【考研类试卷】考研数学三-121及答案解析.doc
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1、考研数学三-121 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设 下述命题不正确的是 A在(-,+)上 f(x)存在原函数 B在(-,+)上 g(x)存在原函数 C存在定积分 D存在定积分 (分数:2.00)A.B.C.D.2.考虑一元函数 f(x)的下列 4条性质: f(x)在a,b上连续 f(x)在a,b上可积 f(x)在a,b上可导 f(x)在a,b上存在原函数 以 P Q表示由性质 P可推出 Q,则有 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 f(x)在(-
2、,+)上连续,F(x)是 f(x)的一个原函数,则下述论断正确的是 A.若 f(x)为偶函数,则 F(x)必是奇函数 B.若 f(x)为奇函数,则 F(x)必是偶函数 C.若 f(x)为 T周期函数,则 F(x)必是 T周期函数 D.若 f(x)是 T周期函数,则 F(x)必不是 T周期函数(分数:2.00)A.B.C.D.5.设 f(x)是非零奇函数,且满足题中所需要的连续、可导条件,则 (x)为奇函数的是 A BC D (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 f(u)为连续的偶函数,a 是常数,则 A 必是奇函数 B 必是奇函数 C 必是奇函数 D (分数:2.00)A.B.C.D.7.
3、设 (分数:2.00)A.B.C.D.8.设 f(x)为(-,+)上的连续函数,a 为常数,则下述积分为 x的偶函数的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.9.设 f(x)为连续函数, (分数:2.00)A.B.C.D.10.设 f(x)为以 T为周期的非零连续函数, (分数:2.00)A.B.C.D.11.设 f(x)与 g(x)在(-,+)上连续,g(x)0,f(x)0,a 为常数,则 A.在(-,a)与(a,+)内分别为严格单调增 B.在(-,a)与(a,+)内分别为严格单调减 C.在(-,a)内为严格单调增,在(a,+)内为严格单调减 D.在(-,a)内为严格单调减,在
4、(a,+)内为严格单调增(分数:2.00)A.B.C.D.12.设 f(x)与 g(x)连续,且 f(x0)g(x0)0,并设 f(x)与 g(x)在 x=x0处均可导, (分数:2.00)A.B.C.D.13.设 f(x)在a,b上可导, ,且 则 (分数:2.00)A.B.C.D.14.设 (分数:2.00)A.B.C.D.15.设 f(x)在0,1上连续,f(1)0, 则函数 (x)=xf(x)+ (分数:2.00)A.B.C.D.16.设 (分数:2.00)A.B.C.D.17.设 a与 b是两个常数,且 ,则 Aa 为任意常数,b=0 B ,b=0 Ca=0,b=1 D(分数:2.0
5、0)A.B.C.D.18.下列积分中不等于 0的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.19.下述结论不正确的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.20.设 f(x)与 g(x)在(-,+)上连续,且 f(x)g(x),则当 x0 时必有 A B CD (分数:2.00)A.B.C.D.21.为计算积分 ,作变换命 x=sint,从而 上述推理 A正确不过写成 更好 B不正确应写成 C不正确因原积分下限小于上限,所以变换后仍应下限小于上限 D不正确所作变换在区间 (分数:2.00)A.B.C.D.22.下列积分因为 是奇函数,所以 因为 是奇函数,所以 因为 是偶
6、函数,所以 因为 是奇函数,所以 (分数:2.00)A.B.C.D.23.由相交于三点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)(其中 x1x 2x 3)的两曲线 y=f(x)0,y=g(x)0 所围成的图形绕 x轴旋转一周所得旋转体体积为A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.24.设函数 f(x)连续,f(x 0)0, (分数:2.00)A.B.C.D.25.设 f(x)与 g(x)在区间a,b上可积, ,则A B C (分数:2.00)A.B.C.D.26.设常数 0, (分数:2.00)A.B.C.D.27.下列反常积分发散的是 A B C D (分数:2.0
7、0)A.B.C.D.28.下列反常积分收敛的是 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.29.设 f(x)在1,+)上连续, 收敛,又 (分数:2.00)A.B.C.D.30.设 b为常数,积分 收敛,则 b及该积分的值分别为 A2,ln3 B2, ln3 C1,(分数:2.00)A.B.C.D.31.函数 f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续是函数 f(x,y)在该点处存在偏导数的 A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(分数:2.00)A.B.C.D.32.设函数 f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数 fx(x0,y
