2015年福建省莆田市中考真题数学.docx

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1、2015年福建省莆田市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分 ) 1. -2 的相反数是 ( ) A.12B.2 C.-12D.-2 解析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 . -2 的相反数是 2. 答案： B. 2. 下列运算正确的是 ( ) A.(a2)3=a5 B.a2+a4=a6 C.a3 a3=1 D.(a3-a) a=a2 解析： A、 (a2)3=a6，故错误； B、 a2+a4不能进行运算，因为二者不是同类项； C、 a3 a3=1，正确； D、 (a3-a) a=a2-1，故错误 . 答案： C 3.右边几何体的俯

2、视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 找到从 上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 . 从上往下看，易得三个并排的长方形 . 答案： A 4.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 解析： A、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误 . 答案： C 5.不等式组 1 2121xx ， 的解集在数轴上可表示为 ( ) A. B. C. D. 解析

3、： 解不等式 x+2 1 得： x -1；解不等式 12x 1 得： x 2，所以次不等式的解集为：-1 x 2. 答案： A 6.如图， AE DF， AE=DF，要使 EAC FDB，需要添加下列选项中的 ( ) A.AB=CD B.EC=BF C. A= D D.AB=BC 解析： AE FD， A= D， AB=CD， AC=BD， 在 AEC 和 DFB 中， AE DFADAC DB ， EAC FDB(SAS)， 答案： A 7.在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为 3， 4， 4， 6， 8，则关于这组数据的说法不正确的是 ( ) A.平均数是 5 B.中位数是 6

4、C.众数是 4 D.方差是 3.2 解析： A、平均数 = 3 4 4 6 85 =5，此选项正确； B、 3， 4， 4， 6， 8 中位数是 4，此选项错误； C、 3， 4， 4， 6， 8 众数是 4，此选项正确； D、方差 S2=15(3-5)2+(4-5)2+ +(8-5)2=3.2，此选项正确 . 答案： B 8.如图，在 O 中， 弧 AB=弧 AC， AOB=50，则 ADC 的度数是 ( ) A.50 B.40 C.30 D.25 解析： 在 O 中， 弧 AB=弧 AC， AOC= AOB， AOB=50， AOC=50， ADC= 12 AOC=25 . 答案： D 9

5、.命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，必有实数解 .”是假命题 .则在下列选项中，可以作为反例的是 ( ) A.b=-3 B.b=-2 C.b=-1 D.b=2 解析： 方程 x2+bx+1=0，必有实数解， =b2-4 0，解得： b -2 或 b 2， 则命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0，必有实数解 .”是假命题 .则在下列选项中，可以作为反例的是 b=-1. 答案： C 10.数学兴趣小组开展以下折纸活动： (1)对折矩形 ABCD，使 AD 和 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； (2)再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B

6、，得到折痕 BM，同时得到线段BN. 观察，探究可以得到 ABM 的度数是 ( ) A.25 B.30 C.36 D.45 解析： 连接 AN， EF 垂直平分 AB， AN=BN， 由折叠知 AB=BN， AN=AB=BN， ABN 为等边三角形， ABN=60， ABM= NBM=30 . 答案： B 二、细心填一填 (共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 ) 11.要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取 (选填“全面调查”或“抽样调查” ). 解析： 要了解一批炮弹的杀伤力情况，适宜采取抽样调查 . 答案： 抽样调查 12.八边形的外角和是 . 解析： 任何凸多边形的外角和都是 3

7、60 度 .八边形的外角和是 360 度 . 答案： 360 13.中国的陆地面积约为 9 600 000km2，把 9 600 000 用科学记数法表示为 . 解析： 将 9600000 用科学记数法表示为 9.6 106. 答案： 9.6 106. 14.用一根长为 32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm2. 解析： 设矩形的一边长是 xcm，则邻边的长是 (16-x)cm. 则矩形的面积 S=x(16-x)，即 S=-x2+16x， 当 x= 1622ba =8 时， S 有最大值是： 64. 答案： 64. 15.如图， AB 切 O 于点 B， OA=2 3 ，

