【考研类试卷】考研数学二-线性代数二次型及答案解析.doc

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1、考研数学二-线性代数二次型及答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：20.00)1.实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f和-f 合同，则必有（分数：4.00）A.r是偶数，s=1。B.r是奇数，s=1C.r是偶数，s=0D.r是奇数，s=02.下列矩阵中与 合同的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.3.二次型 XTAX正定的充要条件是（分数：4.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=EB.存在 n阶矩阵 D，使得 A=DTDC.存在正交阵 Q，使得D.对任何 X=x1，x 2，x nT，其中 xi0(i=1，

2、2，n)均有 XTAX04.下列矩阵中正定矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.5.A、B 都是 n阶实对称阵，则使 A、B 合同的充要条件是（分数：4.00）A.A、B 有相同的秩B.A、B 都合同于对角阵C.A、B 的全部特征值相同D.A、B 有相同的正负惯性指数二、填空题(总题数：4，分数：16.00)6.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+b1x2+c1x3)(a2x1+b2x2+c2x3)，则二次型的对应矩阵是 1（分数：4.00）填空项 1:_7.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_8.矩阵 和 （分数：4.00）填空项 1:_9.设 （分数：4.00）填空项

3、 1:_三、解答题(总题数：14，分数：70.00)10.已知二次型 （分数：5.00）_11.已知 f(x1，x 2，x 3，x 4)=2x1x2-6x1x3-6x2x4-2x3x4，用正交变换化二次型为标准形，并指出二次型的秩及正负惯性指数（分数：5.00）_12.已知 （分数：5.00）_13.已知 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x1，用配方法化二次型为标准形式，并求所作可逆线性变换及二次型的秩和正、负惯性指数（分数：5.00）_14.设 （分数：5.00）_15.设 （分数：5.00）_16.求 a的值，使二次型（分数：5.00）_17.试问：

4、为何值时，二次型（分数：5.00）_18.设 （分数：5.00）_19.已知实对称阵 A满足 A3-4A2+5A-2E=0，证明 A是正定矩阵（分数：5.00）_20.已知 1， 2， n是 n阶实对称阵 A的 n个特征值，问 t满足什么条件时，tE-A 是正定阵（分数：5.00）_21.设 A是 n阶正定阵，B 是 n阶反对称阵，证明 A-B2是可逆矩阵（分数：5.00）_22.设（分数：5.00）_23.设三阶实对称阵 A有特征值 1 2 3，证明二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，对任意的 X=x1，x 2，x 3T，恒有 1XTXX TAX 3XTX（分数：5.00）_考研数

5、学二-线性代数二次型答案解析(总分：106.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：20.00)1.实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f和-f 合同，则必有（分数：4.00）A.r是偶数，s=1。B.r是奇数，s=1C.r是偶数，s=0 D.r是奇数，s=0解析：提示 设 f的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，-f 的正惯性指数为 q，负惯性指数为 p，有*，故 p=q，从而知 r=p+q=2p，s=p-q=0，故选(C)2.下列矩阵中与 合同的矩阵是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：提示 关键是正、负惯性指数一致，且只需讨论*的正、

6、负惯性指数即可3.二次型 XTAX正定的充要条件是（分数：4.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=EB.存在 n阶矩阵 D，使得 A=DTDC.存在正交阵 Q，使得 D.对任何 X=x1，x 2，x nT，其中 xi0(i=1，2，n)均有 XTAX0解析：(A)充分但不必要，(B)n 必要但不充分，(C)不一定是可逆性，(D)必要但不充分(要区分X=x1，x 2，x nT0 和 37：0，i=1，2，n，不是一回事由排除法，应选(C)，或(C)A 是正定*存在正交阵 Q使*，其中 i0，i=1，2，n4.下列矩阵中正定矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：(B)中 a22

7、=C，(C)中 a33=-2(A)中 a33的余子式*(二阶顺序主子式)，不满足 A正定的必要条件，应排除或直接用顺序主子式全部大于零判别(D)是正定的5.A、B 都是 n阶实对称阵，则使 A、B 合同的充要条件是（分数：4.00）A.A、B 有相同的秩B.A、B 都合同于对角阵C.A、B 的全部特征值相同D.A、B 有相同的正负惯性指数 解析：提示 (A)，(B)是必要条件，但不是充分条件；(C)不是充分条件，也不是必要条件二、填空题(总题数：4，分数：16.00)6.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+b1x2+c1x3)(a2x1+b2x2+c2x3)，则二次型的对应矩阵是

8、 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：7.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：二次型的秩为 2提示 二次型的秩即是对应矩阵的秩）解析：8.矩阵 和 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k1）解析：三、解答题(总题数：14，分数：70.00)10.已知二次型 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：11.已知 f(x1，x 2，x 3，x 4)=2x1x2-6x1x3-6x2x4-2x3x4，用正交变换化二次型为标准形，并指出二次型的秩及正负惯性指数（分数：5.00）_正确答案：

9、(*)解析：12.已知 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：13.已知 f(x1，x 2，x 3，x 4)=x1x2+x2x3+x3x4+x4x1，用配方法化二次型为标准形式，并求所作可逆线性变换及二次型的秩和正、负惯性指数（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：14.设 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：15.设 （分数：5.00）_正确答案：(*)解析：16.求 a的值，使二次型（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：17.试问： 为何值时，二次型（分数：5.00）_正确答案：(-21)解析：18.设 （分数：5.00）_正确答案：(*=(x1-x2)2+(x1-x3)2

10、+(x1-xn)2+(x2-x3)2+(x2-x3)2+(xn-1-xn)20，存在 x1=x2=xn0，有 f(x1，x 2，x n)=0，故 f不正定)解析：19.已知实对称阵 A满足 A3-4A2+5A-2E=0，证明 A是正定矩阵（分数：5.00）_正确答案：(A 的特征值满足 2-4 2+5-2=0， 的取值范围为 1，1，2，全部大于零，故 A正定)解析：20.已知 1， 2， n是 n阶实对称阵 A的 n个特征值，问 t满足什么条件时，tE-A 是正定阵（分数：5.00）_正确答案：(tE-A 的特征值为 t- i)解析：21.设 A是 n阶正定阵，B 是 n阶反对称阵，证明 A-B2是可逆矩阵（分数：5.00）_正确答案：(A-B 2=A+BTB，对任意 X0，有(BX) TBX0，先证 A-B2是正定阵)解析：22.设（分数：5.00）_正确答案：(若 sn，不正定；若 s=n或 sn，正定)解析：23.设三阶实对称阵 A有特征值 1 2 3，证明二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX，对任意的 X=x1，x 2，x 3T，恒有 1XTXX TAX 3XTX（分数：5.00）_正确答案：(用正交变换化二次型*)解析：