1、考研数学三-121 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 下述命题不正确的是 A在(-，+)上 f(x)存在原函数 B在(-，+)上 g(x)存在原函数 C存在定积分 D存在定积分 （分数：2.00）A.B.C.D.2.考虑一元函数 f(x)的下列 4条性质： f(x)在a，b上连续 f(x)在a，b上可积 f(x)在a，b上可导 f(x)在a，b上存在原函数 以 P Q表示由性质 P可推出 Q，则有 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在(-
2、，+)上连续，F(x)是 f(x)的一个原函数，则下述论断正确的是 A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)必是奇函数 B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)必是偶函数 C.若 f(x)为 T周期函数，则 F(x)必是 T周期函数 D.若 f(x)是 T周期函数，则 F(x)必不是 T周期函数（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 f(x)是非零奇函数，且满足题中所需要的连续、可导条件，则 (x)为奇函数的是 A BC D （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(u)为连续的偶函数，a 是常数，则 A 必是奇函数 B 必是奇函数 C 必是奇函数 D （分数：2.00）A.B.C.D.7.
3、设 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f(x)为(-，+)上的连续函数，a 为常数，则下述积分为 x的偶函数的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)为以 T为周期的非零连续函数， （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上连续，g(x)0，f(x)0，a 为常数，则 A.在(-，a)与(a，+)内分别为严格单调增 B.在(-，a)与(a，+)内分别为严格单调减 C.在(-，a)内为严格单调增，在(a，+)内为严格单调减 D.在(-，a)内为严格单调减，在
4、(a，+)内为严格单调增（分数：2.00）A.B.C.D.12.设 f(x)与 g(x)连续，且 f(x0)g(x0)0，并设 f(x)与 g(x)在 x=x0处均可导， （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f(x)在a，b上可导， ，且 则 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 f(x)在0，1上连续，f(1)0， 则函数 (x)=xf(x)+ （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 a与 b是两个常数，且 ，则 Aa 为任意常数，b=0 B ，b=0 Ca=0，b=1 D（分数：2.0
5、0）A.B.C.D.18.下列积分中不等于 0的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.下述结论不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上连续，且 f(x)g(x)，则当 x0 时必有 A B CD （分数：2.00）A.B.C.D.21.为计算积分 ，作变换命 x=sint，从而 上述推理 A正确不过写成 更好 B不正确应写成 C不正确因原积分下限小于上限，所以变换后仍应下限小于上限 D不正确所作变换在区间 （分数：2.00）A.B.C.D.22.下列积分因为 是奇函数，所以 因为 是奇函数，所以 因为 是偶
6、函数，所以 因为 是奇函数，所以 （分数：2.00）A.B.C.D.23.由相交于三点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)(其中 x1x 2x 3)的两曲线 y=f(x)0，y=g(x)0 所围成的图形绕 x轴旋转一周所得旋转体体积为A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设函数 f(x)连续,f(x 0)0， （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 f(x)与 g(x)在区间a，b上可积， ，则A B C （分数：2.00）A.B.C.D.26.设常数 0， （分数：2.00）A.B.C.D.27.下列反常积分发散的是 A B C D （分数：2.0
