【考研类试卷】考研数学一-276及答案解析.doc

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1、考研数学一-276 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.二次型 的标准形可以是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 -5(x 2 +x 3 ) 2 的规范 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.三元二次型 x T Ax=(x 1 +2x 2 +ax 3 )(x 1 -x 2 +bx 3 )的正惯性指数 p 与负惯性指数 q（分数：3.00）A.p=1，q=1B.p=2，q=0C.

2、P=2，q=1D.与 a，b 有关，不能确定4.对于 n 元二次型 x T Ax，下述命题中正确的是 A.化 xTAx 为标准形的坐标变换是唯一的 B.化 xTAx 为规范形的坐标变换是唯一的 C.xTAx 的标准形是唯一的 D.xT的规范形是唯一的（分数：3.00）A.B.C.D.5.下列矩阵中，正定矩阵是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.6.下列二次型中正定二次型是 A.f1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2 B.f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 C.f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2

3、 D.f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)2（分数：3.00）A.B.C.D.7.下列矩阵中 A 与 B 合同的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.8.与二次型 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是 A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.9.设 A，B 均 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（分数：3.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式10.矩阵 （分数：3.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.既不相似也不合同11

4、.设 A 是 n 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是 A.若 A 可逆，则 A-1与 AT合同 B.若 A 与单位矩阵合同，则|A|0 C.若 A 可逆，则 A2与单位矩阵合同 D.若|A|0，则 A 与单位矩阵合同（分数：3.00）A.B.C.D.12.已知 A 和 B 都是 n 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是（分数：3.00）A.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 合同B.若 A 和 B 合同，则 A 和 B 合同C.若 A 和 B 合同，则 A+kE 和 B+kE 合同D.若 A 和 B 合同，则 A 和 B 等价13.矩阵 与 （分数：3.00）A.a=0B.a=1C.a1D.a11

5、4.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与C（分数：3.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似15.现有一批电子元件，系统初始先由一个元件工作，当其损坏时，立即更换一个新元件接替工作如果用 X i 表示第 i 个元件的工作寿命，那么事件 A=“到时刻 T 为止，系统仅更换一个元件”可以表示为（分数：3.00）A.A=X1TB.A=X1+X2T)C.A=X1+X2TD.A=X1T，X1+X2T16.设随机变量 X 在0，1上服从均匀分布，记事件 ， （分数：3.00）A.A

6、 与 B 互不相容B.B 包含 AC.A 与 B 对立D.A 与 B 相互独立17.将一枚硬币独立投掷二次，记事件 A=“第一次掷出正面”，B=“第二次掷出反面”，C=“正面最多掷出一次”，则事件（分数：3.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立C.B 与 AC 独立D.C 与 AB 独立18.设 A，B，C 为随机事件，A 与 B 相互独立，0P(A)1，P(C)=1则事件组 AA，B，AC 不相互独立 BA，B，A-C 不相互独立 CA，B，AC 不相互独立 DA，B， （分数：3.50）A.B.C.D.19.已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 充要条件

7、是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.20.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.21.设随机事件 A 与 B 互不相容，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.22.对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有（分数：3.50）A.如果 P(A)=0，则 P(B)=0B.如果 P(A)=0，则 P(B)=1C.如果 P(A)=1，则 P(B)=0D.如果 P(A)=1，则 P(B)=123.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则 AP(AB)P(A)+P(B) BP(

8、A-B)P(A)-P(B) CP(AB)P(A)P(B) D （分数：3.50）A.B.C.D.24.设两两独立且概率相等的三事件 A，B，C 满足条件 ，且 ABC= ? ，则 P(A)的值为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.25.设 A，B 为随机事件，P(A)0，已知 P(B|A)=1 则 AB=A B （分数：3.50）A.B.C.D.26.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)充要条件是（分数：3.50）A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C)27

9、.袋中装有 2n-1 个白球，2n 个黑球，一次取出，n 个球，发现都是同一种颜色，则这种颜色是黑色的概率 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.28.连续抛掷一枚硬币，第 k 次(kn)正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.29.设离散型随机变量 X 服从分布律 （分数：3.50）A.B.C.D.30.假设分布函数 F(x)是连续的函数且 F(0)=0，则可以作出新分布函数 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D.31.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)是偶函数，其分布函数为 F(x)，则（分数：3.50）A.F(

