【考研类试卷】考研数学三线性代数（向量）-试卷2及答案解析.doc

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1、考研数学三线性代数（向量）-试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(

2、4，2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为3.设向量组(I)： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )，=(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ，)，则正确的命题是

3、( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1B. 1 - 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 -5 2 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 - 2 -2 35.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无

4、关D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等

5、价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价8.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5B. 1 ， 3 ， 5C. 2 ， 3 ， 4D. 3 ， 4 ， 59.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设

6、n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当Aa(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=-aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=011.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示12.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，向量组必线性

7、相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_14.已知向量组 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则向量组 r( 1 ， 2 ， 3 ， 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(0，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.

8、已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若 1 =(1，0，5，2) T ， 2 =(3，-2，3，-4) T ， 3 =(-1，1，t，3) T 线性相关，则未知数t= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若向量组 1 =(1，-1，2，4

9、) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，-2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， n-r+1 是它的 n-r+1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k n-r+1 n-+1 (其中 k 1 +k n-r+1 =1)（分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程

10、组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_23.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_24.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_25.设向量组 1 ， 2 ， m 线性相关，且 1 0，证明存在某个向量 k (2km)，使 k 能由 1 ， 2 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_26.设向量组

11、B：b 1 ，b r 能由向量组 A： 1 ， s 线性表示为(b 1 ，b r )=( 1 ， s )K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_29.已知 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的解全是 A 2 x=0 的解，证明 A 2 的行向量可以由 A 2 的行向量线性表示（分数：2.00）_考研数学三线性代数（向量）-试卷 2 答案解析(总分：58.0

12、0，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，-1，5) T ，(0，4，-2) T ，(1，3，0) T (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T ，(-1，3，0，-2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（分数：2

13、.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B 由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 3 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关应排除 A 由排除法，所以应选 D3.设向量组(I)： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21

14、，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )，=(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ，)，则正确的命题是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均错误如设有向量组： 1 =(1，0，0)， 2 =(0，1，0)， 3 =(0，0，0)与 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)，

15、 3 =(0，0，0，1)显然 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 )=3 即当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，其延伸组 1 ， 2 ， 3 可以线性无关，因此，A、C 错误 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关，即有不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，即方程组 有非零解，那么齐次方程组 4.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1B. 1 - 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1C. 1 + 2 ，3 1 -5 2

16、 ，5 1 +9 2D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 - 2 -2 3 解析：解析：通过已知选项可知 ( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0， ( 1 - 2 )+( 2 + 3 )-( 3 + 1 )=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C，可设 1 = 1 + 2 ， 2 =3 1 -5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 -5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关 因而用排除法可知应选 D5.设

17、A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关解析：解析：因为 AB=E 是 m 阶方阵，所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB)=m，又因 r(A)m，故 r(A)=m 于是根据矩阵的性质，A 的行秩=r(A)=m，所以 A 的行向量组线性无关 同理，B 的列秩=r(B)=m，所以 B的列向量组线性无关 所以应选 C6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线

18、性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关解析：解析：由于 1 ， 2 ， 3 线性无关， 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，

19、0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误 所以应选 B7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价

20、C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，则有( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n ) 表明向量组 1 ， 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 A=BQ -1 ，即( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )Q -1 ，表明向量组 1 ，

21、 2 ， n 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确 类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确 下例可表明选项 C 的命题不正确 8.向量组 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，-1，-3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5B. 1 ， 3 ， 5C. 2 ， 3 ， 4 D. 3 ， 4 ， 5解析：解析：对向量组的列向量作

22、初等行变换，有 可见秩 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3 又因为三阶子式 9.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式A的第 2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n-1)a+1，得10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当Aa(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=-aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0 解析：解析：因为当A=0 时，r(A)n，又由题，设矩阵 A 与 B 等价，故 r(B)n，从而

23、B=0，所以应选 D11.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A12.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关B.当 rs 时，

24、向量组必线性相关C.当 rs 时，向量组必线性相关D.当 rs 时，向量组必线性相关 解析：解析：因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r()s 又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D二、填空题(总题数：7，分数：14.00)13.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换14.已知向量组 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则向量组 r( 1 ，

25、2 ， 3 ， 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据初等变换的性质可知，初等变换不改变向量组或矩阵的秩，则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩，即 15.任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(0，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，-2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示， 即对于任意的向量 ，方程组

26、 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，也就是对于任意的，r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 ，)=3，因此 16.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-，+)）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析17.若 1 =(1，0，5，2) T ， 2 =(3，-2，3，-4) T ， 3 =(-1，1，t，3) T 线性相关，