7、0）A.B.C.D.28.下列反常积分收敛的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设 f(x)在1，+)上连续， 收敛，又 （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 b为常数，积分 收敛，则 b及该积分的值分别为 A2，ln3 B2， ln3 C1，（分数：2.00）A.B.C.D.31.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续是函数 f(x，y)在该点处存在偏导数的 A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.32.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y
8、 0)和 fy(x0，y 0)都存在，则A 存在 B 及 （分数：2.00）A.B.C.D.33.设二元函数 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.34.设二元函数的四条性质分别是：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)的两个偏导数在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P推出性质 Q，则有A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.35.二元函数 （分数：2.00）A.B.C.D.36.设 则函数 z(x，y)在点(0，0)处A不连续B连续，但偏导数 zx(
9、0，0)和 zy(0，0)不存在C连续且偏导数 zx(0，0)和 zy(0，0)都存在，但不可微D可微但偏导数 和 （分数：2.00）A.B.C.D.37.zx(x0，y 0)=0和 zy(x0，y 0)=0是函数 z=z(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的 A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件 C.充要条件 D.既非必要也非充分条件（分数：2.00）A.B.C.D.38.对复合函数 f (x，y)， (x，y)求偏导数的链式法则成立的一个充分条件是 Az=f(u，v)且 u= (x，y)，v= (x，y)都可偏导 Bz=f(u，v)可偏导，u= (x，y)，v= (x，
10、y)都可微 Cz=f(u，v)有连续偏导数，u= (x，y)，v= (x，y)都可偏导 Dz=f(u，v)可偏导，u= (x，y)，v= （分数：2.00）A.B.C.D.39.设函数 f(r)具有二阶连续导数，则 当 时满足 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.40.已知函数 f(x+y，x-y)=x 2-y2对任何 x与 y成立，则 （分数：2.00）A.B.C.D.41.设二元函数 U(x，y)具有二阶连续偏导数，且 dU=P(x，y)dx+Q(x，y)dy，则 （分数：2.00）A.B.C.D.42.已知函数 z=f(x，y)在点(1，2)处可微，且 f(1，2)=1
11、，f x(1，2)=2，f y(1，2)=3设函数 (x)=f(x，2f(x，2x)，则 (1)等于 A.25 B.50 C.75 D.100（分数：2.00）A.B.C.D.43.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f“uu=f“vv，f(x，3x)=x 以及 fu(x，3x)=4x 2，则f“uv(x，3x)等于A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.44.设方程组 在点(x，y，z)=(2，1，1)的某一个邻域内确定隐函数 u(x，y，z)与 v(x，y，z)，且u(2，1，1)0，则 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.45.设 z=z(x，y)
12、是由方程 z-y+2xez-x-y=0所确定的隐函数，则函数 z(x，y)在点(0，1)处的全微分（分数：2.00）A.B.C.D.46.设 z=x2+2y2，其中 y=y(x)是由方程 x2-xy+y2=1确定的隐函数，且 y(1)=1，则 z“(1)等于 A.6 B.18 C.-6 D.-18（分数：2.00）A.B.C.D.47.设函数 F(u，v)可微，且方程 F(3x-z，3y-2z)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）A.B.C.D.48.设 ，且函数 f与 具有二阶连续导数，则 = Af“(xy)+ (z+y)+y “(x+y) Byf“(xy)+ (x+y