8、 0)和 fy(x0,y 0)都存在,则A 存在 B 及 (分数:2.00)A.B.C.D.33.设二元函数 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D.34.设二元函数的四条性质分别是:f(x,y)在点(x 0,y 0)处连续;f(x,y)的两个偏导数在点(x 0,y 0)处连续;f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微;f(x,y)在点(x 0,y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P推出性质 Q,则有A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.35.二元函数 (分数:2.00)A.B.C.D.36.设 则函数 z(x,y)在点(0,0)处A不连续B连续,但偏导数 zx(
9、0,0)和 zy(0,0)不存在C连续且偏导数 zx(0,0)和 zy(0,0)都存在,但不可微D可微但偏导数 和 (分数:2.00)A.B.C.D.37.zx(x0,y 0)=0和 zy(x0,y 0)=0是函数 z=z(x,y)在点(x 0,y 0)处取得极值的 A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件 C.充要条件 D.既非必要也非充分条件(分数:2.00)A.B.C.D.38.对复合函数 f (x,y), (x,y)求偏导数的链式法则成立的一个充分条件是 Az=f(u,v)且 u= (x,y),v= (x,y)都可偏导 Bz=f(u,v)可偏导,u= (x,y),v= (x,
10、y)都可微 Cz=f(u,v)有连续偏导数,u= (x,y),v= (x,y)都可偏导 Dz=f(u,v)可偏导,u= (x,y),v= (分数:2.00)A.B.C.D.39.设函数 f(r)具有二阶连续导数,则 当 时满足 = A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.40.已知函数 f(x+y,x-y)=x 2-y2对任何 x与 y成立,则 (分数:2.00)A.B.C.D.41.设二元函数 U(x,y)具有二阶连续偏导数,且 dU=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则 (分数:2.00)A.B.C.D.42.已知函数 z=f(x,y)在点(1,2)处可微,且 f(1,2)=1
11、,f x(1,2)=2,f y(1,2)=3设函数 (x)=f(x,2f(x,2x),则 (1)等于 A.25 B.50 C.75 D.100(分数:2.00)A.B.C.D.43.设函数 f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足 f“uu=f“vv,f(x,3x)=x 以及 fu(x,3x)=4x 2,则f“uv(x,3x)等于A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.44.设方程组 在点(x,y,z)=(2,1,1)的某一个邻域内确定隐函数 u(x,y,z)与 v(x,y,z),且u(2,1,1)0,则 = A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.45.设 z=z(x,y)
12、是由方程 z-y+2xez-x-y=0所确定的隐函数,则函数 z(x,y)在点(0,1)处的全微分(分数:2.00)A.B.C.D.46.设 z=x2+2y2,其中 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1确定的隐函数,且 y(1)=1,则 z“(1)等于 A.6 B.18 C.-6 D.-18(分数:2.00)A.B.C.D.47.设函数 F(u,v)可微,且方程 F(3x-z,3y-2z)=0 确定隐函数 z=z(x,y),则 (分数:2.00)A.B.C.D.48.设 ,且函数 f与 具有二阶连续导数,则 = Af“(xy)+ (z+y)+y “(x+y) Byf“(xy)+ (x+y
13、)+y “(x+y) Cyf“(xy)+ (x+y)+ “(x+y) Dyf“(xy)+(x+y)+ (分数:2.00)A.B.C.D.49.设函数 F(u,v)具有一阶连续偏导数,且 确定隐函数 z=z(x,y),则 = A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.50.设 z=xf(x-y)+yg(x+y),其中函数 f(u)与 g(v)具有二阶连续导数,则 (分数:2.00)A.B.C.D.考研数学三-121 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设 下述命题不正确的是 A在(-,+)上 f(x)存在原函数
14、B在(-,+)上 g(x)存在原函数 C存在定积分 D存在定积分 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 由设 f(x)在 x=x0处有跳跃间断点,则在任意一个包含 x=x0在其内部的区间(a,b)上,f(x)必定不存在原函数知 g(x)不存在原函数所以(B)不正确,选(B)评注 对于(A),容易看出,若命*则有 F(x)=f(x)所以 F(x)是 f(x)在(-,+)上的一个原函数注意,此时 x=0虽然也是 f(x)的间断点,但不是跳跃间断点,而是第二类间断点,不属于上题评注中所说的情形由于 f(x)与 g(x)在-1,1上有界且只有有限个间断点,所以(C)与(D)均正确2.考虑一元