8、 BAO=60，弦 BC OA，则 弧 BC 的长为 (结果保留 ). 解析： 连接 OB， OC， AB 为圆 O 的切线， OB AB， 在 AOB 中， OA=2 3 ， BAO=60， AOB=30，即 AB= 3 ， 根据勾股定理得： OB=3， BC OA， OBC= AOB=30， OB=OC， OBC= OCB=30， BOC=120，则 弧 BC 的长 l=120 3180=2 . 答案： 2 16.谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的 4 个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的 3 个小正三角形再分别重复以上做法将这种做法

9、继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯 (如图 ).若图 1中的阴影三角形面积为 1，则图 5 中的所有阴影三角形的面积之和是 . 解析： 图 2 阴影部分面积 =1-14=34， 图 3 阴影部分面积 =34 34=(34)2， 图 4 阴影部分面积 =34 (34)2=(34)3， 图 5 阴影部分面积 =34 (34)3=(34)4= 81256. 答案： 81256. 三、耐心做一做 (共 10 小题，满分 86 分 ) 17.计算： |2- 2 |- 9 +(-1)0. 解析： 本题涉及绝对值，零指数幂、二次根式化简三个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算

10、法则求得计算结果 . 答案： |2- 2 |- 9 +(-1)0=2- 2 -3+1=- 2 . 18. 解分式方程： 232xx . 解析： 先去分母，把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可 . 答案： 方程两边都乘以 x(x+2)得： 2(x+2)=3x， 解得： x=4， 检验：把 x=4 代入 x(x+2) 0， 所以 x=4 是原方程的解， 即原方程的解为 x=4. 19.先化简，再求值： 222a ab ba b b a ，其中 a=1+ 3 ， b=-1+ 3 . 解析： 原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，把 a 与 b 的值代入计

11、算即可求出值 . 答案： 原式 = 2222 aba a b ba b a b =a-b， 当 a=1+ 3 ， b=-1+ 3 时，原式 =2. 20.为建设”书香校园“，某校开展读书月活动，现随机抽取了一部分学生的日人均阅读时间 x(单位：小时 )进行统计，统计结果分为四个等级，分别记为 A， B， C， D，其中： A： 0 x 0.5， B： 0.5 x 1， C： 1 x 1.5， D： 1.5 x 2，根据统计结果绘制了如图两个尚不完整的统计图 . (1)本次统计共随机抽取了 名学生； (2)扇形统计图中等级 B 所占的圆心角是 ； (3)从参加统计的学生中，随机抽取一个人，则抽到

12、“日人均阅读时间大于或等于 1 小时”的学生的概率是 ； (4)若该校有 1200 名学生，请估计“日人均阅读时间大于或等于 0.5 小时”的学生共有 人 . 解析： (1)利用扇形统计图和条形统计图得出 C 组的人数为 40，在扇形统计图中占 40%，进而求出即可； (2)利用等级 B 在样本中所占比例，进而求出所占的圆心角； (3)利用“日人均阅读时间大于或等于 1 小时”的学生所占比例，得出概率； (4)利用“日人均阅读时间大于或等于 0.5 小时”所占比例求出答案 . 答案： (1)由 C 组的人数为 40，在扇形统计图中占 40%， 故本次统计共随机抽取了： 40 40%=100(名

13、 )， 故答案为： 100； (2)由题意可得： 20 100 360 =72 . 故答案为： 72； (3) D 组所占比例为： 30%， C 组所占比例为： 40%， “日人均阅读时间大于或等于 1 小时”的学生的所占比例为： 70%， 抽到“日人均阅读时间大于或等于 1 小时”的学生的概率是： 0.7； 故答案为： 0.7； (4)样本中日人均阅读时间小于 0.5 小时的有 10 人，所占样本数据的 10100 100%=10%， 该校有 1200 名学生，“日人均阅读时间大于或等于 0.5 小时”的学生共有： 1200(1-10%)=1080(人 ). 故答案为： 1080. 21.如