13、)+y “(x+y) Cyf“(xy)+ (x+y)+ “(x+y) Dyf“(xy)+(x+y)+ （分数：2.00）A.B.C.D.49.设函数 F(u，v)具有一阶连续偏导数，且 确定隐函数 z=z(x，y)，则 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.50.设 z=xf(x-y)+yg(x+y)，其中函数 f(u)与 g(v)具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-121 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 下述命题不正确的是 A在(-，+)上 f(x)存在原函数
14、B在(-，+)上 g(x)存在原函数 C存在定积分 D存在定积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由设 f(x)在 x=x0处有跳跃间断点，则在任意一个包含 x=x0在其内部的区间(a，b)上，f(x)必定不存在原函数知 g(x)不存在原函数所以(B)不正确，选(B)评注 对于(A)，容易看出，若命*则有 F(x)=f(x)所以 F(x)是 f(x)在(-，+)上的一个原函数注意，此时 x=0虽然也是 f(x)的间断点，但不是跳跃间断点，而是第二类间断点，不属于上题评注中所说的情形由于 f(x)与 g(x)在-1，1上有界且只有有限个间断点，所以(C)与(D)均正确2.考虑一元
15、函数 f(x)的下列 4条性质： f(x)在a，b上连续 f(x)在a，b上可积 f(x)在a，b上可导 f(x)在a，b上存在原函数 以 P Q表示由性质 P可推出 Q，则有 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 4 个条件中，可导最强，由它可推出连续，由连续可推出存在原函数，也可推出可积但与各不相干由以上分析可见应选(B)3.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 方法一 具体做出 F(x)然后讨论之设 x0，则*设 x0，则*，即*可见 F(x)在 x=0处连续，不选(A)再看奇、偶性设 x0，则-x0，F(-x)=-(-x)-1=x-1=F(x)，
16、所以F(x)为偶函数，选(C)以下再说一下为什么(D)不正确由*所以 F(x)在 x=0处不可导，不选(D)方法二 *记 *，于是有*为连续的偶函数，加上 C0之后仍为连续的偶函数，选(C)不选(D)的理由见方法一也可利用现成定理知道不选(D)4.设 f(x)在(-，+)上连续，F(x)是 f(x)的一个原函数，则下述论断正确的是 A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)必是奇函数 B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)必是偶函数 C.若 f(x)为 T周期函数，则 F(x)必是 T周期函数 D.若 f(x)是 T周期函数，则 F(x)必不是 T周期函数（分数：2.00）A.B. C.D.解析：
17、解析 由 f(x)讨论其原函数，应该用变限积分的办法处理命*，由于 f(x)连续，故 F(x)是f(x)的一个原函数以(B)而论，由条件 f(x)为奇函数，故*，所以 F(x)为偶函数，f(x)的任一原函数可表示为 F(x)+C，不论 C是什么常数，F(x)+C 总是偶函数，所以(B)正确注意，*，故也是偶函数评注 下面说明(A)、(C)、(D)不正确对于(A)，设 f(x)为偶函数，*故*为奇函数，f(x)的任一原函数可表示为 F(x)+C，当且仅当 C=0时该原函数才是奇函数，所以偶函数f(x)的原函数中有且仅有一个，即*才是奇函数，其它的原函数都不是奇函数，所以(A)不正确对于(C)，设
18、 f(x)为 T周期函数，*( 1)对于右边第二个积分，作积分变量变换 t=u+T，当 t=T时，u=0；当 t=x+T时，u=x于是*( 2)代入( 1)中得*( 3)此说明，当且仅当*时，*出才是 T周期函数所以(C)不正确由(C)的论证可知，(D)也不正确本评注的结论很有用，请读者记住并会用。5.设 f(x)是非零奇函数，且满足题中所需要的连续、可导条件，则 (x)为奇函数的是 A BC D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 无论 f(x)是什么样的连续函数，f(t 2)总是偶连续函数，由上题的评注知，(C)的*(x)是奇函数选(C)评注 对于(A)，f(x 3)为 x的奇
19、函数 x2f(x3)也是 x的奇函数，*(x)=*为 x的偶函数(A)不正确对于(B)，可类似讨论知，*(x)为 x的偶函数对于(D)，由于 f(x)为 x的奇函数，所以 f(t3)为的奇函数，故*(x)为 x的偶函数6.设 f(u)为连续的偶函数，a 是常数，则 A 必是奇函数 B 必是奇函数 C 必是奇函数 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 证明(C)正确f(t)为偶函数，故 tf(t)为奇函数，*为“的偶函数，所以*是 x的奇函数，(C)正确 评注 易知(D)是偶函数，(A)未必是奇函数，(B)未必是偶函数，也未必是奇函数7.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析