10、x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)+F(-x)=1D.2F(x)-F(-x)=1考研数学一-276 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：100.00)1.二次型 的标准形可以是 A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0因此，A 是二次型的标准形 即 与 即 即经坐标变换 有 2.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(2x 1 +3x 2 +x 3 ) 2 -5(x 2 +x 3 ) 2 的规范 A B C D （分数：3.00

11、）A.B. C.D.解析：解析 二次型的规范形中，平方项的系数只能是 1，-1，0 故应当排除 A 只要求出二次型的正、负惯性指数就可以确定二次型的规范形通常可以求二次型矩阵的特征值或用配方法化二次型为标准形来实现 本题中，若令 而认为规范形是 就不正确了因为行列式 所以上述变换(1)不是坐标变换，当然 也就不是规范形了 二次型 f 经整理为 由于 3.三元二次型 x T Ax=(x 1 +2x 2 +ax 3 )(x 1 -x 2 +bx 3 )的正惯性指数 p 与负惯性指数 q（分数：3.00）A.p=1，q=1 B.p=2，q=0C.P=2，q=1D.与 a，b 有关，不能确定解析：解析

12、 按惯性定理，经坐标变换二次型的正(负)惯性指数不变 令 因为 ，知(1)是坐标变换，于是 x T Ax=y 1 y 2 再令 因为 ，知(2)是坐标变换，从而 4.对于 n 元二次型 x T Ax，下述命题中正确的是 A.化 xTAx 为标准形的坐标变换是唯一的 B.化 xTAx 为规范形的坐标变换是唯一的 C.xTAx 的标准形是唯一的 D.xT的规范形是唯一的（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 化二次型为标准形既可用正交变换法也可用配方法，化成标准形和所用坐标变换都是不惟一的A、C 均不正确 规范形由二次型的正、负惯性指数所确定，而正、负惯性指数在坐标变换下是不变的故 D 正

13、确5.下列矩阵中，正定矩阵是 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 二次型正定的必要条件是：a ii 0 在 D 中，由于 a 33 =0，易知 f(0，0，1)=0，与 x0，x T Ax0 相矛盾 二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零在 A 中，二阶主子式 6.下列二次型中正定二次型是 A.f1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2 B.f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 C.f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 D.f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+

14、(x4-x1)2（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由定义 f=x T Ax 正定 x0，均有 x T Ax0， 反之，若存在 x0，使得 f=x T Ax0 7.下列矩阵中 A 与 B 合同的是 A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由合同定义：C T AC=B，C 可逆 知合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式|A|与|B|同号 本题 A 中的矩阵秩不相等B 中行列式正、负号不同，而排除 易见 C 中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B 的特征值为 1，3，0，所以二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数，所以 A

15、和 B 合同 而 D 中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为-1，-2，-2，从而 x T Ax 与 x T Bx 正、负惯性指数不同而不合同8.与二次型 的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是 A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 二次型 x T Ax 经正交变换 x=Qy 化为新的二次型 y T By，由于，x T Ax=(Qy) T A(Qy)=y T (Q T AQ)y，则有 Q T AQ=B 即原二次型矩阵 A 和新二次型矩阵 B 合同，又因 Q T AQ=Q -1 AQ=B 因此在正交变换下，二次型矩阵 A 与 B 不仅合同而且相似 因为两个实对称矩阵相似的

16、充分必要条件是有相同的特征值，现在 9.设 A，B 均 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（分数：3.00）A.A 与 B 有相同的特征值B.A 与 B 有相同的秩 C.A 与 B 有相同的特征向量D.A 与 B 有相同的行列式解析：解析 按定义，若存在可逆矩阵 C 使 C T AC=B，则称 A 与 B 合同因为矩阵 C 可逆，故有 r(A)=r(C T AC)=r(B) 即 B 正确 注意，若 10.矩阵 （分数：3.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.既不相似也不合同 解析：解析 实对称矩阵相似 有相同的特征值 实对称矩阵合同 有相同的正、负惯性指数 由 可知

17、 11.设 A 是 n 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是 A.若 A 可逆，则 A-1与 AT合同 B.若 A 与单位矩阵合同，则|A|0 C.若 A 可逆，则 A2与单位矩阵合同 D.若|A|0，则 A 与单位矩阵合同（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 如果 A 可逆，则有 A T =A T A -1 A，即 A -1 与 A 合同 B 若 A 与 E 合同，即 12.已知 A 和 B 都是 n 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是（分数：3.00）A.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 合同B.若 A 和 B 合同，则 A 和 B 合同C.若 A 和 B 合同，则 A+kE

