【考研类试卷】数学-数列、数学归纳法及答案解析.doc

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1、数学-数列、数学归纳法及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：29，分数：116.00)1.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是( )。（分数：4.00）A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和2.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.5 月、6 月B.6 月、7 月C.7 月、8 月D.8 月、9 月3.等比数列a n的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为( )。（分数：4.

2、00）A.B.C.D.4.在等差数列a n中，a 3=2，a 11=6，数列b n是等比数列，若 b2=a3，那么满足 最大的 n 的值为( )。（分数：4.00）A.2B.3C.4D.55.设数列a n的前 n 项和为 Sn， （分数：4.00）A.2B.4C.6D.86.3+232+333+434+n3n=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.7.等差数列a n)中，已知 a1= （分数：4.00）A.48B.49C.50D.518.设 ，利用等差数列前 n 项和公式，求得 f(-5)+f(-4)+ f(0)+f(5)+f(6)的值为( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设a

3、 n)是等比数列，a n0(n=1,2,)，记 （分数：4.00）A.AnB nB.BnA nC.Bn=AnD.对某些 n 有 AnB n，对另外的 n 有 BnA n或 Bn=An10.=( )。 （分数：4.00）A.B.C.D.11.设a n是首项为 1 的正项数列，且 。那么它的通项公式是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.12.在等差数列a n中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9+an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于( )。（分数：4.00）A.B.C.D.13.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为( )。（分数：4.00）A.B

4、.C.D.14.等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 2，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.415.设数列a n的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=( )。（分数：4.00）A.125B.142C.153D.22316.设a n是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若S n是等差数列，则 q= ( )。（分数：4.00）A.B.1C.2D.17.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=( )。（分数：4.00）A.0B.bC.2bD.4

5、b18.在等差数列a n)中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于( )。（分数：4.00）A.4B.5C.6D.719.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m-n|=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.20.在等差数列a n中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列a n前 n 项的和。若 Sn取得最大值，则 n=( )。（分数：4.00）A.7B.8C.9D.1021.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )。（分数：

6、4.00）A.3B.4C.5D.622.在数列a n和b n中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则b n的各项和是( )。（分数：4.00）A.1B.2C.4D.523.在等比数列a n中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 （分数：4.00）A.(1,+)B.(1,4)C.(1,2)D.(1,24.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为( )。（分数：4.00）A.1B.C.1 或D.525.设等比数列a n)的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q 为(

7、 )。（分数：4.00）A.B.C.D.26.设a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=( )。（分数：4.00）A.B.C.D.27.等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 =( )。（分数：4.00）A.B.C.D.28.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使C n+1-PCn为等比数列，则 P=( )。（分数：4.00）A.2B.3C.2 或 3D.629.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为( )。（分数：4.00）

8、A.B.C.D.数学-数列、数学归纳法答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：29，分数：116.00)1.若一个首项为正数的等差数列，前 3 项和与前 11 项和相等，则这个数列前 n 项和中最大的是( )。（分数：4.00）A.前 4 项和B.前 5 项和C.前 6 项和D.前 7 项和 解析：解析 由 S3=S11得，a 4+a5+a11=0即(a 1+3d)+(a1+4d)+(a1+10d)=08a1+52d=0a1=-6.5d可列出前 n 项和的表达式：又因为 d0，故当 n=7 时，S n取得最大值2.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年

9、初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足（分数：4.00）A.5 月、6 月B.6 月、7 月C.7 月、8 月 D.8 月、9 月解析：解析 设第 n 个月份的需求量超过 1.5 万件，显然 S11.5，则当 n1 时解不等式，得 n2-15n+540，即 6n9故正确答案为 C。3.等比数列a n的公比为 ，前 n 项和 Sn满足 ，那么 a1的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析： 故正确答案为 D。4.在等差数列a n中，a 3=2，a 11=6，数列b n是等比数列，若 b2=a3，那么满足 最大的 n 的值为( )。（分数：4.00）A.2B.3C.

10、4 D.5解析：解析 a n是等差数列由 a3=2，a 11=6 得方程组故bn是等比数列，由 b2=a3，b 3=得方程组故 ，从而 ，解之，得 n-14，即 n5，n 的最大值为 4。5.设数列a n的前 n 项和为 Sn， （分数：4.00）A.2 B.4C.6D.8解析：解析 6.3+232+333+434+n3n=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 Sn=3+232+333+434+n3n则 3Sn=32+233+334+435+(n-1)3n+n3n+1把以上两式相减，得故7.等差数列a n)中，已知 a1= （分数：4.00）A.48B.49C.50 D.

11、51解析：解析 由 a2+a5=4，得 2a1+5d=48.设 ，利用等差数列前 n 项和公式，求得 f(-5)+f(-4)+ f(0)+f(5)+f(6)的值为( )。 （分数：4.00）A.B. C.D.解析： 故正确答案为 B。9.设a n)是等比数列，a n0(n=1,2,)，记 （分数：4.00）A.AnB n B.BnA nC.Bn=AnD.对某些 n 有 AnB n，对另外的 n 有 BnA n或 Bn=An解析：解析 (1)若a n的公比 q=1，则 Sn=na1，得(2)q1， ，得由条件可知 q0，综合(1)，(2)得 。根据对数函数的单调性，上式取对数有 。故正确答案为

12、A。10.=( )。 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 11.设a n是首项为 1 的正项数列，且 。那么它的通项公式是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析： 故正确答案为 B。12.在等差数列a n中，已知 a1+a2+a10=p，a n-9+an-8+an=q，则该数列的前 n 项和 Sn等于( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 把已知的两式左右两边对应相加，得(a 1+an)+(a2+an-1)+(a10+an-9)=p+q，左边共有 10 个括号，在一个共有 n 项的等差数列中，由等差数列的性质知a2+an-1=a3+an-2=a10+an-