20、：解析 本题的 f(x)在 x=0处为无穷间断点，有关结论如何呢?对于具体的 f(x)，可具体计算出F(x)即讨论之 当-1x8.设 f(x)为(-，+)上的连续函数，a 为常数，则下述积分为 x的偶函数的是 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 f(u 2)为 u的偶函数，*为“的奇函数，再积分，不论 a是否为 0，*一定是 x的偶函数其它(A)、(C)、(D)，因为不知道 f(u3)、(f(u) 3、(f(u) 2关于 u的奇、偶性，所以(A)、(C)、(D)均无法作答9.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *，其中 t既含于
21、最外层的积分上限之中，又含于内层积分的上限，而此内层积分实际上是外层积分的被积函数按变限积分求导定理，只能对外层的积分限求导，而被积函数中的 t应设法先提到积分号外边去才行今命 (x)为 f(x)的一个原函数，于是 *，选(B) 在后面的二重积分中，还有其它办法10.设 f(x)为以 T为周期的非零连续函数， （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 f(t)-f(-t)是以 T为周期的连续的奇函数，所以*为偶函数又*其中 C0为某常数，它可以认为是以随便什么正数为周期的周期函数，而f(t)-f(-t)是以 T为周期的周期函数，*f(t)-f(-t)dt 有周期 T*又由f(T)-f(-
22、T)的周期性，取其中的*，并注意到F(t)-f(-t)为 t的奇函数，有*()所以*为 T周期的偶函数，选(A)评注 注意到f(t)-f(-t为 t的奇函数是十分关键的一步11.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上连续，g(x)0，f(x)0，a 为常数，则 A.在(-，a)与(a，+)内分别为严格单调增 B.在(-，a)与(a，+)内分别为严格单调减 C.在(-，a)内为严格单调增，在(a，+)内为严格单调减 D.在(-，a)内为严格单调减，在(a，+)内为严格单调增（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 考察单调性，在可导函数情形，用求导的办法处理 * 设 xa，则积分变量 ta
23、，x，由 f(x)0，有 f(t)f(x)，又由 g(x)0，有 g(x)0，g(t)0，故 F(x)0，所以 F(x)严格单调增；设 x(x 0)=G(x0)f(x0)+F(x0)g(x0)=0，不选(A)“(x)=F“(x)G(x)+2F(x)G(x)+F(x)G“(x)=f(x)G(x)+2f(x)g(x)+F(x)g(x)“(x 0)=f(x0)G(x0)+2f(x0)g(x0)+F(x0)g(x0)=0+2f(x0)g(x0)+00，选(D)13.设 f(x)在a，b上可导， ，且 则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 记*，于是题给条件成为F“(x)+(F(x)2-F
24、(x)=0， ()且 F(a)=0，F(b)=0设 x(a，b)时 F(x)0，则在(a，b)内 F(x)存在极大值 F(x0)0 且 F(x0)=0以x=x0代入()得F“(x0)+(F(x0)2-F(x0)=0，推知 F“(x0)=F(x0)0，此时 F(x0)为极小值，这与 F(x0)为极大值矛盾类似地可证 x(a，b)时 F(x)0 亦矛盾于是选(C)14.设 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 方程 F(x)=0的根，也称为函数 F(x)的零点如果 F(x)中不含导数，一般(这里讲的是一般，而不是一定)用连续函数零点定理如果含有某函数的导数，则要用到罗尔定理今 F(x)为
25、两个变限函数的和： * 以连续函数零点定理试之： * 由连续函数零点定理知，至少存在一点 (0，1)使 F()=0又 * 所以 F(x)在(-，+)上严格单调增加，于是推知 F(x)在(-，+)上有且仅有一个零点选(B)15.设 f(x)在0，1上连续，f(1)0， 则函数 (x)=xf(x)+ （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 易见 (0)=0，不选(A)(1)=f(1)0，不知道正负，无法用连续函数介值定理引入变限函数*，于是(x)=xF(x)+F(x)易见 (x)=(xF(x)出现了导数，以罗尔定理试之：xF(x)| x=0=0，xF(x)| x=1=F(1)=*，对函数
26、xF(x)在区间0，1上用罗尔定理知，至少存在一点 (0，1)，使(xF(x)| x= =0，即xF(x)+F(x)x= =0所以函数 xF(x)+F(x)即 xf(x)+*在闭区间0，1至少存在二个零点选(C)16.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 讨论 F(x)的极值与曲线 y=F(x)的凹向，要求 F(x)与 F“(x)变限求导应先将 f(x-t)中的x变换到 f的外边然后再到积分号外边为此，对于积分，令 x-t=u，t=0 时 u=x；t=x 时 u=0，于是 * F“(x)=xf(x) F(0)=0，F“(0)=0，当 x0 时 F“(x)0；当 x0 时 F“(x