18、和 B+kE 合同 D.若 A 和 B 合同，则 A 和 B 等价解析：解析 A 和 B 合同 二次型 x T Ax 和 x T Bx 有相同的正、负惯性指数 由 AB 相似，知 A 和 B 有相同的特征值 二次型，x T Ax 和 x T Bx 有相同的标准形 A 和 B 合同A 正确 由 合同 A 和 B 有相同的正、负惯性指数 A 和 B 的特征值有相同的正、负号，而 B 和9B 的特征值是 9 倍的关系，从而 A 和 9B 的特征值有相同的正、负号，故 A 和 9B 有相同的正、负惯性指数，B 正确 因为 A 和 A+kE 正、负惯性指数不一定相同，从而 A+kE 和 B+kE 的正、

19、负惯性指数可以不同例如 13.矩阵 与 （分数：3.00）A.a=0B.a=1C.a1 D.a1解析：解析 A 与 B 合同 二次型 x T Ax 与 x T Bx 有相同的正、负惯性指数用配方法有： 矩阵 A 与 B 合同 a 与 a-a 2 有相同的正、负号 a=0 或 1-a0 14.设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与C（分数：3.00）A.等价但不相似B.合同但不相似C.相似但不合同D.等价，合同且相似 解析：解析 将初等行、列变换，用左、右乘初等阵表出，由题设 AE ij =B，E ij B=

20、C故 C=E ij B=E ij AE ij 因 E ij =E T ij =E -1 ij ，故 C=E ij AE ij =E -1 ij AE ij =E ij T AE ij ，故即 ，CA，且 15.现有一批电子元件，系统初始先由一个元件工作，当其损坏时，立即更换一个新元件接替工作如果用 X i 表示第 i 个元件的工作寿命，那么事件 A=“到时刻 T 为止，系统仅更换一个元件”可以表示为（分数：3.00）A.A=X1TB.A=X1+X2T)C.A=X1+X2TD.A=X1T，X1+X2T 解析：解析 事件 A=“到时刻 T 为止，系统仅更换了一个元件”这件事等价于“第一个元件在时刻

21、 T 之前已经损坏，”即事件“X 1 1+X2T”，所以事件 A=X1T，X 1+X2T选择 DA 不能选，因为仅 X1T 不能保证 X1+X2T，也许两个元件寿命加在一起还小于 TC 也不能选，因为 X1+X2T 的情况中包含第一个元件的寿命大于 T在 T 时刻并没有更换元件16.设随机变量 X 在0，1上服从均匀分布，记事件 ， （分数：3.00）A.A 与 B 互不相容B.B 包含 AC.A 与 B 对立D.A 与 B 相互独立 解析：解析 由图形立即得到正确选项为 D，事实上，由题设知 所以 因此成立 P(AB)=P(A)P(B)，即 A 与 B 相互独立 17.将一枚硬币独立投掷二次

22、，记事件 A=“第一次掷出正面”，B=“第二次掷出反面”，C=“正面最多掷出一次”，则事件（分数：3.00）A.A，B，C 两两独立B.A 与 BC 独立 C.B 与 AC 独立D.C 与 AB 独立解析：解析 由题设知，试验的基本事件共有 4 个： 1 =“正，正”， 2 =“正，反”， 3 =“反，正”， 4 =“反，反”，所以 A=“ 1 ， 2 ”，B=“ 2 ， 4 ”，C=“ 2 ， 3 ， 4 ”， ，显然 A 与 B 独立， ，故 B、C 不独立，选项 A 不成立又 BC=B，ABC=AB，P(ABC)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)P(BC)，即 A 与 BC 独立，

23、选项 B 正确而 P(ABC)=P(A)P(B)= P(B)P(AC) ， 18.设 A，B，C 为随机事件，A 与 B 相互独立，0P(A)1，P(C)=1则事件组 AA，B，AC 不相互独立 BA，B，A-C 不相互独立 CA，B，AC 不相互独立 DA，B， （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 P(C)=1，故 ，又 ，所以 P(AC)=1，P(A-C)=0，19.已知 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 充要条件是 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 已知 ，即 ，所以 P(A)+P(B)=1选项 A、B 是 A 与 B 独

