【考研类试卷】考研数学二（线性代数）-试卷19及答案解析.doc

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1、考研数学二（线性代数）-试卷 19 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性无关，(II) 1 ， 2 ， s 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由(II) 1 ， 2 ， s 线性表出， i (i=1，2，t)不能由(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对3.

2、已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 “ 1 ，“ 2 ，“ s 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量D.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量4.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关

3、B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关5.A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 一阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零6.向量组(I) 1 ， 2 ， s ，

4、其秩为 r 1 ，向量组(II) 1 ， 2 ， s 其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 17.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX=a 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B=

5、1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +18.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 一 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 n 阶(n3)矩阵，A= （分数：2.00）A.1B.C.一 1D.10.设 xOy 平面上 n 个不同的点为 M i (x i ，y i )，i=1，2，

6、n(n3)，记 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知三维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r，则 r( 1 ， 1 +

7、2 ， 1 + 2 + s )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，则CAB= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零，证明： 1 ， 2 ， s ，

8、中任意 5 个向量线性无关（分数：2.00）_19.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_20.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；(2)求A（分数：2.00）_21.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，证明：A 不可逆（分数：2

9、.00）_22.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在常数 ，使得 A k = k 一 1 A（分数：2.00）_24.设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O（分数：2.00）_25.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 1 ， 2 ， t = 1 ， 2 ， s （分数：2.00）_26.设 A 是 sn 矩阵，B 是

10、 A 的前 m 行构成的 mb 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r，证明： r(a)r+m一 s（分数：2.00）_27.设 A 是 mn 阶实矩阵，证明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b 一定有解（分数：2.00）_28.设线性方程组 （分数：2.00）_29.已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为 X=k 1 1，0，2，3 T +k 2 0，1，一 l，1 T ，求原方程组（分数：2.00）_30.已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，一 1 T ， 3 =0，2，1，一 1 T ， 添加两个方程 （分数

11、：2.00）_31.已知线性方程组(I) （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 19 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性无关，(II) 1 ， 2 ， s 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由(II) 1 ， 2 ， s 线性表出， i (i=1，2，t)不能由(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相

12、关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可 取 1 = 线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关； 取 1 = 3.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 “ 1 ，“ 2 ，“ s 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量

13、 D.“ s (i=1，2，s)是 s (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析：解析：将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性4.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关 D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1

14、 ， 2 ， 3 线性相关解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 5.A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 一阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零解析：解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为

15、零即可，故选(B)，而(A)，(C)，(D)均不成立，请读者自行说明理由6.向量组(I) 1 ， 2 ， s ，其秩为 r 1 ，向量组(II) 1 ， 2 ， s 其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，s 均可由向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 一 r 2C. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：设 1

16、 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r1 ，则 i (i=1，2，s)均可由 1 ， 2 ， r1 线性表出，又 i (一 1，2，s)可由(I)表出，即可由 1 ， 2 ， r1 线性表出，即 1 ， 2 ， r1 也是向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组，故 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s )=r 1 ，其余选项可用反例否定7.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX=a 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ，

17、 n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +1 解析：解析：由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ，r( 1 ， 2 ， n ，)=r 2 +1， 故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r 1 +r 2 +18.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 一 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：r(2 1 + 3 + 4

18、， 2 一 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 ) r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )= 9.设 n 阶(n3)矩阵，A= （分数：2.00）A.1B. C.一 1D.解析：解析：因10.设 xOy 平面上 n 个不同的点为 M i (x i ，y i )，i=1，2，n(n3)，记 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：A= 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知三维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向

19、量组 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 = 1 ， 2 ， 3 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 线性无关的充要条件是 12.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正

20、确答案：正确答案：2l 1 一 l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 线性相关甘存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (l 1 + 1 )+k 2 (l 2 + 2 )+k 3 (l 3 + 3 )=0， 即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 3 )+k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 因 是任意向量， 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 一 2 +3 3 =0，故令 2l 1 一 l 2 +3l 3 =0 时上式成立，故 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足 2l 1 一 l 2 +3l 3

21、=013.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r，则 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r）解析：解析：因向量组 1 ， 2 ， s 和向量组 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s 是等价向量组，等价向量组等秩，故 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + s )=r14.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =

22、AA=O， r(A)+r(A)5， r(A)2， 从而 A * =O，r(A * )=016.设 A mn ，B nn ，C nm ，其中 AB=A，BC=O，r(A)=n，则CAB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n）解析：解析：因 AB=A，A(B 一 E)=O，r(A)=n故 B 一 E=O，B=E，且由 BC=O，得 C=O，故 CAB=E=(一 1) n 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s

23、线性表出，且表示式的系数全不为零，证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 5 个向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法设 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量组 1 ， 2 ， i 一 1 ， i+1 ， s ， 线性相关，则存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k i 一 1 ，k i+1 ，k s ，k 使得 k 1 1 +k i 一 1 i 一 1 +k i+1 i+1 +k s s +k=0 另一方面，由题设 =l 1 1 +l 2 2 +l i i +l s s ， 其中 l i 0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1 +kl 1 ) 1 +(k 2 +

