【考研类试卷】考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷3及答案解析.doc

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1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 3及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知 a 1 =1，2，3，a 2 =2，3，x，a 3 =2，x，6 ()如 a 1 a 2 ，则 x= 1； ()如 a 1 a 3 ，则 x= 2； ()如 a 1 ，a 2 ，a 3 共面，则 x= 3（分数：2.00）填空项 1:_2.直线 L 1 ： 与直线 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_3.与 a 1 =1，2，3，a 2 =1，3，2都垂直的单位向量为 1（分数：2.00）填空项 1:_4.()经过点 P(1，2，1)并

2、且与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_5.()经过点 P(2，3，1)且与平面：3x+y+5z+6=0 垂直的直线 L 1 的方程是 1； ()经过点 P且与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_6.两个平行平面 1 ：2xy3z+2=0， 2 ：2xy3z5=0 之间的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设().=2，则(+)(+).(+)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.与直线 L 1 ： 及直线 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_9.经过两个平面 1 ：x+y+1=0， 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2xyz

3、=0 垂直的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.经过点 A(1，0，4)，与直线 L 1 ： 及 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_11.经过点 A(1，2，3)，垂直于直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.试举例说明()()（分数：2.00）_14.已知 =2，1，1，=1，3，1，试在 ， 所确定的平面内求与 垂直的单位向量（分数：2.00）_15.证明(，)2 2 2 2 并且等号成立的充要条件是 ， 两两垂直或者， 中有零向量（分数：

4、2.00）_16.用线性代数中的克拉默法则，对三元一次方程组求解 （分数：2.00）_17.已知向量 1 ， 2 ， 3 不共面，证明向量方程组(， 1 ， 2 )=a，(， 2 ， 3 )=b，(， 3 ， 1 )=c的解可以表示为 = （分数：2.00）_18.求经过直线 L： （分数：2.00）_19.证明 L 1 ： （分数：2.00）_20.求直线 L： （分数：2.00）_21.圆柱面的轴线是 L： （分数：2.00）_22.设 a，b，c 为非零常数，求以曲线 ： （分数：2.00）_23.已知 ， 都是单位向量，夹角是 （分数：2.00）_24.若 ，=6，3，2，而=14，求

5、 （分数：2.00）_25.若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）_26.已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是=（分数：2.00）_27.把直线 L的方程 （分数：2.00）_28.直线 L 1 ：x1= （分数：2.00）_29.设平面经过平面 1 ：3x4y+6=0 与 2 ：2y+z11=0 的交线，且和 1 垂直，求的方程（分数：2.00）_30.已知平面：x4y+2z+9=0，直线 L： （分数：2.00）_31.求点 M 1 (1，2，3)到直线 L： （分数：2.00）_32.求点 M 1 (2，1，3)到平面：2x2y+z3

6、=0 的距离与投影（分数：2.00）_33.求直线 L： （分数：2.00）_34.求以曲线 ： （分数：2.00）_35.求曲线 （分数：2.00）_考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 3答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：11，分数：22.00)1.已知 a 1 =1，2，3，a 2 =2，3，x，a 3 =2，x，6 ()如 a 1 a 2 ，则 x= 1； ()如 a 1 a 3 ，则 x= 2； ()如 a 1 ，a 2 ，a 3 共面，则 x= 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：() ）解析：解析：()a 1 a 2

7、 a 1 .a 2 =0，故 1.2+2.(3)+(3)x=0，得 x= ()a 1 a 3 ，得 x=4 ()a 1 ，a 2 ，a 3 共面 (a 1 ，a 2 ，a 3 )=0，故 2.直线 L 1 ： 与直线 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两条直线的夹角也就是这两条直线方向向量的夹角，L 1 的方向向量 S 1 =1，2，1已知，对 L 2 应通过方程转换化其为标准方程或参数方程来求 L 2 的方向向量 S 2 令 y=t，直线 L 2 的参数方程是 得到 L 2 的方向向量 S 2 =1，1，2 由于 cos= ，所以 L 1 与

