【考研类试卷】考研数学三线性代数-1及答案解析.doc

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1、考研数学三线性代数-1 及答案解析(总分：202.00，做题时间：90 分钟)1.四阶行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.2.记行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 =(1，0，-1) T，矩阵 A= T，n 为正整数，则|aE-A n|=_（分数：4.00）填空项 1:_4.设 n阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_5.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4维列向量，且 4阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=(A) m+n (B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n（分数：4.0

2、0）A.B.C.D.6.设三阶方阵 A，B 满足 A2B-A-B=E，其中 E为三阶单位矩阵，若 （分数：4.00）填空项 1:_7.若 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：4.00）填空项 1:_8.设 1， 2， 3均为三维列向量，记矩阵A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_9.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则(A) 当 mn 时，必有行列式|AB|0(B) 当 mn 时，必有行列式|AB|=0(C) 当 nm 时，必有行列式|AB|0(D) 当 n

3、m 时，必有行列式|AB|=0（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 A为 n阶非零矩阵，A *是 A的伴随矩阵，A T是 A的转置矩阵，当 A*=AT时，证明|A|0（分数：10.00）_11.设 A为 n阶矩阵，满足 AAT=E，|A|0，求|A+E|。（分数：10.00）_12.已知 =(1，2，3)， （分数：4.00）填空项 1:_13.设 为 3维列向量， T是 的转置，若 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_15.设 （分数：4.00）填空项 1:_16.设 （分数：4.00）填空项 1:_17.设矩阵 A满足 A2+A-4E=O，其中

4、E为单位矩阵，则(A-E) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_18.设 （分数：4.00）填空项 1:_19.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E是 n阶单位阵，则必有(A) ACB=E (B) CBA=E(C) BAC=E (D) BCA=E（分数：4.00）A.B.C.D.20.设 （分数：4.00）填空项 1:_21.设 A是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=_(A) kA* (B) k n-1A* (C) k nA* (D) k -1A*（分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A，B 为 n阶矩阵

5、，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*=（分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A是 n阶可逆方阵，将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 B(1)证明 B可逆； (2)求 AB-1（分数：10.00）_24.已知 A，B 为 3阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E是 3阶单位矩阵(1)证明：矩阵 A-2E可逆；(2)若 （分数：10.00）_25.设 A=E- T，其中 E为 n阶单位矩阵， 是 n维非零列向量， T是 的转置。证明：(1)A 2=A的充要条件是 T=1；(2)当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：10.00

6、）_26.设 A为 n阶非奇异矩阵， 为 n维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：10.00）_27.设 A是 43矩阵，且 r(A) =2，而 （分数：4.00）填空项 1:_28.设 n(n3)阶矩阵若矩阵 A的秩为 n-1，则 a必为(A) 1 (B) (C) -1 (D) （分数：4.00）A.B.C.D.29.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.30.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.31.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.32.设 3阶矩阵 A的特征值互不相同，若行列式|A|=0，则 A的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_33.设 A为 mn矩阵，B

7、为 nm矩阵，E 为 m阶单位矩阵若 AB=E，则(A) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A.B.C.D.34.设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E是 4阶单位矩阵，A T是 4阶矩阵 A的转置矩阵，且 （分数：10.00）_35.已知矩阵（分数：10.00）_36.设 A，B，C 均为 n阶矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A.B.

8、C.D.37.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：10.00）_考研数学三线性代数-1 答案解析(总分：202.00，做题时间：90 分钟)1.四阶行列式 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 这是一个数字型行列式的计算，由于本题有较多的零，可以直接展开计算若按第一行展开，有所以应选(D)若熟悉拉普拉斯展开，可通过两行互换，两列互换，把零元素调至行列式的一角例如2.记行列式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 问方程 f(x)=0有几个根，也就是问 f(x)是 x的几次多项式将第 1列的-1 倍依次加至其余各列，有可见由拉普拉斯展开式知 f(x)是 x的 2次多项式，故应选(B

