【考研类试卷】考研数学三(一元函数微分学)-试卷13及答案解析.doc
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1、考研数学三(一元函数微分学)-试卷 13 及答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)在0,1连续,在(0,1)可导且 f(x)0(x(0,1),则( )(分数:2.00)A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 1 xf(t)dtB.当 0x1 时 0 x f(t)dt= 0 1 xf(t)dtC.当 0x时 0 x f(t)dt 0 1 =xf(t)dtD.以上结论均不正确3.设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是( )
2、(分数:2.00)A.B.C.D.4.设 f(x)为可导函数,且满足条件 (分数:2.00)A.2B.一 1C.D.一 25.设 (分数:2.00)A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续,但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解,且 f(x 0 )0,f(x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少7.设某商品的需求函数为 Q=1602P,其中 Q,P
3、分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是( )(分数:2.00)A.10B.20C.30D.408.设 f(x)可导且 (分数:2.00)A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小9.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0,且 f(a)=0B.f(a)=0,且 f(a)0C.f(a)0,且 f(a)0D.f(a)0,且 f(a)010.已知 f(x,y)= (分数:2.00)A.f x “(0,0),f y “(0,0)都存在
4、B.f x “(0,0)不存在,f y “(0,0)存在C.f x “(0,0)存在,f y “(0,0)不存在D.f x “(0,0),f y “(0,0)都不存在11.设函数 f(x)在闭区间a,b上有定义,在开区间(a,b)内可导,则( )(分数:2.00)A.当 f(a)f(b)0,存在 (a,b),使 f()=0B.对任何 (a,b),有C.当 f(a)=f(b)时,存在 (a,b),使 f()=0D.存在 (a,b),使 f(b)一 f(a)=f()(ba)12.设 f(x)在a,b可导,f(a)= (分数:2.00)A.f + “(a)=0B.f + “(a)0C.f + “(a
5、)0D.f + “(a)013.设 f(x)在a,b上二阶可导,且 f(x)0,下面不等式 f(a)(b 一 a) a b f(x)dx(ba) (分数:2.00)A.f(x)0,f”(x)0B.f(x)0,f”(x)0C.f(x)0,f”(x)0D.f(x)0,f”(x)014.曲线 (分数:2.00)A.既有垂直又有水平与斜渐近线B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线二、填空题(总题数:10,分数:20.00)15.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_16.已知 f(x)= (分数:2.00)填空项
6、1:_17.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导,且 f(x)=e f(x) ,f(2)=1,则 f“(2)= 1(分数:2.00)填空项 1:_18.已知 f(e x )=xe -x ,且 f(1)=0,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_19.设某商品的收益函数为 R(p),收益弹性为 1+p 3 ,其中 p 为价格,且 R(1)=1,则 R(p)= 1(分数:2.00)填空项 1:_20.若函数 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_21.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1,0),则 b= 1.(分数:2.00)填空项 1:
7、_22.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_23.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_24.曲线 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_26.假设函数 f(x)和 g(x)在a,b上存在二阶导数,并且 g”(x)0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:(1)在开区间(a,b)内 g(x)0;(2)在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使 (分数:2.00)_27.设某商品的需求函数为 Q=100-5P,其中价格 P(0,20),Q 为需求量 (1)求需求量对价
8、格的弹性 E d (E d 0); (2)推导 (分数:2.00)_28.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定,试判断曲线 y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性(分数:2.00)_29.证明当 x0 时,(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 (分数:2.00)_30.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =10 下的最大值和最小值(分数:2.00)_31.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数,且 f(0)f(0)0,当 h0 时,若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h),试求 a,b 的值(分数:2.00)_
9、32.设 eabe 2 ,证明 ln 2 b 一 ln 2 a (分数:2.00)_33.已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=,f(1)=1证明:(1)存在 (0,1),使得 f()=1 一 ;(2)存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=1(分数:2.00)_34.设函数 f(x),g(x)在a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在 (a,b),使得 f”()=g”()(分数:2.00)_35.(1)证明拉格朗日中值定理:若函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则存在
10、 (a,b),使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2)证明:若函数 f(x)在 x=0 处连续,在(0,)(0)内可导,且 (分数:2.00)_考研数学三(一元函数微分学)-试卷 13 答案解析(总分:70.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f(x)在0,1连续,在(0,1)可导且 f(x)0(x(0,1),则( )(分数:2.00)A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 1 xf(t)dt B.当 0x1 时 0 x f(t)dt= 0 1
11、 xf(t)dtC.当 0x时 0 x f(t)dt 0 1 =xf(t)dtD.以上结论均不正确解析:解析:记 F(x)= 0 1 f(t)dt 一 0 1 xf(t)dt,则 F(x)=f(x)一 0 1 f(t)dt 在0,1连续,且 F“(x)=f(x)0(戈(0,1),因此 F(x)在0,1上单调下降 又 F(0)=F(1)=0,由罗尔定理,则存在 (0,1),使 3.设 f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx, 又 f”(x) =cosx 一 xsinx,4.设 f
12、(x)为可导函数,且满足条件 (分数:2.00)A.2B.一 1C.D.一 2 解析:解析:将题中极限条件两端同乘 2,得5.设 (分数:2.00)A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续,但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析:解析:本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左右导数 f - “(x 0 ),f + “(x 0 )与在 x=x 0 处的左右极限 区分开 但不能保证 f(x)在 x 0 处可导,以及在 x=x 0 ,处连续和极限存在 但是 6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0
13、 的一个解,且 f(x 0 )0,f(x 0 )=0,则函数 f(x)在点 x 0 处( )(分数:2.00)A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析:解析:由 f(x 0 )=0 知,x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点将 x=x 0 代入方程,得 y”(x 0 )一 2y(x 0 ) +4y(x 0 )=0 考虑到 y(x 0 )=f(x 0 )=0,y”(x 0 )=f“(x 0 ),y(x 0 )=f(x 0 )0,因此有 f”(x 0 )=一 4f(x 0 )0,由极值的第二判定定理知,f(x)在点 x 0 处取得极大值,故选 A7.设某商品的需求
14、函数为 Q=1602P,其中 Q,P 分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于 1,则商品的价格是( )(分数:2.00)A.10B.20C.30D.40 解析:解析:商品需求弹性的绝对值等于8.设 f(x)可导且 (分数:2.00)A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析:解析:由 f(x)在 x 0 点处可导及微分的定义可知 于是 9.设 f(x)在点 x=a 处可导,则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )(分数:2.00)A.f(a)=0,且 f(a)=0B.f(a)=0,且 f(a)0 C.f(a
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