8、 L 2 的夹角是 3.与 a 1 =1，2，3，a 2 =1，3，2都垂直的单位向量为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：用叉积，因为 ab按定义与 a，b 都垂直，而 a 1 a 2 = =5i+5j5k， 可见与 a 1 ，a 2 都垂直的向量是 c=l(i+jk)(l 为任意常数)再将其单位化 即为所求故应填： 4.()经过点 P(1，2，1)并且与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()x3yz+4=0）填空项 1:_ （正确答案：()6x+y+3x5=0）解析：解析：()由于 L 1 ，L 的方向向量 S=1，

9、3，1就是平面 1 的法向量，那么由点法式得 1 的方程是 (x1)+3(y2)+(z+1)=0，即 x3yz+4=0 ()点 M(2，4，1)在直线 L上，因而点 M是平面 2 上的一点，于是 =1，6，0与 S是平面 2 上的两个不平行的向量，设Q(x，y，z)是平面 2 上的任一点，则 P ，S 共面，利用(711)有 5.()经过点 P(2，3，1)且与平面：3x+y+5z+6=0 垂直的直线 L 1 的方程是 1； ()经过点 P且与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：() () ）解析：解析：()由于 L 1 ，平面的法向量 n=3，1，5就是 L

10、1 的方向向量 S，故有 ()因 L 2 与 L垂直相交，所以直线 L 2 在经过 P点且以 L的方向向量3，4，5为法向量的平面 1 上，则有 1 ：3(x2)+4(y+3)+5(z1)=0，即 3x+4y+5z+1=0 同时，L 2 在经过 P点且经过直线 L的平面 2 上，于是有 L 2 ： =0，即 27x4y13z53=0 故所求 L 2 的方程是 6.两个平行平面 1 ：2xy3z+2=0， 2 ：2xy3z5=0 之间的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在平面 1 上任取一点，例如 P 0 (1，0，0)，P 0 到 2 的距离就是

11、 1 ， 2 之间的距离，代入(721)得 7.设().=2，则(+)(+).(+)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： 根据叉积有分配律等性质(78)有 (+)(+)=+ 再利用点积有分配律等性质(77)及混合积的性质(79)即得 原式=().+().=2(，)=4 【注】 (，)，(，)，是共面向量的混合积，全是零8.与直线 L 1 ： 及直线 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy+z=0）解析：解析：直线 L 1 ，L 2 的方向向量分别是 S 1 =0，1，1与 S 2 =1，2，1，设 P(X，y，z)是平

12、面上任一点，则 ，S 1 ，S 2 共面，故混合积( ，S 1 ，S 2 )=0，即 9.经过两个平面 1 ：x+y+1=0， 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2xyz=0 垂直的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x+4(y+1)+2(z1)=0）解析：解析：用点法式设平面的法向量是 n=A，B，C，由于， 1 ， 2 交于一条公共直线，所以法向量 n，n 1 ，n 2 共面，且 n可由 n 1 ，n 2 线性表出，故可设 n=tn 1 +un 2 因为 3 ，故 n.n 3 =0，即 2(t+u)(t+2u)2u=0，取 t=2，u=

13、1，得到法向量 n=3，4，2 联立 1 ， 2 ，求 10.经过点 A(1，0，4)，与直线 L 1 ： 及 L 2 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：所求直线 L在过 A点且过直线 L 1 的平面 1 上，也在过 A点且过直线 L 2 的平面 2 上由于点 O(0，0，0)在直线 L 1 上，那么 =1，0，4与 S 1 =1，2，3是平面 1 上的两个向量，设 P(x，y，z)是 1 上任一点，则 =0，于是有 1 的方程 =8x7y+2z=0 类似地，B(1，2，3)在直线 L 2 上， 共面，得 2 的方程 =9x10y2z+17=0 故所求