14、图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，点 E， F 分别是边 AB， AD 的中点 . (1)请判断 OEF 的形状，并证明你的结论； (2)若 AB=13， AC=10，请求出线段 EF 的长 . 解析： (1)利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可； (2)利用勾股定理得出 BO 的长再利用三角形中位线定理得出 EF 的长 . 答案： (1) OEF 是等腰三角形， 理由：四边形 ABCD 是菱形， AB=AD， AC BD， 点 E， F 分别是边 AB， AD 的中点， EO=12AB， OF=12AD， EO=FO， OEF 是等腰三

15、角形； (2)四边形 ABCD 是菱形， AC=10， AO=5， AOB=90， BO= 2 2 2 21 3 5A B A O =12， BD=24， 点 E， F 分别是边 AB， AD 的中点， EF/ 12BD， EF=12. 22.如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，对角线 AC， BD 交于点 E，点 O 在线段 AE 上， O 过 B，D 两点，若 OC=5， OB=3，且 cos BOE=35.求证： CB 是 O 的切线 . 解析： 连接 OD，可得 OB=OD，由 AB=AD，得到 AE 垂直平分 BD，在直角三角形 BOE 中，利用锐角三角函数定义求出 OE 的

16、长，根据勾股定理求出 BE 的长，由 OC-OE 求出 CE 的长，再利用勾股定理求出 BC 的长，利用勾股定理逆定理判断得到 BC 与 OB 垂直，即可确定出 BC 为圆O 的切线 . 答案： 连接 OD，可得 OB=OD， AB=AD， AE 垂直平分 BD， 在 Rt BOE 中， OB=3， cos BOE=35， OE=95， 根据勾股定理得： BE= 22BO OE =125， CE=OC-OE=165， 在 Rt CEB 中， BC= 22CE BE =4， OB=3， BC=4， OC=5， OB2+BC2=OC2， OBC=90，即 BC OB，则 BC 为圆 O 的切线 .

17、 23.某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午 8 点开放，而无人售票窗口从上午 7 点开放，某日从上午 7 点到 10 点，每个普通售票窗口售出的车票数 y1(张 )与售票时间 x(小时 )的变化趋势如图 1，每个无人售票窗口售出的车票数 y2(张 )与售票时间 x(小时 )的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图 2，若该日截至上午9 点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同 . (1)求图 2 中所确定抛物线的解析式； (2)若该日共开放 5 个无人售票窗口，截至上午 10 点，两种窗口共售出的车票数不少于 900张，则至少需要开放多

18、少个普通售票窗口？ 解析： (1)设 y2=ax2，当 x=2 时， y1=y2=40，利用待定系数法即可解答； (2)设 y1=kx+b(1 x 3)，把 (1， 0)， (2， 40)分别代入 y1=kx+b，求得 y2=40x-40，当 x=3时， y1=80， y2=90，设需要开放 m 个普通售票窗口，所以 80m+90 5 900，解得 m 558，因为 m 取整数，所以 m 6，即可解答 . 答案： (1)设 y2=ax2， 当 x=2 时， y1=y2=40，把 (2， 40)代入 y2=ax2， 4a=40，解得： a=10， y2=10x2. (2)设 y1=kx+b(1

19、x 3)， 把 (1， 0)， (2， 40)分别代入 y1=kx+b 得： 02 40kbkb，解得： 4040kb， y2=40x-40， 当 x=3 时， y1=80， y2=90， 设需要开放 m 个普通售票窗口， 80m+90 5 900， m 558， m 取整数， m 6. 答：至少需要开放 6 个普通售票窗口 . 24.如图，矩形 OABC，点 A， C 分别在 x 轴， y 轴正半轴上，直线 y=-x+6 交边 BC 于点 M(m，n)(m n)，并把矩形 OABC 分成面积相等的两部分，过点 M 的双曲线 y=kx(x 0)交边 AB 于点 N.若 OAN 的面积是 4，求

