体积，据此即可作出判断 .

31、 答案 ： （ 1） CQBE ， BQ= =3； （ 2） V 液 = 344=24 （ dm3）； （ 3）在 RtBCQ 中， tanBCQ= ， =BCQ=37 . 当容器向左旋转时，如图 3， 037 ， 液体体积不变， （ x+y） 44=24 ， y= x+3. 当容器向右旋转时，如图 4.同理可得： y= ； 当液面恰好到达容器口沿，即点 Q 与点 B 重合时，如图 5， 由 BB=4 ，且 PBBB4=24 ，得 PB=3， 由 tanPBB= ，得 PBB=37 . =BPB=53 .此时 3753 ； 延伸：当 =60 时，如图 6 所示，设 FNEB ， GBEB ，过点 G 作 GHBB 于点 H. 在 RtBGH 中， GH=MB=2， GBB=30 ， HB=2 . MG=BH=4 2 MN. 此时容器内液体形成两层液面，液体 的形状分别是以 RtNFM 和直角梯形 MBBG 为底面的直棱柱 . S NFM +SMBBG = 1+ （ 4 2 +4） 2=8 . V 溢出 =24 4（ 8 ） = 8 4（ dm3） . 溢出液体可以达到 4dm3.