9、)3.设 =(1，0，-1) T，矩阵 A= T，n 为正整数，则|aE-A n|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2(a-2n)）解析：解析 因为，则 A2=( T)( T)=( T) T=2 T=2A于是 An=2n-1A那么4.设 n阶矩阵（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1) n-1(n-1)）解析：解析 把第 2，3，n 各行均加至第 1行，则第 1行为 n-1，提取公因数 n-1后，再把第 1行的-1 倍加至第 2，3，n 各行，可化为上三角行列式即5.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4维列向量，且 4阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，

10、| 1， 2， 2， 3|=n，则 4阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=(A) m+n (B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用行列式的性质，有| 3， 2， 1， 1+ 2|=| 3， 2， 1， 1|+| 3， 2， 1， 2|=| 1， 2， 3， 1|-| 1， 2， 3， 2|=-m+| 1， 2， 2， 3|=n-m所以应选(C)6.设三阶方阵 A，B 满足 A2B-A-B=E，其中 E为三阶单位矩阵，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由已知条件有(A 2-E)B=A+E，即(A

11、+E)(A-E)B=A+E因为 ，知 A+E可逆故(A-E)B=E两边取行列式，并用行列式乘法公式，有|A-E|B|=1而7.若 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：24）解析：解析 本题已知条件是特征值和相似，而要求出行列式的值，由于 ，故应求出 B-1-E的特征值由 AB，知 B的特征值是8.设 1， 2， 3均为三维列向量，记矩阵A=( 1， 2， 3)，B=( 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3)如果|A|=1，那么|B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 方法一 用行列式的性质

12、，例如先 3列-2 列再 2列-1 列有|B|=| 1+ 2+ 3， 1+2 2+4 3， 1+3 2+9 3|=| 1+ 2+ 3， 2+3 3， 2+5 3|=| 1+ 2+ 3， 2+3 3，2 3|=2| 1+ 2+ 3， 2+3 3， 3|=2| 1+ 2+ 3， 2， 3|=2| 1， 2， 3|=2|A|方法二 用分块矩阵，由于两边取行列式，并用行列式乘法公式，所以9.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则(A) 当 mn 时，必有行列式|AB|0(B) 当 mn 时，必有行列式|AB|=0(C) 当 nm 时，必有行列式|AB|0(D) 当 nm 时，必有行列式|AB|=0（

13、分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 AB是 m阶矩阵，|AB|=0 的充分必要条件是秩 r(AB)m由于r(AB)r(B)min(m，n)，可见当 mn 时，必有 r(AB)nm因此选(B)分析二 由于方程组 Bx=0的解必是方程组 ABx=0的解，而 Bx=0是 n个方程 m个未知数的齐次线性方程组，因此当 mn 时，Bx=0 必有非零解，从而 ABx=0有非零解，故|AB|=0所以选(B)10.设 A为 n阶非零矩阵，A *是 A的伴随矩阵，A T是 A的转置矩阵，当 A*=AT时，证明|A|0（分数：10.00）_正确答案：(证法一 由于 A*=AT，即有 Aij=aij

14、( i，j=1，2，n)，其中 Aij是行列式|A|中 aij的代数余子式因为 A0，不妨设 aij0，那么故|A|0证法二 (反证法)若|A|=0，则 AAT=AA*=|A|E=0设 A的行向量为 i(i=1，2，n)，则 )解析：11.设 A为 n阶矩阵，满足 AAT=E，|A|0，求|A+E|。（分数：10.00）_正确答案：(解 因|A+E|=|A+AA T|=|A(E+AT)|=|A|(E+A)T|=|A|E+A|又因 AAT=E有|A|A T|=1即|A| 2=1因|A|0，故|A|=-1。那么|A+E|=-|A+E|，所以|A+E|=0。)解析：12.已知 =(1，2，3)， （