20、 OMN 的面积 . 解析： 由反比例函数性质求出 S OCM=S OAN=4，得到 mn=8，根据点 M(m， n)在直线 y=-x+6 上，得到 -m+6=n，联立解方程组，得 m、 n 的值，再根据直线 y=-x+6 分矩形 OABC 面积成相等的两部分，求出点 B 的坐标，进而求出 OA=BC=8， AB=OC=4， BM=6， BN=3，由 S OMN=S 矩形 OABC-SOCM-S BMN-S OAN计算即可 . 答案： 点 M、 N 在双曲线 y=kx(x 0)上， S OCM=S OAN=4， 12mn=4， mn=8， 点 M(m， n)在直线 y=-x+6 上， -m+6

21、=n， 86mn ，解得： 24mn， 或 42mn， (舍去 ) 直线 y=-x+6 分矩形 OABC 面积成相等的两部分， 直线 y=-x+6 过矩形 OABC 的中心， 设 B(a， 4)， E(2a， 2)， -2a+6=2， a=8， OA=BC=8， AB=OC=4， BM=6， BN=3， S OMN=S 矩形 OABC-S OCM-S BMN-S OAN=32-4-9-4=15. 25.抛物线 y=ax2+bx+c，若 a， b， c 满足 b=a+c，则称抛物线 y=ax2+bx+c 为“恒定”抛物线 . (1)求证：“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c 必过 x 轴上的一个

22、定点 A； (2)已知“恒定”抛物线 y= 3 x2- 3 的顶点为 P，与 x 轴另一个交点为 B，是否存在以 Q为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线，使得以 PA， CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)由“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c，得到 b=a+c，即 a-b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点 (-1， 0)； (2)先求出抛物线 y= 3 x2- 3 的顶点坐标和 B 的坐标，由题意得出 PA CQ， PA=CQ；存在两种情况： 作 QM AC 于 M，则 QM=OP= 3 ，证明 Rt QMC Rt

23、 POA， MC=OA=1，得出点 Q 的坐标，设抛物线的解析式为 y=a(x+2)2- 3 ，把点 A 坐标代入求出 a 的值即可； 顶点 Q 在 y 轴上，此时点 C 与点 B 重合；证明 OQC OPA，得出 OQ=OP= 3 ，得出点 Q坐标，设抛物线的解析式为 y=ax2+ 3 ，把点 C 坐标代入求出 a 的值即可 . 答案： (1)由“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c，得： b=a+c，即 a-b+c=0， 抛物线 y=ax2+bx+c， 当 x=-1 时， y=0，“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A(-1， 0)； (2)存在；理由如下： “恒

24、定”抛物线 y= 3 x2- 3 ， 当 y=0 时， 3 x2- 3 =0，解得： x= 1， A(-1， 0)， B(1， 0)； x=0 时， y=- 3 ，顶点 P 的坐标为 (0， - 3 )， 以 PA， CQ 为边的平行四边形， PA、 CQ 是对边， PA CQ， PA=CQ，存在两种情况： 如图 1 所示：作 QM AC 于 M，则 QM=OP= 3 ， QMC=90 = POA， 在 Rt QMC 和 Rt POA 中， CQ PAQM OP， Rt QMC Rt POA(HL)， MC=OA=1， OM=2， 点 A 和点 C 是抛物线上的对称点， AM=MC=1，点 Q