13、9=a1+an故上式可变为 10(a1+an)=p+q，a 1+an=故故正确答案为 C。13.若 a2，1，b 2成等比数列，而 成等差数列，那么 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 a2，1，b 2成等比数列，故 a2b2=1，又因为 成等差数列，故 ，得方程组14.等差数列a n中，a 1=2，公差不为零，且 a1，a 2，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于( )。（分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 设 a1，a 3，a 11组成的等比数列公比为 q故 a3=a1q=2q，a 11=a1q2=2q2又因为 2q

14、2=a1+5(2q-a1)，故 2q2=2+5(2q-2)解得 q=4故正确答案为 D。15.设数列a n的通项为 an=2n-7(nN)，则|a 1|+|a2|+|a15|=( )。（分数：4.00）A.125B.142C.153 D.223解析：解析 因为 an=2n-7 故 a1=-5，a 2=-3，a 3=-1，a 4=1，a 5=3，a 15=23所以|a 1|+|a2|+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+23)=153故正确答案为 C。16.设a n是公比为 q 的等比数列，S n是它的前 n 项和。若S n是等差数列，则 q= ( )。（分数：4.00）A.B.1 C.2

15、D.解析：解析 因为a n是公比为 q 的等比数列，故 q0，且数列的前 n 项和为17.an是等差数列，已知 mk，S m=Sk=b，则 Sm+k=( )。（分数：4.00）A.0 B.bC.2bD.4b解析：解析 由条件得2(m-k)a1+(m2-m-k2+k)d=0(m-k)2a1+(m+k-1)d=0因为 m-k0，故 2a1+(m+k-1)d=018.在等差数列a n)中，已知 a1+a2+a3+a4+a5=20，那么 a3等于( )。（分数：4.00）A.4 B.5C.6D.7解析：解析 本题可运用通项公式，依题意得a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)

16、=20得 5a1+10d=20，即 a1+2d=4，a 3=4。故正确答案为 A。19.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m-n|=( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程有四个根，所以方程 x2-2x+m=0 和 x2-2x+n=0 各有两个根，又因为这两个方程的两根之和都等于 2，且这四个根组成等差数列a n，故设这四个根为 a1，a 2， a 3，a 4，有 a1+a4=a2+a3=2，因为|m-n|=|n-m|不妨设上述两个方程的根为 a1，a 4和 a2，a 3，则 a2+a3=a1+a4=2，设公

17、差为 d，故 2a1+3d=2，20.在等差数列a n中，满足 3a4=7a7，且 a10，S n是数列a n前 n 项的和。若 Sn取得最大值，则 n=( )。（分数：4.00）A.7B.8C.9 D.10解析：解析 设公差为 d，由题设 3(a1+3d)=7(a1+6d)，解得21.一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，则公差 d 的值为( )。（分数：4.00）A.3B.4C.5 D.6解析：解析 解法一：设这个数列的首项为 a1，公差为 d，则有解得 d=5解法二：依题意，得又因为 S 偶 -S 奇 =6d，故 d=5。解法三

18、：因为故 ，故故 ，即得 d=5。故正确答案为 C。22.在数列a n和b n中，a 1=2，且对任意的正自然数 n，3a n+1-an=0，b n是 an与 an+1的等差中项，则b n的各项和是( )。（分数：4.00）A.1B.2 C.4D.5解析：解析 ，又a n是以 2 为首项， 为公比的等比数列，故23.在等比数列a n中，a 11，且前 n 项和 Sn满足 （分数：4.00）A.(1,+)B.(1,4)C.(1,2)D.(1, 解析：解析 由题意，得：故又因为 a11，所以24.在(1+ax) 7的展开式中，使 x，x 2，x 3的系数成等差数列的实数 a 的值为( )。（分数：

19、4.00）A.1B.C.1 或 D.5解析：解析 x，x 2，x 3的系数分别为即 42a2=7a+35a3，5a 2-6a+1=0得 a=1 或 a=25.设等比数列a n)的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q 为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若 q=1，则有 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1但 a10，即得 S3+S62S 9，与题设矛盾，故 q1。又依题意得 S3+S6=2S9，可得整理，得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得方程 2q6-q3-1=0即(2q 3+1)(q3-1)=0，因为 q1，q 3-10，故

20、故正确答案为 C。注意：(1)要时刻注意公比 q 的取值范围，方能不断地简化计算。(2)复数不能扩展到数列中，而 只有一个实数解。26.设a n为等差数列，S n为数列a n的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75，T n为数列 的前 n 项和，那么Tn=( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设等差数列a n的公差为 d，则解得 a1=-2，d=1，故因为 ，故数列 是首项为-2 公差为 的等差数列，故 。故正确答案为 A。27.等差数列a n、b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 =( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一：因为所以可设

21、Sn=kn(5n+1)，T n=kn(3n-1)则解法二：28.已知 Cn=2n+3n，常数 P 使C n+1-PCn为等比数列，则 P=( )。（分数：4.00）A.2B.3C.2 或 3 D.6解析：解析 由C n+1-PCn为等比数列知(Cn+1-PCn)2=(Cn+2-PCn+1)(Cn-PCn-1)即2 n+1+3n+1-P(2n+3n)2=2n+2+3n+2-P(2n+1+3n+1)2n+3n-P(2n-1+3n-1)此式可化为29.设(1+ax) 8=b0+b1x+b2x2+b8x8，若 b3，b 4，b 5成等差数列，则 a 的值为( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知，得即故 2a2-5a+2=0，(2a-1)(a-2)=0解得 a= 或 a=2故正确答案为 C。