24、kl 2 ) 2 +(k i 一 1 +kl i 一 1 ) i 一 1 +lj i i +(k i+1 +kl i+1 ) i+1 +(k s +kl s ) s =0 因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，从而由 kl i =0，l i 0，故 k=0，从而由式得 k 1 ，k 2 ，k i 一 1 ，k i+1 ，k s 均为 0，矛盾 故 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关)解析：19.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有

25、数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 成立，即 k 1 ( 1 +t 2 )+k 2 ( 2 +t 3 )+k s ( s +t s+1 ) =k 1 1 +(k 1 t+k 2 ) 2 +(k 2 t+k 3 ) 3 +(k s 一 1 +k s ) s +k s t s+1 =0 因 1 ， 2 ， s+1 线性无关，故 )解析：20.设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 (1)证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；(2)

26、求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 1 ，A 2 ，A 3 = 2 + 3 ， 1 + 3 ， 1 + 2 = 1 ， 2 ， 3 =20，C 是可逆阵 (2)A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 两边取行列式，得A= )解析：21.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，证明：A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 A 1 +k 2 A 2

27、+k s A s =0， 即 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=A=0 其中 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立，因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k s 有 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 0， 而 A=0。 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵)解析：22.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 BO，且有 AB=O 必

28、要性若 AB=O，其中 BO，设 B= 1 ， 2 ， s ，则 A i =0，i=1，2，s其中 i ，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n)解析：23.设 n 阶矩阵 A 的秩为 1，试证： (1)A 可以表示成 n1 矩阵和 1n 矩阵的乘积； (2)存在常数 ，使得 A k = k 一 1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 以列分块，则 r(A)=r( 1 ， 2 ， n )=1 表明列向量组 1 ， 2 ， n 的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为 i = 1 ， 2 ， n T (0)，其余列向量均可由 i 线性表出，设为

29、j =b j i (j=1，2，n，j=i 时，取 b i =1)，则 A= 1 ， 2 ， n =b 1 1 ，b 2 2 ，b n s = i b 1 ，b 2 ，b s = )解析：24.设 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量 X 都有 AX=0，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T ，由 )解析：25.向量组 1 ， 2 ， t 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表出，设表出关系为 1 ， 2 ， t = 1 ， 2 ， s （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B= 1 ， 2 ， t = 1 ， 2

30、 ， s C=ACr(B)=r(AC)r(C)又 r(B)=r(AC)r(A)+r(C)一 s，r(A)=s， 故 r(B)r(C)，从而有 r(B)=r(C)解析：26.设 A 是 sn 矩阵，B 是 A 的前 m 行构成的 mb 矩阵，已知 A 的行向量组的秩为 r，证明： r(a)r+m一 s（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因(A 的行向量的个数 s)一(A 的线性无关行向量的个数 r(A)(B 的行向量个数 m)一(B 的线性无关的行向量的个数 r(B)， 即 s 一 r(A)mr(B)， 得 r(B)r(A)+m 一 s=r+ms)解析：27.设 A 是 mn 阶实矩阵，证

31、明：(1)r(A T A)=r(A)；(2)A T AX=A T b 一定有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 r(A)=r 1 ，r(A T A)=r 2 ，由于 AX=0 的解都满足(A T A)X=A T (AX)=0，故 AX=0 的基础解系(含 n 一 r 1 个无关解)含于 A T AX=0 的某个基础解系(含 n 一 r 2 个无关解)之中，所以 n 一 r 1 n 一 r 21 ， 故有 r 2 r 1 ，即 r(A T A)r(A) 又当 A T AX=0 时(X 为实向量)，必有 X T A T AX=0，即(AX) T AX=0，设 AX=b 1 ，b

32、2 ，b m T ， 则(AX) T (AX)= )解析：28.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组是齐次线性方程组 当 一 2 且 2 时，唯一零解； 当 =2 时，有无穷多解，其解为 k 1 1，一 1，0，0 T +k 2 1，0，一 1，0 T +k 3 1，0，0，一 1 T ； 当 =一 2 时，方程为 )解析：29.已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为 X=k 1 1，0，2，3 T +k 2 0，1，一 l，1 T ，求原方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以原方程组的基础解系作新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新的方程组，则新方程组的

33、基础解系即是原方程组系数矩阵的行向量 求得(II)的基础解系为 1 =一2，1，1，0 T ， 2 =一 3，一 1，0，1 T 故原方程组为 )解析：30.已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1 =1，0，1，1 T ， 2 =2，1，0，一 1 T ， 3 =0，2，1，一 1 T ， 添加两个方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组(I)的通解为 )解析：31.已知线性方程组(I) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 一 3，7，2，0 T +k 2 一 1，一 2，0，1 T =一 3k 1 一 k 2 ，7k 1 一 2k 2 ，2k 1 ，k 2 T 其中 k 1 ，k 2 是任意常数，将该通解代入方程组(I)得： 3(一 3k 1 一 k 2 )一(7k 1 2k 2 )+8(2k 1 )+k 2 =一 16k 1 +16k 1 3k 2 +3k 2 =0， (一 3k 1 一 k 2 )+3(7k 1 2k 2 )一 9(2k 1 )+7k 2 =一 21k 1 +21k 1 7k 2 +7k 2 =0， 即方程组()的通解均满足方程组(I)，故()的通解 k 1 一 3，7，2，0 T +k 2 一 1，一 2，0，1 T 即是方程组(I)，()的公共解)解析：