14、的方程为 11.经过点 A(1，2，3)，垂直于直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用交面式所求直线在过点 A以 L的方向向量 S=4，5，6为法向量的平面 1 上，也在过A点以的法向量 n=7，8，9为法向量的平面 2 上 1 ：4(x+1)+5(y2)+6(Z3)=0， 2 ：7(x+1)+8(y2)+9(z3)=0， 故所求直线方程为 二、解答题(总题数：24，分数：48.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.试举例说明()()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在平面上取三个彼此不

15、平行的向量 ，于是 与 都是平面的法向量按叉积的定义，() 与 ()都是平面口上的向量前者垂直于 ，后者垂直于 ，显然它们不相等)解析：14.已知 =2，1，1，=1，3，1，试在 ， 所确定的平面内求与 垂直的单位向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n= =2，3，7 是平面的法向量，设 =x，y，z，则由 及 n，有 得通解 k(5，8，2) T 再单位化得 y= )解析：15.证明(，)2 2 2 2 并且等号成立的充要条件是 ， 两两垂直或者， 中有零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按定义=sin 1 ， (，)=. cos 2 ，其中 2 是 与 的夹角， 2

16、 是 与 的夹角，从而 (，) 2 = 2 2 2 sin 2 1 cos 2 2 2 2 2 = 2 2 2 ， 等号成立的充要条件是 sin 2 1 =1=cos 2 2 由此得 1 = )解析：16.用线性代数中的克拉默法则，对三元一次方程组求解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如记 1 =a 11 ，a 21 ，a 31 ， 2 =a 12 ，a 22 ，a 32 ， 3 =a 13 ，a 23 ，a 33 ，=b 1 ，b 2 ，b 3 ，则方程组可改写成 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 因为 2 3 与 2 、 3 都垂直，用 2 3 对上式的两边作点积，有

17、x 1 ( 1 ， 2 ， 3 )=(， 2 ， 3 ) 当( 1 ， 2 ， 3 )0 时，x 1 = 类似地 )解析：17.已知向量 1 ， 2 ， 3 不共面，证明向量方程组(， 1 ， 2 )=a，(， 2 ， 3 )=b，(， 3 ， 1 )=c的解可以表示为 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， 2 ， 3 不共面，故 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，设=x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ，用 2 3 作内积，则因 2 3 2 ，( 2 3 ). 2 =0同理( 2 3 ). 3 =0，得到 (， 2 ， 3 )=x( 1 ， 2 ， 3 ) 由(

18、1 ， 2 ， 3 )0，故 x 1 = )解析：18.求经过直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 L的方程改为交面式 则经过 L的平面可用平面束方程表示为 (x+1)+(3y+2z+2)=0，即 x+3y+2z+2=0 由点到平面的距离公式(721)，有 )解析：19.证明 L 1 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 1 的方向向量 S 1 =1，2，3，经过点 P 1 (0，0，0)，L 2 的方向向量 S 2 =1，1，1，经过点 P 2 (1，1，2)由于 ( ，S 1 ，S 2 )= =50 所以 L 1 ，L 2 是异面直线 公垂线 L的方向向量

19、S与 S 1 ，S 2 都垂直，令 S=S 1 S 2 = =1，2，1， 那么，经过 L 1 并且与 S平行的平面 1 的方程为 =0，整理得 4x+y2z=0 经过 L 2 并且与 S平行的平面 2 的方程为 =0， 整理得 xz+1=0 而平面 1 与 2 的交线即是 L 1 与 L 2 的公垂线 L(713)，故 公垂线的长(712)为 d= )解析：20.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：经过 L作平面 1 与垂直，则 1 与的交线就是 L在上的投影L 的方向向量 S=1，1，1，的法向量 N=1，1，2是平面 1 上的两个不共线向量，点 P 0 (1，0，1)

20、是L上一定点设 P(X，y，z)是 1 上任一点，则 ，S，n 共面，即 1 ： =0， 即x3y2z+1=0， 所以 L在上的投影是 )解析：21.圆柱面的轴线是 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点 P 0 到轴 L的距离 d就是圆柱面的底面半径，在 L上取一点 P 1 (0，1，2)，L的方向向量 S=1，2，2，则用点到直线的距离公式(710)有 设 P(x，y，z)是柱面上任一点，则 P到轴线 L的距离为 d，即S ，而 S )解析：22.设 a，b，c 为非零常数，求以曲线 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过 上 点(x 0 ，y 0 ，0)，以 l=(

