2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理.docx

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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学理 一 .选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.(5 分 )已知 i 是虚数单位，则 (-1+i)(2-i)=( ) A. -3+i B. -1+3i C. -3+3i D. -1+i 解析 ： (-1+i)(2-i)=-2+i+2i+1=-1+3i， 答案： B. 2.(5 分 )设集合 S=x|x -2， T=x|x2+3x-40 ，则 (CRS)T= ( ) A. (-2， 1 B. (- ， -4 C. (- ， 1 D. 1， +) 解析 ： 集合

2、S=x|x -2， CRS=x|x -2， 由 x2+3x-40 得： T=x|-4x1 ，故 (CRS)T=x|x1 . 答案： C. 3.(5 分 )已知 x， y 为正实数，则 ( ) A. 2lgx+lgy=2lgx+2lgy B. 2lg(x+y)=2lgx2 lgy C. 2lgxlgy =2lgx+2lgy D. 2lg(xy)=2lgx2 lgy 解析 ： 因为 as+t=asa t， lg(xy)=lgx+lgy(x， y 为正实数 )，所以 2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx2 lgy，满足上述两个公式 . 答案： D. 4.(5 分 )已知函数 f(x)=Acos

3、(x+ )(A 0， 0， R)，则 “f (x)是奇函数 ” 是 “=” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 若 = ，则 f(x)=Acos(x+ ) f(x)=-Asin(x)(A 0， 0， x R)是奇函数； 若 f(x)是奇函数 f(0)=0， f(0)=Acos(0+)=Acos=0. =k+ ， k Z，不一定有 = ， “f(x) 是奇函数 ” 是 “= ” 必要不充分条件 . 答案： B. 5.(5 分 )某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 ( ) A. a=4 B. a=5 C.

4、 a=6 D. a=7 解析 ： 由已知可得该程序的功能是 计算并输出 S=1+ + =1+1- =2- . 若该程序运行后输出的值是 ，则 2- = .a=4 ， 答案： A. 6.(5 分 )已知 ，则 tan2= ( ) A. B. C. D. 解析 ： ，又 sin2+cos 2=1 ， 联立解得 ，或 ， 故 tan= = ，或 tan=3 ， 代入可得 tan2= = =- ， 或 tan2= = = . 答案： C 7.(5 分 )设 ABC ， P0是边 AB 上一定点，满足 ，且对于边 AB 上任一点 P，恒有则 ( ) A. ABC=90 B. BAC=90 C. AB=A

5、C D. AC=BC 解析 ： 以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的中垂线为 y轴建立直角坐标系， 设 AB=4， C(a， b)， P(x， 0)， 则 BP0=1， A(-2， 0)， B(2， 0)， P0(1， 0)， =(1， 0)， =(2-x， 0)， =(a-x， b)， =(a-1， b)， 恒有 ， (2 -x)(a-x)a -1 恒成立 ， 整理可得 x2-(a+2)x+a+10恒成立 ， 令 f(x)=x2-(a+2)x+a+1， 当 a+2 -2，必有 f(-2)0 ，无解； 当 a+2 2，必有 f(2)0 ，无解； 当 -2a+22 ，必有 =(a+2)

6、2-4(a+1)0 ， 即 =a 20 ， a=0 ，即 C 在 AB 的垂直平分线上 ， AC=BC ， 故 ABC 为等腰三角形 . 答案： D 8.(5 分 )已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1， 2)，则 ( ) A. 当 k=1 时， f(x)在 x=1 处取得极小值 B. 当 k=1 时， f(x)在 x=1 处取得极大值 C. 当 k=2 时， f(x)在 x=1 处取得极小值 D. 当 k=2 时， f(x)在 x=1 处取得极大值 解析 ： 当 k=1 时，函数 f(x)=(ex-1)(x-1). 求导函数可得 f(x)=ex(x-

7、1)+(ex-1)=(xex-1)， f(1)=e-10 ， f(2)=2e2-10 ， 则 f(x)在在 x=1 处与在 x=2 处均取不到极值， 当 k=2 时，函数 f(x)=(ex-1)(x-1)2. 求导函数可得 f(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=(x-1)(xex+ex-2)， 当 x=1， f(x)=0，且当 x 1 时， f(x) 0，当 x0 x 1 时 (x0为极大值点 )， f(x) 0，故函数 f(x)在 (1， +) 上是增函数； 在 (x0， 1)上是减函数，从而函数 f(x)在 x=1 取得极小值 .对照选项 . 答案： C. 9.(5 分 )