24、立的充要条件，因此不能选由“对称性”知选项 C 正确，应选 C 事实上， ，即 ，所以 P(A)+P(B)=1 选项 D 未必成立，这是因为 即 ， ，此与 20.设 A，B 为随机事件，0P(A)1，0P(B)1，则 A，B 相互独立的充要条件是 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 0P（A）1，0P(B)1，所以 A 与 B 相互独立等价于 即 ，正确选项是 C 由于“条件概率是概率，它具有概率的一切性质”，因此选项 A、D 对任意事件 A，B 都成立，由它不能断言 A，B 相互独立如果 A 与 B 相互独立，则 ，因此 21.设随机事件 A 与 B 互不

25、相容，则 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 已知 AB= ? ，我们无法断言 或 ? ，因此 A、B 不能选由于 所以 22.对任意两个互不相容的事件 A 与 B，必有（分数：3.50）A.如果 P(A)=0，则 P(B)=0B.如果 P(A)=0，则 P(B)=1C.如果 P(A)=1，则 P(B)=0 D.如果 P(A)=1，则 P(B)=1解析：解析 由于 AB= ? ，就有 ，也就有 如果 P(A)=1，则 ，即有 P(B)=0，选择C 如果 P(A)=0，只能得到 23.设 A，B 为随机事件，P(B)0，则 AP(AB)P(A)+P(B) BP(A-B

26、)P(A)-P(B) CP(AB)P(A)P(B) D （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 这是一道考查概率性质的选择题，应用概率运算性质知，P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)，选项 A 不成立P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A)-P(B)，故正确选项为 B而 ，所以 D 不成立至于选项 C，它可能成立也可能不成立，例如 AB= ? ，P(A)0，P(B)0，则 P(AB)=0P(A)P(B)；如果 24.设两两独立且概率相等的三事件 A，B，C 满足条件 ，且 ABC= ? ，则 P(A)的值为 A B C D （分数：3.50）A. B.C.D.

27、解析：解析 设 P(A)=x，则 P(A)=P(B)=P(C)=x 且 P(AB)=P(BC)=P(AC)=x 2 由公式 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)得 ，所以 ，解得 或 是不可能的，因为 P(ABC)P(A)，不可能 ，故只能有 25.设 A，B 为随机事件，P(A)0，已知 P(B|A)=1 则 AB=A B （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 26.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，则 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)充要条件是（分数：3.50）A.P(A|C)=P(A)B.P(B|C)=

28、P(B)C.P(AB|C)=P(AB)D.P(B|AC)=P(B|C) 解析：解析 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指：在 C 发生的条件下，A 与 B 独立，所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，故选择 D 我们也可以通过计算来确定选项 事实上，P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，而 27.袋中装有 2n-1 个白球，2n 个黑球，一次取出，n 个球，发现都是同一种颜色，则这种颜色是黑色的概率 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 设 A取出 n 个球同一种颜色； B黑色的球 则所求概率为

29、 所以 28.连续抛掷一枚硬币，第 k 次(kn)正面向上在第 n 次抛掷时出现的概率为 A B C D （分数：3.50）A.B.C.D. 解析：解析 总共抛掷 n 次，其中有 k 次出现正面，余下的为 n-k 次反面 第 n 次必是正面向上，前 n-1 次中有 n-k 次反面，k-1 次正面 根据伯努利公式，所有概率为 29.设离散型随机变量 X 服从分布律 （分数：3.50）A.B. C.D.解析：解析 分布律必定成立 ，即 ，所以 C=e这里用到了公式 ， 本题也可对比泊松分布 可以看出当 =1 时，就有 30.假设分布函数 F(x)是连续的函数且 F(0)=0，则可以作出新分布函数 A B C D （分数：3.50）A.B.C. D.解析：解析 应用分布函数充要条件判断，由 G i (x)的形式是分段函数，x=1 是分界点，于是立即想到要判断 是否成立，即 G i (x)是否右连续容易计算 ； 31.假设随机变量 X 的密度函数 f(x)是偶函数，其分布函数为 F(x)，则（分数：3.50）A.F(x)是偶函数B.F(x)是奇函数C.F(x)+F(-x)=1 D.2F(x)-F(-x)=1解析：解析 由于 F(x)是单调不减的非负函数，所以 A、B 不成立已知 f(x)是偶函数，因此有 ，选择 C而