15、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 矩阵乘法有结合律，注意而于是13.设 为 3维列向量， T是 的转置，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 设 ，则而所以 T=1+1+1=314.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于 An-2An-1=(A-2E)An-1，而易见(A-2E)A=0，从而 An-2An-1=015.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题考查 n阶方阵方幂的运算由于又易见从而 A2004=(A2)1002=E那么16.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正

16、确答案：-3）解析：解析 由 AB=O，对 B按列分块有AB=A( 1， 2， 3)=(A 1，A 2，A 3)=(0，0，0)，即 1， 2， 3是齐次方程组 Ax=0的解又因 B0，故 Ax=0有非零解，那么若熟悉公式：AB=O，则 r(A)+r(B)n可知 r(A)3亦可求出 t=-317.设矩阵 A满足 A2+A-4E=O，其中 E为单位矩阵，则(A-E) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 矩阵 A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞应当考虑用定义法因为(A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0，故按定义知18.设 （分

17、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2E）解析：解析 虽可以由 A先求出(E+A) -1，再作矩阵乘法求出 B，最后通过求逆得到(E+B) -1但这种方法计算量太大本题实际是考单位矩阵恒等变形的技巧，我们有B+E=(E+A)-1(E-A)+E=(E+A)-1(E-A)+(E+A)=2(E+A)-1所以或者，由 B=(E+A)-1(E-A)，左乘(E+A)得(E+A)B=E-A(E+A)B+(E+A)=E-A+E+A=2E即有(E+A)(E+B)=2E19.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E是 n阶单位阵，则必有(A) ACB=E (B) CBA=E(C) BAC=

18、E (D) BCA=E（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，只有一些特殊情况可交换由于 A、B、C 均为 n阶矩阵，且ABC=E，据行列式乘法公式|A|B|C|=1 知 A、B、C 均可逆那么对 ABC=E先左乘 A-1再右乘 A，有ABC=EBC=A -1BCA=E选(D)类似地，由 BCA=ECAB=E不难想出，若 n矩阵 ABCD=E，则有 ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E20.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由所以21.设 A是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k为常数，且 k0，1，则必有(kA

19、) *=_(A) kA* (B) k n-1A* (C) k nA* (D) k -1A*（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 对任何 n阶矩阵都要成立的关系式，对特殊的 n阶矩阵自然也要成立那么，当 A可逆时，由 A*=|A|A-1有故应选(B)一般地，若 A=(aij)，有 kA=(kaij)，那么矩阵 kA的 i行 j列元素的代数余子式为22.设 A，B 为 n阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*=（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 对任何 n阶矩阵 A、B 关系式要成立，那么 A、B 可逆时仍应成立，故可看 A、

20、B 可逆时 C*=?由于所以应选(D)作为选择题，根据这四个选项，也可如下判断：因为 AX1=|A|B|E23.设 A是 n阶可逆方阵，将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 B(1)证明 B可逆； (2)求 AB-1（分数：10.00）_正确答案：(解 由于 B=EijA，其中 Eij是初等矩阵)解析：24.已知 A，B 为 3阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E是 3阶单位矩阵(1)证明：矩阵 A-2E可逆；(2)若 （分数：10.00）_正确答案：(解 (1)由 2A-1B=B-4E左乘 A知 AB-2B-4A=0从而(A-2E)(B-4E)=8E，或故 A-2E可逆，

21、且(2)由(1)知 A=2E+8(B-4E)-1而故)解析：25.设 A=E- T，其中 E为 n阶单位矩阵， 是 n维非零列向量， T是 的转置。证明：(1)A 2=A的充要条件是 T=1；(2)当 T=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：10.00）_正确答案：(证明 (1)A 2=(E- T)(E- T)=E-2 T+ T T=E- T+( T) T- T=A+( T) T- T那么 A2=A ( T-1) T=0因为 是非零列向量， T0，故 A2=A T-1=0即 T=1(2)反证法当 T=1 时，由(1)知 A2=A，若 A可逆，则A=A-1A2=A-1A=E与已知 A=E- TE 矛

