【考研类试卷】考研数学三线性代数(线性方程组)-试卷2及答案解析.doc
《【考研类试卷】考研数学三线性代数(线性方程组)-试卷2及答案解析.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《【考研类试卷】考研数学三线性代数(线性方程组)-试卷2及答案解析.doc(9页珍藏版)》请在麦多课文档分享上搜索。
1、考研数学三线性代数(线性方程组)-试卷 2及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0的解,只要系数矩阵 A为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 A为 n阶矩阵,A T 是 A的转置矩阵,对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0,必有( )(分数:2.00)A.(I)的解是()的解,()的解也是()的解B.(I)的解是()的解,()的解不是()的解C.()的解是()的解,()的解不是()的解D.()
2、的解不是()的解,()的解也不是()的解4.设 A是 n阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n+1 x=0,现有四个命题 (1)()的解必是()的解; (2)()的解必是()的解; (3)()的解不是()的解; (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )(分数:2.00)A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)5.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn,I m 为 m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )(分数:2.00)A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换,必可以化为(I m :O)的形
3、式D.非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多解6.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量的个数为儿,方程个数为 m,系数矩阵的秩为 r,则( )(分数:2.00)A.r=m时,方程组 Ax=b有解B.r=n时,方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时,方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时,方程组有无穷多个解7.设 1 , 2 , 3 是 4元非齐次线性方程组 Ax=b的 3个解向量,且 r(A)=3, 1 =(1,2,3,4) T , 2 + 3 =(0,1,2,3) T ,c 表示任意常数,则线性方程组 Ax=b的通解 x=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 A是 mn矩阵,B 是 n
4、m矩阵,则线性方程组(AB)x=0( )(分数:2.00)A.当 nm 时,仅有零解B.当 nm 时,必有非零解C.当 mn 时,仅有零解D.当 mn 时,必有非零解二、填空题(总题数:7,分数:14.00)9.已知方程组 (分数:2.00)填空项 1:_10.已知 1 , 2 是方程组 (分数:2.00)填空项 1:_11.四元方程组 Ax=b的三个解是 1 , 2 , 3 ,其中 1 =(1,1,1,1) T , 2 + 3 =(2,3,4,5) T ,如果 r(A)=3,则方程组 Ax=b的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 1 =(6,-1,1) T 与 2 =(-7,
5、4,2) T 是线性方程组 (分数:2.00)填空项 1:_13.齐次线性方程组 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A= (分数:2.00)填空项 1:_15.齐次方程组 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.已知 A是 mn矩阵,其 m个行向量是齐次线性方程组 Cx=0的基础解系,B 是 m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组 Cx=0的基础解系(分数:2.00)_18.已知方程组 有解,证明:方程组 (分数:2.00)_19.已知线性方程组 有无穷多解,而 A
6、是 3阶矩阵,且 (分数:2.00)_20.设方程组(1) (分数:2.00)_21.设四元齐次线性方程组(1)为 (分数:2.00)_22.已知 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系,证明 1 + 2 , 2 + 3 , 1 + 3 也是该方程组的一个基础解系(分数:2.00)_23.求线性方程组 的通解,并求满足条件 (分数:2.00)_24.当 a,b 取何值时,方程组 (分数:2.00)_25.设线性方程组 (分数:2.00)_26.设有齐次线性方程组 (分数:2.00)_27.已知 3阶矩阵 A的第一行是(a,b,c),a,b,c 不全为零,矩阵 B= (分数