21、a，b，c)为方向向量的直线方程是 x=x 0 +ta，y=y 0 +tb，z=tc， cx 0 =cxaz， cy 0 =cybz 这些直线即柱面 S上的点(x，y，z)满足 F(cx 0 ，cy 0 )=F(cxaz，cybz)=0 即 S上 )解析：23.已知 ， 都是单位向量，夹角是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=1，=1， .=cos(，)=cos (2+)(2+)=4+2.+2.+1=5+4. (一 3+2).(一 3+2)=96.一 6.+4=1312. =7 (2+).(一 3+2)=63.+4.+2=4+ cos(2+，一 3+2)= )解析：24.若 ，=6，

22、3，2，而=14，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 =x，y，z，由 = =26，3，一 2 )解析：25.若 ， 是单位向量且满足 +=0，求以 ， 为边的平行四边形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记(，)=，则面积 S=sin= 下求 .：由 +=0 因此 )解析：26.已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 +=0 +=0 一=0 =同理，由 +=0 +=0 = 设=，则 (+)=+=0， (+)=+=0， (+)=+=0 ， 均与 + 共线 )解析：27.把直线 L的方程 （分数：2.00）_正确答案：

23、(正确答案：先求 L的方向向量 再求一交点令 x=0得 y=1， z=2 因此直线 L的方程为 )解析：28.直线 L 1 ：x1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()1，2，.1，1，1=0 =3 ()L 1 通过点(1，1，1)，以(1，2，)为方向向量，L 2 通过点(一 1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量， 则 L 1 与 L 2 共面 =2.( 一 2)+1.(21)=2 一 3=0， 此时 L 1 与 L 2 不平行因此，= )解析：29.设平面经过平面 1 ：3x4y+6=0 与 2 ：2y+z11=0 的交线，且和 1 垂直，求的方程（分数：2.00）_正确答

24、案：(正确答案：先求 1 与 2 交线的方向向量 1 的法向量为3，一 4，0，过 1 与 2 交线上的点(一 2，0，11)与向量一 4一 36，3一 40平行 的方程 )解析：30.已知平面：x4y+2z+9=0，直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 L的方向向量 ()求 L与的交点 M 0 由 ()所求直线的方向向量 所求直线方程为 或求出过 L与的交点 M 0 且与 L垂直的平面方程，它是 2(x+3)+3(y+1)+2(z+5)=0，即 2x+3y+2z+19=0 于是，所求直线方程为 )解析：31.求点 M 1 (1，2，3)到直线 L： （分数：2.00

25、）_正确答案：(正确答案：直线 L过 M 0 点(0，4，3)，以 l=1，一 3，一 2为方向向量，则点 M 1 到直线L的距离为 )解析：32.求点 M 1 (2，1，3)到平面：2x2y+z3=0 的距离与投影（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点 M 1 到平面的距离 平面的法向量 n=2，一 2，1，过 M 1 点以 n为方向向量的直线 L的方程为 L： 代入的方程 2(2+2t)一 2(12t)+(3+t)一 3=0， 解得 t= ，代入 L的方程得 L与的交点即点 M 1 到平面的投影点 )解析：33.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先写出 L的参数方程 于是易得该旋转面的参数方程 消去参数 t与 得 x 2 +y 2 =4(1+t 2 )， 即 x 2 +y 2 =4+ )解析：34.求以曲线 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 的参数方程为 ，t，0)，以l，m，n为方向向量的直线方程为由得 = ，最后代入得该柱面方程 )解析：35.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组 (z 2 +y 2 ) 代入原方程得 (z 2 +y 2 )+2 2 z 2 =4，即(z 2 +y 2 ) 2 +32(y 2 一 z 2 )=0 因此求得在 yOz平面上的投影 )解析：