22、盾)解析：26.设 A为 n阶非奇异矩阵， 为 n维列向量，b 为常数，记分块矩阵（分数：10.00）_正确答案：(解 (1)由 AA*=A*A=|A|E及 A*=|A|A-1，有(2)用行列式拉普拉斯展开公式及行列式乘法公式，有又因 A可逆，|A|0，故|Q|=|A|(b- TA-1)由此可知 Q可逆的充分必要条件是 b- TA-10，即 TA-1b)解析：27.设 A是 43矩阵，且 r(A) =2，而 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 基础题，本题是考查矩阵乘积的秩的公式：如果 A可逆，则 r(AB)=r(B)；r(BA)=r(B)本题|B|=100，故 B为

23、可逆矩阵，因此 r(AB)=r(A)=228.设 n(n3)阶矩阵若矩阵 A的秩为 n-1，则 a必为(A) 1 (B) (C) -1 (D) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题可用秩的概念：|A|=0 但有 n-1阶子式不为 0来分析、推断由于由 r(A)=n-1知|A|=0，故 a取自于 或 1显然 a=1时，而 r(A)=1不合题意，故应选(B)29.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 已知矩阵 A而需求是 r(A*)，故应以 r(A*)公式为背景根据伴随矩阵 A*秩的关系式若 a=b，易见 r(A)1，故可排除(A)，(B)当 ab 时，A 中

24、有 2阶子式 ，若 r(A)=2，按定义只需|A|=0由于30.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 P0，所以秩 r(P)1，问题是 r(P)究竟为 1还是 2?若 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，AB=O，则 r(A)+r(B)n当 t=6时，r(Q)=1于是从 r(P)+r(Q)3 得 r(P)2因此(A)，(B)中对秩 r(P)的判定都有可能成立，但不是必成立所以(A)，(B)均不正确当 t6 时，r(Q)=2于是从 r(P)+r(Q)3 得 r(P)1故应选(C)31.设矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若 P-1AP=B，则 P-1(A+

25、kE)P=B+kE，即若 AB，则 A+kEB+kE又因相似矩阵有相同的秩，故r(A-2E)+r(A-E)=r(B-2E)+r(B-E)故应选(C)32.设 3阶矩阵 A的特征值互不相同，若行列式|A|=0，则 A的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 因为 A有 3个不同的特征值，A 必可相似对角化，相似矩阵有相同的秩设 A的三个特征值为 1， 2， 3，由|A|= 1 2 3=0。不妨设 1=0，则，从而 r(A)=r(33.设 A为 mn矩阵，B 为 nm矩阵，E 为 m阶单位矩阵若 AB=E，则(A) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B) 秩 r(A

26、)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考的是矩阵秩的概念和公式因为 AB=E是 m阶单位矩阵，知 r(AB)=m又因 r(AB)min(r(A)，r(B)，故mr(A)，mr(B) 另一方面，A 是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，又有r(A)m，r(B)m 比较、得 r(A)=m，r(B)=m所以选(A)本题难度系数 0.56434.设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E是 4阶单位矩阵，A T是 4阶矩阵 A的转置矩阵，且 （分数：10.00）_正确答案：(解 用矩

27、阵 C左乘已知矩阵方程的两端，有(2C-B)A T=E对上式两端取转置，有 A(2CT-BT)=E因为 A是 4阶方阵，故)解析：35.已知矩阵（分数：10.00）_正确答案：(解 化简矩阵方程，有AX(A-B)+BX(B-A)=E，即(A-B)X(A-B)=E由于 ，所以矩阵 A-B可逆，且于是 )解析：36.设 A，B，C 均为 n阶矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=(A) E (B) -E (C) A (D) -A（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由由37.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(解 由|A *|=|A|n-1，有|A| 3=8，得|A|=2A 是可逆矩阵用 A右乘矩阵方程的两端，有(A-E)B=3A 因为 A*A=AA*=|A|E，用 A*左乘上式的两端，并把|A|=2 代入，有(2E-A*)B=6E 于是 B=6(2E-A*)-1因为因此 )解析：