8、如图 F1、 F2是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2的公共焦点 A、 B 分别是 C1、 C2在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设 |AF1|=x， |AF2|=y， 点 A 为椭圆 C1： +y2=1 上的点， 2a=4 ， b=1， c= ； |AF 1|+|AF2|=2a=4，即 x+y=4； 又四边形 AF1BF2为矩形， + = ，即 x2+y2=(2c)2= =12， 由 得： ，解得 x=2- ， y=2+ ，设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为 2c， 则 2m=|AF2|-|AF1|=

9、y-x=2 ， 2n=2 =2 ， 双曲线 C2的离心率 e= = = . 答案： D. 10.(5 分 )在空间中，过点 A 作平面 的垂线，垂足为 B，记 B=f (A).设 ， 是两个不同的平面，对空间任意一点 P， Q1=f f (P)， Q2=f f (P)，恒有 PQ1=PQ2，则 ( ) A. 平面 与平面 垂直 B. 平面 与平面 所成的 (锐 )二面角为 45 C. 平面 与平面 平行 D. 平面 与平面 所成的 (锐 )二面角为 60 解析 ： 设 P1=f (P)，则根据题意，得点 P1是过点 P 作平面 垂线的垂足 ， Q 1=f f (P)=f (P1)， 点 Q1是

10、过点 P1作平面 垂线的垂足 ， 同理，若 P2=f (P)，得点 P2是过点 P 作平面 垂线的垂足 ， 因此 Q2=f f (P)表示点 Q2是过点 P2作平面 垂线的垂足 ， 对任意的点 P，恒有 PQ1=PQ2， 点 Q1与 Q2重合于同一点 ， 由此可得，四边形 PP1Q1P2为矩形，且 P 1Q1P2是二面角 -l- 的平面角 ， P 1Q1P2是直角， 平面 与平面 垂直 . 答案： A 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4分，共 28分 . 11.(4 分 )设二项式 的展开式中常数项为 A，则 A= . 解析 ： 二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1= ( -1)r=

11、(-1)r . 令 =0，解得 r=3，故展开式的常数项为 - =-10， 答案： -10. 12.(4 分 )若某几何体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此几何体的体积等于 cm3. 解析 ： 几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为 3，4，侧面的高为 5，被截取的棱锥的高为 3.如图： V 棱柱 = =16(cm3). 故答案为： 16 13.(4分 )设 z=kx+y，其中实数 x， y满足 ，若 z的最大值为 12，则实数 k= . 解析 ： 可行域如图： 由 得： A(4， 4)，同样地，得 B(0， 2)， 当 k - 时，目标函数 z=kx+y

12、 在 x=4， y=4 时取最大值，即直线 z=kx+y在 y 轴上的截距z 最大，此时， 12=4k+4，故 k=2. 当 k 时，目标函数 z=kx+y 在 x=0， y=2 时取最大值，即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大，此时， 12=0k+2 ，故 k 不存在 . 综上， k=2. 答案： 2. 14.(4 分 )将 A， B， C， D， E， F 六个字母排成一排，且 A， B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 种 (用数字作答 ) 解析 ： 按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3， 因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以

13、2 即可 . 当 C 在左边第 1 个位置时，有 A ， 当 C 在左边第 2 个位置时 A A ， 当 C 在左边第 3 个位置时，有 A A +A A ， 共为 240 种，乘以 2，得 480.则不同的排法共有 480 种 . 答案： 480. 15.(4 分 )设 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过点 P(-1， 0)的直线 l 交抛物线 C 于两点 A， B，点 Q 为线段 AB 的中点，若 |FQ|=2，则直线 l 的斜率等于 . 解析 ： 由题意设直线 l的方程为 my=x+1，联立 得到 y2-4my+4=0， =16m 2-16=16(m2-1) 0. 设 A(x1，

14、 y1)， B(x2， y2)， Q(x0， y0). y 1+y2=4m， =2m， x 0=my0-1=2m2-1.Q(2m 2-1， 2m)， 由抛物线 C： y2=4x 得焦点 F(1， 0). |QF|=2 ， ，化为 m2=1，解得 m=1 ，不满足 0. 故满足条件的直线 l 不存在 . 答案： 不存在 . 16.(4 分 )ABC 中， C=90 ， M 是 BC 的中点，若 ，则 sinBAC= . 解析 ： 如图 ， 设 AC=b， AB=c， CM=MB= ， MAC= ， 在 ABM 中，由正弦定理可得 = ，代入数据可得 = ，解得sinAMB= ， 故 cos=co