25、 的坐标为 (-2， - 3 )， 设以 Q 为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线的解析式为 y=a(x+2)2- 3 ， 把点 A(-1， 0)代入得： a= 3 ， 抛物线的解析式为： y= 3 (x+2)2- 3 ，即 y= 3 x2+4 3 x+3 3 ； 如图 2 所示：顶点 Q 在 y 轴上，此时点 C与点 B重合， 点 C 坐标为 (1， 0)， CQ PA， OQC= OPA， 在 OQC 和 OPA 中， O Q C O P AC O Q A O PC Q P A ， OQC OPA(AAS)， OQ=OP= 3 ，点 Q 坐标为 (0， 3 )， 设以 Q

26、为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线的解析式为 y=ax2+ 3 ， 把点 C(1， 0)代入得： a=- 3 ，抛物线的解析式为： y=- 3 x2+ 3 ； 综上所述：存在以 Q 为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线，使得以 PA， CQ 为边的四边形是平行四边形， 抛物线的解析式为： y= 3 x2+4 3 x+3 3 ，或 y=- 3 x2+ 3 . 26.在 Rt ACB 和 Rt AEF 中， ACB= AEF=90，若点 P 是 BF的中点，连接 PC， PE. 特殊发现： 如图 1，若点 E， F 分别落在边 AB， AC 上，则结论： PC=P

27、E 成立 (不要求证明 ). 问题探究： 把图 1 中的 AEF 绕着点 A 顺时针旋转 . (1)如图 2，若点 E 落在边 CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)如图 3，若点 F 落在边 AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记 ACBC=k，当 k 为何值时， CPE 总是等边三角形？ (请直接写出 k 的值，不必说明理由 ) 解析： (1)首先过点 P 作 PM CE 于点 M，然后根据 EF AE， BC AC，可得 EF MP CB，推得 EM FPMC PB，再根据点 P 是 BF

28、的中点，可得 EM=MC，据此推得 PC=PE 即可 . (2)首先过点 F 作 FD AC 于点 D，过点 P 作 PM AC 于点 M，连接 PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 DAF EAF，即可判断出 AD=AE；再判断出 DAP EAP，即可判断出 PD=PE；最后根据 FD AC， BC AC， PM AC，可得 FD BC PM，再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PD，再根据 PD=PE，即可推得 PC=PE. (3)首先根据 CPE 总是等边三角形，可得将 AEF 绕着点 A 顺时针旋转 180， CPE 仍是等边三角形；然后根据 BCF= BEF=90，点 P

29、 是 BF 的中点，可得点 C、 E 在 以点 P 为圆心，BF 为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出 CBE 的度数，即可求出当 CPE 总是等边三角形时， k 的值是多少 . 答案： (1)如图 2，过点 P 作 PM CE 于点 M， PC=PE 成立，理由如下： EF AE， BC AC， EF MP CB， EM FPMC PB， 点 P 是 BF 的中点， EM=MC， 又 PM CE， PC=PE. (2)如图 3，过点 F 作 FD AC 于点 D，过点 P作 PM AC于点 M，连接 PD， PC=PE 成立，理由如下： DAF= EAF， FDA= FEA=90， 在 D

30、AF 和 EAF 中， D A F E A FF D A F E AA F A F ， DAF EAF(AAS)， 在 DAP 和 EAP 中，A D A ED A P E A PA P A P ， DAP EAP(SAS)， PD=PE， FD AC， BC AC， PM AC， FD BC PM， DM FPMC PB， 点 P 是 BF 的中点， DM=MC， 又 PM AC， PC=PD， 又 PD=PE， PC=PE. (3)如图 4， CPE 总是等边三角形，将 AEF 绕着点 A 顺时针旋转 180， CPE 仍是等边三角形， BCF= BEF=90，点 P 是 BF 的中点，点 C、 E 在以点 P为圆心， BF 为直径的圆上， CPE 是等边三角形， CPE=60， 根据圆周角定理，可得 CBE=12 CPE=12 60 =30，即 ABC=30， 在 Rt ABC 中， AC kBC， ACBC=tan30， k=tan30 = 33，当 k 为 33时， CPE 总是等边三角形 .