15、函数 f(x)的下列 4条性质: f(x)在a,b上连续 f(x)在a,b上可积 f(x)在a,b上可导 f(x)在a,b上存在原函数 以 P Q表示由性质 P可推出 Q,则有 A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 4 个条件中,可导最强,由它可推出连续,由连续可推出存在原函数,也可推出可积但与各不相干由以上分析可见应选(B)3.设 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 方法一 具体做出 F(x)然后讨论之设 x0,则*设 x0,则*,即*可见 F(x)在 x=0处连续,不选(A)再看奇、偶性设 x0,则-x0,F(-x)=-(-x)-1=x-1=F(x),
16、所以F(x)为偶函数,选(C)以下再说一下为什么(D)不正确由*所以 F(x)在 x=0处不可导,不选(D)方法二 *记 *,于是有*为连续的偶函数,加上 C0之后仍为连续的偶函数,选(C)不选(D)的理由见方法一也可利用现成定理知道不选(D)4.设 f(x)在(-,+)上连续,F(x)是 f(x)的一个原函数,则下述论断正确的是 A.若 f(x)为偶函数,则 F(x)必是奇函数 B.若 f(x)为奇函数,则 F(x)必是偶函数 C.若 f(x)为 T周期函数,则 F(x)必是 T周期函数 D.若 f(x)是 T周期函数,则 F(x)必不是 T周期函数(分数:2.00)A.B. C.D.解析:
17、解析 由 f(x)讨论其原函数,应该用变限积分的办法处理命*,由于 f(x)连续,故 F(x)是f(x)的一个原函数以(B)而论,由条件 f(x)为奇函数,故*,所以 F(x)为偶函数,f(x)的任一原函数可表示为 F(x)+C,不论 C是什么常数,F(x)+C 总是偶函数,所以(B)正确注意,*,故也是偶函数评注 下面说明(A)、(C)、(D)不正确对于(A),设 f(x)为偶函数,*故*为奇函数,f(x)的任一原函数可表示为 F(x)+C,当且仅当 C=0时该原函数才是奇函数,所以偶函数f(x)的原函数中有且仅有一个,即*才是奇函数,其它的原函数都不是奇函数,所以(A)不正确对于(C),设
18、 f(x)为 T周期函数,*( 1)对于右边第二个积分,作积分变量变换 t=u+T,当 t=T时,u=0;当 t=x+T时,u=x于是*( 2)代入( 1)中得*( 3)此说明,当且仅当*时,*出才是 T周期函数所以(C)不正确由(C)的论证可知,(D)也不正确本评注的结论很有用,请读者记住并会用。5.设 f(x)是非零奇函数,且满足题中所需要的连续、可导条件,则 (x)为奇函数的是 A BC D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 无论 f(x)是什么样的连续函数,f(t 2)总是偶连续函数,由上题的评注知,(C)的*(x)是奇函数选(C)评注 对于(A),f(x 3)为 x的奇
19、函数 x2f(x3)也是 x的奇函数,*(x)=*为 x的偶函数(A)不正确对于(B),可类似讨论知,*(x)为 x的偶函数对于(D),由于 f(x)为 x的奇函数,所以 f(t3)为的奇函数,故*(x)为 x的偶函数6.设 f(u)为连续的偶函数,a 是常数,则 A 必是奇函数 B 必是奇函数 C 必是奇函数 D (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 证明(C)正确f(t)为偶函数,故 tf(t)为奇函数,*为“的偶函数,所以*是 x的奇函数,(C)正确 评注 易知(D)是偶函数,(A)未必是奇函数,(B)未必是偶函数,也未必是奇函数7.设 (分数:2.00)A.B.C. D.解析
20、:解析 本题的 f(x)在 x=0处为无穷间断点,有关结论如何呢?对于具体的 f(x),可具体计算出F(x)即讨论之 当-1x8.设 f(x)为(-,+)上的连续函数,a 为常数,则下述积分为 x的偶函数的是 A B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 f(u 2)为 u的偶函数,*为“的奇函数,再积分,不论 a是否为 0,*一定是 x的偶函数其它(A)、(C)、(D),因为不知道 f(u3)、(f(u) 3、(f(u) 2关于 u的奇、偶性,所以(A)、(C)、(D)均无法作答9.设 f(x)为连续函数, (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 *,其中 t既含于
21、最外层的积分上限之中,又含于内层积分的上限,而此内层积分实际上是外层积分的被积函数按变限积分求导定理,只能对外层的积分限求导,而被积函数中的 t应设法先提到积分号外边去才行今命 (x)为 f(x)的一个原函数,于是 *,选(B) 在后面的二重积分中,还有其它办法10.设 f(x)为以 T为周期的非零连续函数, (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 f(t)-f(-t)是以 T为周期的连续的奇函数,所以*为偶函数又*其中 C0为某常数,它可以认为是以随便什么正数为周期的周期函数,而f(t)-f(-t)是以 T为周期的周期函数,*f(t)-f(-t)dt 有周期 T*又由f(T)-f(-
22、T)的周期性,取其中的*,并注意到F(t)-f(-t)为 t的奇函数,有*()所以*为 T周期的偶函数,选(A)评注 注意到f(t)-f(-t为 t的奇函数是十分关键的一步11.设 f(x)与 g(x)在(-,+)上连续,g(x)0,f(x)0,a 为常数,则 A.在(-,a)与(a,+)内分别为严格单调增 B.在(-,a)与(a,+)内分别为严格单调减 C.在(-,a)内为严格单调增,在(a,+)内为严格单调减 D.在(-,a)内为严格单调减,在(a,+)内为严格单调增(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 考察单调性,在可导函数情形,用求导的办法处理 * 设 xa,则积分变量 ta
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