15、s( -AMC)=sinAMC=sin( -AMB)=sinAMB= ， 而在 RTACM 中， cos= = ， 故可得 = ，化简可得 a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2=0， 解之可得 a= b，再由勾股定理可得 a2+b2=c2，联立可得 c= ， 故在 RTABC 中， sinBAC= = = = ， 答案： 17.(4 分 )设 、 为单位向量，非零向量 =x +y ， x、 y R.若 、 的夹角为30 ，则 的最大值等于 . 解析 ： 、 为单位向量， 和 的夹角等于 30 ， =11cos30= . 非零向量 =x +y ， | |= = = ， = = = = ，

16、 故当 =- 时， 取得最大值为 2， 答案： 2. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18.(14 分 )在公差为 d 的等差数列 an中，已知 a1=10，且 a1， 2a2+2， 5a3成等比数列 . ( )求 d， an； ( )若 d 0，求 |a1|+|a2|+|a3|+|a n|. 解析 ： () 直接由已知条件 a1=10，且 a1， 2a2+2， 5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式 an可求； () 利用 () 中的结论，得到等差数列 an的前 11 项大于等于 0，后面的项小于 0，所以分类讨论求 d 0 时

17、|a1|+|a2|+|a3|+|a n|的和 . 答案： () 由题意得 ，即 ，整理得 d2-3d-4=0.解得 d=-1 或 d=4. 当 d=-1 时， an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11. 当 d=4 时， an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6. 所以 an=-n+11 或 an=4n+6； () 设数列 an的前 n 项和为 Sn，因为 d 0，由 () 得 d=-1， an=-n+11. 则当 n11 时， . 当 n12 时， |a1|+|a2|+|a3|+|a n|=-Sn+2S11= . 综上所述， |a1|+|a2|+|a3|+|a n

18、|= . 19.(14 分 )设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分 . (1)当 a=3， b=2， c=1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和 .求 分布列； (2)从该袋子中任取 (且每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数 .若 ，求 a： b： c. 解析 ： (1) 的可能取值有： 2， 3， 4， 5， 6，求出相应的概率可得所求 的分布列； (2)先列出 的分布列，再利用 的数学期望和方差公式，即可得

19、到结论 . 答案： (1)由题意得 =2 ， 3， 4， 5， 6， P(=2)= = ； P(=3)= = ； P(=4)= = ； P(=5)= = ； P(=6)= = . 故所求 的分布列为 (2)由题意知 的分布列为 E= = D=(1 - )2 +(2- )2 +(3- )2 = . 得 ，解得 a=3c， b=2c，故 a： b： c=3： 2： 1. 20.(15 分 )如图，在四面体 A-BCD 中， AD 平面 BCD， BCCD ， AD=2， BD=2 .M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ=3QC. (1)证明： PQ 平面

20、 BCD； (2)若二面角 C-BM-D 的大小为 60 ，求 BDC 的大小 . 解析 ： (1)取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得 DF=3CF，连接 OP、 OF、 FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形 OPQF 是平行四边形，从而 PQOF ，再由线面平行判定定理，证出 PQ 平面 BCD； (2)过点 C 作 CGBD ，垂足为 G，过 G 作 GHBM 于 H，连接 CH.根据线面垂直的判定与性质证出 BMCH ，因此 CHG 是二面角 C-BM-D 的平面角，可得 CHG=60. 设 BDC= ，用解直角三角形的方法算出 HG 和 C

21、G 关于 的表达式，最后在 RtCHG 中，根据正切的定义得出tanC HG= = ，从而得到 tan= ，由此可得 BDC. 答案： (1)取 BD 的中点 O，在线段 CD 上取点 F，使得 DF=3CF，连接 OP、 OF、 FQ. ACD 中， AQ=3QC 且 DF=3CF， QFAD 且 QF= AD， BDM 中， O、 P 分别为 BD、 BM 的中点 ， OPDM ，且 OP= DM，结合 M 为 AD 中点得： OPAD 且 OP= AD， OPQF 且 OP=QF，可得四边形 OPQF 是平行四边形 ， PQOF ， PQ 平面 BCD 且 OF 平面 BCD， PQ 平