27、则未知数t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：l）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0 有非零解将系数矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，则有 18.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有 19.若向量组 1 =(1，-1

28、，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，-2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a14）解析：解析：n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 ，计算该行列式可得三、解答题(总题数：10，分数：20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， n-r+1 是它的 n-r+

29、1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k n-r+1 n-+1 (其中 k 1 +k n-r+1 =1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关且均为Ax=b 的解取 1 = 2 - 1 ， 2 = 3 - 1 ， n-r = n-r+1 - 1 ，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次 方程 Ax=0 的解 下面用反证法证： 设 1 ， 2 ， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 l 1 ，l 2 ，l n-r ，使得 l 1 1 +l 2 2 +l n-r n-r =0，即 l 1 (

30、 2 - 1 )+l 2 ( 3 - 1 )+l n-r ( n-r+1 - 1 )=0，亦即-(l 1 +l 2 +l n-r ) 1 +l 1 2 +l 2 3 +l n-r n-r+1 =0 由 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关知-(l 1 +l 2 +l n-r )=l 1 =l 2 =l n-r =0，与 l 1 ，l 2 ，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立因此 1 ， 2 ， n-r 线性无关，是 Ax=0 的一组基 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x- 1 为 Ax=0 的解，因此 x- 1 可由 1 ， 2 ， n-r 线性表示，设 x- 1 =k 2 1

31、 +k 3 2 +k n-r+1 n-r =k 2 ( 2 - 1 )+k 3 ( 3 - 1 )+k n-r+1 ( n-r+1 - 1 )， 则 x= 1 (1-k 2 -k 3 -k n-r+1 )+k 2 2 +k 3 3 +k n-r+1 n-r+1 =0， 令 k 1 =1-k 2 -k 3 -k n-r+1 则 k 1 +k 2 +k 3 +k n-r+1 =1，从而 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 恒成立)解析：22.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A，A k-1

32、是线性无关的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k-1 ，使得 0 + 1 A+ k-1 A k-1 =0， 则有 A k-1 ( 0 + 1 A+ k-1 A k-1 )=0， 从而得到 0 A k-1 =0由题设 A k-1 0，所以 0 =0 类似地可以证明 1 = 2 = k-1 =0，因此向量组 ，A，A k-1 是线性无关的)解析：23.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 维单位向量 e 1

33、，e 2 ，e n 线性无关，有 r(e 1 ，e 2 ，e n )=n 又因为 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则可得 n=r(e 1 ，e 2 ，e n )r(a 1 ，a 2 ，a n ) 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )n 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n )=n故 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关.)解析：24.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正

34、确答案：必要性： a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )=n对任一 n 维向量 b，因为 a 1 ， a 2 ，a n ，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)=n 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即

35、 r( 1 ， 2 ， n )=nr(a 1 ，a 2 ， n )， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，有 r(a 1 ，a 2 ，a n )n 综上，r(a 1 ，a 2 ，a n )=n所以a 1 ，a 2 ，a n 线性无关)解析：25.设向量组 1 ， 2 ， m 线性相关，且 1 0，证明存在某个向量 k (2km)，使 k 能由 1 ， 2 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 =0 设 k 0

36、，当 k=1 时，代入上式有 1 a 1 =0又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1 当 k 0 且 k2 时，有 )解析：26.设向量组 B：b 1 ，b r 能由向量组 A： 1 ， s 线性表示为(b 1 ，b r )=( 1 ， s )K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 令 B=(b 1 ，b r )，A=(a 1 ，a s )，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组 B：b 1 ，b 2

37、 ，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，s 且由向量组 B：b 1 ，b 2 ，b r 能由向量组 A：a 1 ，a 2 ，a s 线性表示，则有 rs，即 minr，s=r 综上所述，rr(K)r，即 r(K)=r 充分性：已知 r(K)=r，向量组 A 线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK= ，由矩阵秩的性质 )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n 依次构成矩阵 A和 B，由条件知 B=AK，

38、则 r(B)r(A)且 r(A)=r(A，B)其中系数矩阵 K 为 )解析：28.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=r，r(B)=s，且 1 ， 2 ， n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 =0 的特征向量，同理， 1 ， 2 ， n-s 是 B 关于 =0 的特征向量那么，向量组 1 ， 2 ， n-r ， 1 ， 2 ， n-s 必然线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s)n) 于是存在不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，l 2 ，l n-s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s =0 因为 1 ， 2 ， n-r 线性无关， 1 ， 2 ， n-s 线性无关，所以 k 1 ，k 2 ，k n-r 与 l 1 ，l 2 ，l n-s 必分 别不全为零，令 =k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +=-(l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s ) 由0，从特征向量性质知， 既是 A 关