7、:2.00)_28.设 n元线性方程组 Ax=b,其中 (分数:2.00)_考研数学三线性代数(线性方程组)-试卷 2答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.要使 1 = 都是线性方程组 Ax=0的解,只要系数矩阵 A为( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由题意, 1 、 2 与 A的行向量是正交的,对于选项 A,因(-2,1,1) 1 =0,(-2,1,1) 2 =0,而逐一验证可得,其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A3.设
8、 A为 n阶矩阵,A T 是 A的转置矩阵,对于线性方程组()Ax=0 和()A T Ax=0,必有( )(分数:2.00)A.(I)的解是()的解,()的解也是()的解 B.(I)的解是()的解,()的解不是()的解C.()的解是()的解,()的解不是()的解D.()的解不是()的解,()的解也不是()的解解析:解析:如果 是()的解,有 A=0,可得 A T A=A T (A)=A T 0=0, 即 是()的解故()的解必是()的解 反之,若 是()的解,有 A T A=0,用 T 左乘可得 T (A T A)=( T A T )(A)=(A) T (A T )= T 0=0, 若设 A=
9、(b 1 ,b 2 ,b n ),那么 4.设 A是 n阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n+1 x=0,现有四个命题 (1)()的解必是()的解; (2)()的解必是()的解; (3)()的解不是()的解; (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )(分数:2.00)A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)解析:解析:若 A n =0,则 A +1 =A(A n )=A0=0,即若 是()的解,则 必是()的解,可见命题(1)正确 如果 A n+1 =0,而 A n 0,那么对于向量组 ,A 1 ,A 2 ,A n ,一方面有: 若 k
10、+k 1 A 1 +k 2 A 2 +k n A n =0,用 A n 左乘上式的两边,并把 A n+1 =0,A n+2 =0代入,得 kA n =0由 A n 0 知,必有 k=0类似地用 A n-1 左乘可得 k 1 =0因此,A 1 ,A 2 ,A n 线性无关 但另一方面,这是 n+1个 n维向量,它们必然线性相关,两者矛盾故 A n+1 =0 时,必有 A n =0,即()的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A5.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn,I m 为 m阶单位矩阵,则下述结论中正确的是( )(分数:2.00)A.A的任意 m个列向量必线性无关B.A的任意一
11、个 m阶子式不等于零C.A通过初等行变换,必可以化为(I m :O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b一定有无穷多解 解析:解析:选项 A、B 显然不正确,将其中的“任意”都改为“存在”,结论才正确对于矩阵 A,只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I m :O)的,故 C也不正确,故选 D 事实上,由于 A有 m行,且 r(A)=mn,因此 r(A:b)r(A)=m又 r(A:b)rainm,n+1=m, 故 r(A:b)=r(A)=mn,从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D正确6.非齐次线性方程组 Ax=b中未知量的个数为儿,方程个数为 m,系数矩阵的秩为 r,则(
12、)(分数:2.00)A.r=m时,方程组 Ax=b有解 B.r=n时,方程组 Ax=b有唯一解C.m=n时,方程组 Ax=b有唯一解D.rn 时,方程组有无穷多个解解析:解析:对于选项 A,r(A)=r=m由于 r(A:b)m=r, 且 r(A:b)rainm,n+1=minr,n+1=r, 因此必有 r(A:b)=r, 从而 r(A)=r(A:b), 所以,此时方程组有解,所以应选 A 由 B、C、D选项的条件均不能推得“两秩”相等7.设 1 , 2 , 3 是 4元非齐次线性方程组 Ax=b的 3个解向量,且 r(A)=3, 1 =(1,2,3,4) T , 2 + 3 =(0,1,2,3
13、) T ,c 表示任意常数,则线性方程组 Ax=b的通解 x=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:根据线性方程组解的结构性质,易知 2 1 -( 2 + 3 )=(2,3,4,5) T 是 Ax=0的一个非零解,所以应选 C8.设 A是 mn矩阵,B 是 nm矩阵,则线性方程组(AB)x=0( )(分数:2.00)A.当 nm 时,仅有零解B.当 nm 时,必有非零解C.当 mn 时,仅有零解D.当 mn 时,必有非零解 解析:解析:因为 AB是 m阶矩阵,且 r(AB)minr(A),r(B)minm,n(矩阵越乘秩越小), 所以当mn 时,必有 r(AB)m,根据齐次方
- 1.请仔细阅读文档,确保文档完整性,对于不预览、不比对内容而直接下载带来的问题本站不予受理。
- 2.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
- 3、该文档所得收入(下载+内容+预览)归上传者、原创作者;如果您是本文档原作者,请点此认领!既往收益都归您。
下载文档到电脑,查找使用更方便
2000 积分 0人已下载
下载 | 加入VIP,交流精品资源 |
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 试卷 数学 线性代数 线性方程组 答案 解析 DOC