27、)0故曲线 y=F(x)在点(0，0)的左侧是凹的，右侧是凸的，选(D) 评注 (1)为什么不选(A)或(B)?按照单选题的规则，选了(D)，就不必再考虑其它但为了说明问题，下面再来证明(A)与(B)都不对事实上，由已证 x0 时F“(x)0，且 F(0)=0，故知当 x0 时 F(x)-F(0)=F“()(x-0)0，即 F(x)0，F(x)严格单调减少；当 x0 时 F“(x)0，从而知当 x0 时 F(x)-F(0)=F“()(x-0)3，即 F(x)0，F(x)亦严格单调减少F(0)不是极值 (2)以上都是将变限积分看成一个新的函数来讨论它的单调性，极值，零点个数以及相应的曲线的凹凸性
28、，有时此变限积分定义的函数是题中现成的，有时要自己命的引入了变限积分定义的函数之后，可以方便地将微分学中的办法搬过来，这种处理问题的方法，不妨称之为“变限法”，值得注意与重视17.设 a与 b是两个常数，且 ，则 Aa 为任意常数，b=0 B ，b=0 Ca=0，b=1 D（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为*，而题设*存在，故必有 * 所以 * (反常积分*在概率论里非常重要，要求读者记住这个结果)由洛必达法则， *18.下列积分中不等于 0的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 当-1x1 时，*，所以该积分为负，不等于零 评注 (A)、(B)
29、、(D)中的被积函数均是奇函数，在对称区间上积分，它们的结果均为零19.下述结论不正确的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 下面来证明(C)不正确 * 对于第 2个积分，作变量变换，命 x=+t，当 x= 时t=0；x=2 时 t=，于是 * 评注 (1)考察积分*时，在区间0，2上，被积函数*有正有负，应将0，2划分成两个区间，使*正、负分清，然后再用积分变量变换，将两个积分的上、下限化成为相同，然后合并考察被积函数的符号，一般就可断定该积分的值的符号了，这是处理积分不等式的一个常用办法，如本题(C) (2)下面证明(A)、(B)、(D)都正确 对于(A)，将
30、 1也写为 0到*的一个积分*，于是 * 记 * 所以当*时*(x)0，从而*，(A)正确 对于(B)，由于被积函数为以 2为周期的偶函数，所以 * 对后一积分作积分变量变换 x=-t，于是当*时*；x= 时 t=0 * 于是*，(B)正确 对于(D)，将在边 1也写成积分：*，为证*，只要证明在区间*上*命 *，有*，所以当*时*(x)0于是*证毕 以上证明中(A)与(D)用的是同一个方法，(B)与(C)是另一个方法，这些方法希望读者掌握20.设 f(x)与 g(x)在(-，+)上连续，且 f(x)g(x)，则当 x0 时必有 A B CD （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 定
31、积分有下述性质：设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，且 f(x)g(x)并设至少有一点x1a，b使 f(x1)g(x 1)，则*此定理中有 3点应注意：ab；f(x)与 g(x)均连续；f(x)g(x)且至少有一点 x1a，b使 f(x1)g(x 1)(即真正成为不等)如果 f(x)与 g(x)未设连续而只设*，是推不出*的由上述定理立即可知答案(B)评注 因不知道 x0 还是 x0，故不能选(A)因不知积分*与*收敛，所以不选(C)而(D)更成问题了，因为由 f(x)g(x)推不出|f(x)|g(x)|21.为计算积分 ，作变换命 x=sint，从而 上述推理 A正确不过写成 更好 B不
32、正确应写成 C不正确因原积分下限小于上限，所以变换后仍应下限小于上限 D不正确所作变换在区间 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 定积分的换元法则是，设(1)被积函数 f(x)在a，b上连续；(2)变量变换 x=*(t)满足关系；a=*()，b=*()，且当 t在以 ， 为端点的区间 I上变动时，a*(t)b，*(t)连续，则有换元公式： * 这里并不要求 ，也不要求*(t)0(不定积分换元中要求*(t)0)所以(A)正确，积分限写成*都可以，若写成前者，当*时，cost 可取到负值，所以*应写成|cost|，具体计算时略为麻烦一些，所以(A)的写法更好22.下列积分因为 是奇函数