22、面 BCD； (2)过点 C 作 CGBD ，垂足为 G，过 G 作 GHBM 于 H，连接 CH， AD 平面 BCD， CG 平面 BCD， ADCG ， 又 CGBD ， AD、 BD 是平面 ABD 内的相交直线 ， CG 平面 ABD，结合 BM 平面 ABD，得CGBM ， GHBM ， CG、 GH 是平面 CGH 内的相交直线 ， BM 平面 CGH，可得 BMCH ， 因此， CHG 是二面角 C-BM-D 的平面角，可得 CHG=60 ， 设 BDC= ，可得 ， RtBCD 中， CD=BDcos=2 cos ， CG=CDsin= sincos ， BG=BCsin=2

23、 sin2 ， RtBMD 中， HG= = ； RtCHG 中， tanCHG= = ， tan= ，可得 =60 ，即 BDC=60 . 21.(15 分 )如图，点 P(0， -1)是椭圆 C1： + =1(a b 0)的一个顶点， C1的长轴是圆C2： x2+y2=4 的直径， l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A、 B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1的方程； (2)求 ABD 面积的最大值时直线 l1的方程 . 解析 ： (1)由题意可得 b=1， 2a=4，即可得到椭圆的方程； (2)设 A(x1， y1)， B(x2，

24、 y2)， D(x0， y0).由题意可知：直线 l1的斜率存在，设为 k，则直线l1的方程为 y=kx-1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心 O到直线 l1的距离和弦长 |AB|，又 l2l 1，可得直线 l2的方程为 x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点 D 的横坐标，即可得出 |PD|，即可得到三角形 ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到 k 的值 . 答案： (1)由题意可得 b=1， 2a=4，即 a=2. 椭圆 C1的方程为 ； (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0). 由题意可知：直线 l1的斜率存在，

25、设为 k，则直线 l1的方程为 y=kx-1. 又圆 的圆心 O(0， 0)到直线 l1的距离 d= .|AB|= =. 又 l2l 1，故直线 l2的方程为 x+ky+k=0，联立 ，消去 y 得到 (4+k2)x2+8kx=0，解得 ， . 三角形 ABD 的面积 . = ，当且仅当 时取等号，故所求直线 l1的方程为 . 22.(14 分 )已知 a R，函数 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3. (1)求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)当 x 0， 2时，求 |f(x)|的最大值 . 解析 ： (1)求出原函数的导函数，求出函数取 x=1 时的导数值

26、及 f(1)，由直线方程的点斜式写出切线方程； (2)求出原函数的导函数，分 a0 ， 0 a 1， a1 三种情况求 |f(x)|的最大值 .特别当 0a 1 时，仍需要利用导数求函数在区间 (0， 2)上的极值，然后在根据 a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小 . 答案： (1)因为 f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3，所以 f(x)=3x 2-6x+3a， 故 f(1)=3a -3，又 f(1)=1，所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4； (2)由于 f(x)=3(x -1)2+3(a-1)， 0x2. 故当 a0 时，有 f(x)0 ，此时 f(x)在 0，

27、2上单调递减，故 |f(x)|max=max|f(0)|， |f(2)|=3-3a. 当 a1 时，有 f(x)0 ，此时 f(x)在 0， 2上单调递增，故 |f(x)|max=max|f(0)|， |f(2)|=3a-1. 当 0 a 1 时，由 3(x-1)2+3(a-1)=0，得 ， . 所以，当 x (0， x1)时， f(x) 0，函数 f(x)单调递增； 当 x (x1， x2)时， f(x) 0，函数 f(x)单调递减； 当 x (x2， 2)时， f(x) 0，函数 f(x)单调递增 . 所以函数 f(x)的极大值 ，极小值. 故 f(x1)+f(x2)=2 0， . 从而 f(x1) |f(x2)|. 所以 |f(x)|max=maxf(0)， |f(2)|， f(x1). 当 0 a 时， f(0) |f(2)|. 又 =故 . 当 时， |f(2)|=f(2)，且 f(2)f(0). 又 =. 所以当 时， f(x1) |f(2)|. 故 . 当 时， f(x1)|f(2)|. 故 f(x)max=|f(2)|=3a-1.综上所述 |f(x)|max= .