33、，所以 因为 是奇函数，所以 因为 是偶函数，所以 因为 是奇函数，所以 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为积分*收敛，积分*也收敛(可以具体计算以验证之)，那么可以使用类似于定积分在对称区向上关于奇偶性的积分的定理，立即知与均正确，故选(B) 与这两个积分是发散的，不能使用上述定理，其结论是发散23.由相交于三点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)(其中 x1x 2x 3)的两曲线 y=f(x)0，y=g(x)0 所围成的图形绕 x轴旋转一周所得旋转体体积为A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设在区间x 1，x 2上 f(x
34、)g(x)，则在该区间上所对应的旋转体体积*若在x 1，x 2上 f(x)g(x)，则*于是不论是哪种情况，总有*同理，区间x 2，x 3上对应的旋转体体积*所以x 1，x 3上对应的旋转体体积*24.设函数 f(x)连续,f(x 0)0， （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题要求看，应讨论 F(x)与 F“(x)在 x=x0附近的符号*因 f(x0)0 且 f(x)连续，所以存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时 f(x)0，从而 F“(x)0，曲线y=F(x)凸，选(C)评注 不选(A)与(B)的理由由于已知存在 0，当 x(x 0-，x 0+)时 f(x)0故当 xx
35、0时*，曲线 y=F(x)严格单调上升；当 xx 0时，*，曲线严格单调下降，故不选(A)也不选(B)25.设 f(x)与 g(x)在区间a，b上可积， ，则A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 反证法，如果对一切 xa，b都有 f(x)g(x)，则由定积分的性质，有*与题设条件矛盾故选(D) 评注 因为题中未说 f(x)与 g(x)的符号，如果*，则*，不选(A)如果 f(x)g(x)0，有*，但却有*不选(B)同理也不选(C)。26.设常数 0， （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *对于后者作积分变量变换，命*当*时，*有*，又当*时 cosx-sinx
36、0(当*)所以I1-I20(选(A)评注 比较两个积分的大小，其中一个办法是，在同一区间比较而被积函数的大小若在该区间上，两被积函数有时大有时小，则划分区间使在小区间上能明确被积函数的大小27.下列反常积分发散的是 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 x=0 是(A)的瑕点 * 以*为例， * 而 * 所以*发散，从而知*发散选(A) 评注 通过具体积分可知(B)与(D)均收敛而*收敛28.下列反常积分收敛的是 A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 通过具体计算可知(C)收敛命 x=sect， * 评注 作为练习，建议读者具体计算并(A)、
37、(B)、(D)，可知它们都发散29.设 f(x)在1，+)上连续， 收敛，又 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由*，若 l0，则当 x充分大(例如 x某 X时)，*，即*，所以* 所以* 同理可证若 l0 亦发散，所以只能是 l=030.设 b为常数，积分 收敛，则 b及该积分的值分别为 A2，ln3 B2， ln3 C1，（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 * 由题设上述积分收敛，对照上题结论知，应有 * 取定 b=2， * 评注 直接计算积分： * 对于前一反常积分，若 b2， * 对于后一反常积分* 所以当 b2 时原反常积分发散当 b=2时，前一积分为零，后
38、一积分为*选(B)31.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续是函数 f(x，y)在该点处存在偏导数的 A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由二元函数 f(x，y)在某点(x 0，y 0)连续性和可偏导性的关系可知：函数 f(x，y)在点(x0，y 0)处连续是函数 f(x，y)在该点处存在偏导数的既不充分也不必要条件例如：函数 f(x，y)=|x|+|y|在点(0，0)处显然连续，但偏导数不存在，所以函数在一点连续不是函数在该点偏导数存在的充分条件函数*满足 f(x，0)0，f(0，y)
39、0，从而在点(0，0)处*，故 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数都存在，但当点(x，y)沿着直线 y=kx趋于点(0，0)时，有*显然它随着 k取值不同而不同，所以*不存在，自然 f(x，y)在点(0，0)处不连续所以函数在一点连续又不是函数在该点偏导数存在的必要条件故应选(D)评注 要注意多元函数在一点连续与偏导数存在和一元函数在一点连续与导数存在关系是不同的，一元函数在一点可导是该函数在这点连续的充分条件但不是必要的32.设函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)和 fy(x0，y 0)都存在，则A 存在 B 及 （分数：2.00）A.B. C.D
40、.解析：解析 因为偏导数 fx(x0，y 0)存在，所以 f(x，y 0)作为一元函数在 x=x0处必连续，从而*存在，同理*存在故应选(B)评注 要注意 f(x，y 0)及 f(x0，y)已成为一元函数，而二元函数 f(x，y)在点(x，y)=(x 0，y 0)处对 x的偏导数等于一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处的导数33.设二元函数 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 沿 x=y0 有*，从而当点(x，y)沿直线 x=y0 趋于点(0，0)时，有*而当点(x，y)沿直线 y=0当 x0 时有 f(x，0)=0，即有*这表明极限*不存在，即应选(D)评注 证明*不
41、存在的重要方法是证明点(x，y)沿两条不同曲线趋于点(x 0，y 0)时 f(x，y)的极限不相等或沿某条曲线趋于点(x 0，y 0)时 f(x，y)的极限不存在34.设二元函数的四条性质分别是：f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)的两个偏导数在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P推出性质 Q，则有A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 这是讨论函数 f(x，y)的连续性，偏导数存在性，可微性及偏导数的连续性之间的关系由于 f(x，y)的
42、两个偏导数都在点(x 0，y 0)处的连续是 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微的充分条件，f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微则必在该点处连续，因此(A)成立35.二元函数 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x，y)的定义可知 f(x，0)=0 与 f(0，y)=0 对任何(x，y)成立，从而 fx(x，0)=0，f y(0，y)=0 对任何 x，y 成立，特别有 fx(0，0)=f y(0，0)=0这表明函数 f(x，y)在点(0，0)处两个偏导数 fx(0，0)与 fy(0，0)都存在又因沿直线 y=2x有*由此可见 f(x，y)在点(0，0)处不连续，故
43、应选(C)评注 多元函数在一点处的连续性，偏导数的存在性，可微性三者的相互关系与一元函数相应的相互关系有巨大差异以二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处为例，这些性质的相互关系如下：*36.设 则函数 z(x，y)在点(0，0)处A不连续B连续，但偏导数 zx(0，0)和 zy(0，0)不存在C连续且偏导数 zx(0，0)和 zy(0，0)都存在，但不可微D可微但偏导数 和 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为*，所以 z(x，y)在(0，0)连续又因对*x 有 z(x，0)=0*z x(0，0)=0，对*y 有 z(0，y)=0*z y(0，0)=0，所以 z(x，y
44、)在点(0，0)处偏导数存在又因为 z=z(x，y)-z(0，0)=z(x，y)，且*所以 z(x，y)在(0，0)可微当 x2+y20 时，*当取路径 y=x时极限*不存在，所以*不存在，即 zx(x，y)在(0，0)点不连续同理 zy(x，y)在(0，0)点不连续故应选(D)37.zx(x0，y 0)=0和 zy(x0，y 0)=0是函数 z=z(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极值的 A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件 C.充要条件 D.既非必要也非充分条件（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 z=|x|+|y|在点(0，0)处取极小值，但函数 z=|x|+|y|在点(0，0)处两个偏导数均不存在，更谈不到点(0，0)是 z=|x|+|y|的驻点，所以 zx(x0，y 0)=zy(x0，y 0)=0不是函数 z=z(x，y)在(x 0，y 0)取极值的必要条件又例如 z=xy在点(0，0)处 zx(0，0)=z y(0，0)=0，但函数 z=xy显然在(0，0)点不取极值所以 zx(x0，y 0)=0和 zy(x0，y 0)=0也不是函数 z=z(x，y)在(x 0，y 0)点取极值的充分条件，应选(D)评注 若假设 z=z(x，y)存在一阶偏导数 zx及 zy
