2016年山西省太原市高考一模试卷数学文.docx

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1、2016年山西省太原市高考一模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知全集 U=1， 2， 3， 4， 5，集合 M=3， 4， 5， N=1， 2， 5，则集合 1， 2可以表示为 ( ) A.M N B.(CUM) N C.M (CUN) D.(CUM) (CUN) 解析：根据元素之间的关系进行求解即可 . M=3， 4， 5， N=1， 2， 5， M N=5， (CUM) N=1， 2， M (CUN)=3， 4， (CUM) (CUN)=. 答案： B 2.i是虚数单位，复数 534

2、ii ( ) A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 解析：进行复数的除法运算，分子和 分母同乘以分母的共轭复数，约分化简，得到结果 . 5 3 45 3 1 7 1 7 14 4 4 1 7iiii ii i i . 答案： C. 3.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( ) A.32 34 32 B.33 45 35 C.34 45 32 D.33 36 35 解析：根据中位数，众数以及极差的概念以及茎叶图中的数据，求出相应的数据即可 . 从茎叶图中知共 16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为 32、 34， 所以这组数据的中位数为 33；

3、45出现的次数最多，所以这组数据的众数为 45； 最大值是 47，最小值是 12，故极差是： 35. 答案： B. 4.若双曲线 221xyab 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 ( A.y= 2x B.y 2 x C.y 12x D.y 22x 解析 ：由双曲线的离心率 3 ，可知 c= 3 a， 又 a2+b2=c2，所以 b= 2 a， 所以双曲线的渐近线方程为： 2by x xa . 答案： B. 5.对于下列四个命题 p1： 00011023()xxx ， ， ； p2：1 0 1 0230 0 1()x l o g x l o g x ， ， ； p3：12() 10 2 xx

4、l o g x ， ， ； p4：1311032()xx l o g x ， ， . 其中的真命题是 ( ) A.p1， p3 B.p1， p4 C p2， p3 D.p2， p4 解析： 根据指数函数和对数函数的图象和性质即可判断 . 对于下列四个命题 p1： 00011023()xxx ， ， ；根据指数函数的性质可知 p1错误， p2：1 0 1 0230 0 1()x l o g x l o g x ， ， ；根据对数函数的单调性可知 p2正确， p3：12() 10 2 xx l o g x ， ， ；当 x=1时，就不正确，故 p3错误， p4：1311032()xx l o g

5、x ， ， .根据指数函数和对数函数的性质可知， p4正确 . 答案 ： B. 6.执行如图所示的程序框图，若输出的 2524S，则判断框内填入的条件可以是 ( ) A.k 7 B.k 7 C.k 8 D.k 8 解析：模拟执行程序框图，可得： S=0， k=0 满足条件， k=2， S 12满足条件， k=4， S 1124满足条件， k=6， S 1 1 12 4 6 满足条件， k=8， S= 1 1 1 1 2 52 4 6 8 2 4 . 由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出 S的值为 2524. 结合选项可得判断框内填入的条件可以是： k 8. 答案： D. 7.已知函数 f(

6、x) 2sin(2x+ )(| | 2)图象过点 (0， 3)，则 f(x)图象的一个对称中心是 ( ) A.(3， 0) B.(6， 0) C.(6， 0) D.(12， 0) 解析：函数 f(x)=2sin(2x+ )(| |2)的图象过点 (0， 3 )， 3 =2sin，由 (| |2)，可得： =3， f(x)=2sin(2x+3)， 由五点作图法令 2x+3=0，可解得： x=6， 则 f(x)的图象的一个对称中心是 (6， 0). 答案 ： B. 8.各项均为正数的等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 Sn=2， S3n=14，则 S4n等于 ( ) A.80 B.30 C.2

7、6 D.16 解析：利用等比数列的求和公式，整体思维，即可求得结论 . 设各项均为正数的等比数列 an的公比等于 q， Sn=2， S3n=14， q 1 311 111 2 1 4 2 21 1 1nnna q a q aqq q q ， ， 解 得 ， . 414 1 2 1 1 6 3 01 nn aSqq （ ） （ ）. 答案： B. 9.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30 解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体， 底面面积 S=12 4 3=6， 高 h=5，

8、 故组合体的体积 12 2033V S h S h S h . 答案： C 10.已知满足 2 2 02 4 03 3 0xyxyxy 的实数 x、 y 所表示的平面区域为 M、若函数 y=k(x+1)+1 的图象经过区域 M，则实数 k的取值范围是 ( ) A.3， 5 B.-1， 1 C.-1， 3 D. 12， 1 解析：作出可行域，如图 . 因为函数 y=k(x+1)+1 的图象是过点 A(-1， 1)，且斜率为 k的直线 l，由图知，当直线 l过点 M(0， 2)时， k取最大值 1，当直线 l过点 NB(1， 0)时， k取最小值 12， 故 k 12， 1. 答案： D. 11.

9、已知三棱锥 S-ABC，满足 SA SB， SB SC， SC SA，且 SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为 3 ， Q是外接球上一动点，则点 Q到平面 ABC的距离的最大值为 ( ) A.3 B.2 C. 33D.433解析 ：三棱锥 S-ABC 中， SA SB， SB SC， SC SA，且 SA=SB=SC， 三棱锥的外接球即为以 SA， SB， SC 为长宽高的正方体的外接球， 该三棱锥外接球的半径为 3 ， 正方体的体对角线长为 2 3 ， 球心到平面 ABC的距离为 1 2 3 323 3， 点 Q到平面 ABC的距离的最大值为 33 33 4 3. 答案 ： D. 12

10、.已知函数 f(x)=12x2+2ax， g(x)=3a2lnx+b，设两曲线 y=f(x)， y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，则 a (0， + )时，实数 b的最大值是 ( ) A. 2332eB. 6136eC. 616eD. 2372e解析：设曲线 y=f(x)与 y=g(x)在公共点 (x0， y0)处的切线相同， 因为 f (x)=x+2a， g (x) 23ax，且 f (x0)=g (x0)， 所以 20 032 axax，化简得 x02+2ax0-3a2 0， 解得 x0=a或 -3a，又 x0 0，且 a 0，则 x0=a， 因为 f(x0)=g(x0)，所以

11、12x02+2ax0 3a2lnx0+b， 则 b(a)=52a2-3a2lna(a 0)， 所以 b (a)=5a-3(2alna+a)=2a-6alna=2a(1-3lna)， 由 b (a)=0得， a= 13e ， 所以当 0 a 13e 时， b (a) 0；当 a 13e 时， b (a) 0， 即 b(a)在 (0， 13e )上单调递增， b(a)在 ( 13e ， + )上单调递减， 所以当 a= 13e 时，实数 b的取到极大值也是最大值 123332b e e. 答案： A. 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.若函数 212,0,0f

12、x lo g x xlo g x x ，若 f(a) f(-a)，则实数 a的取值范围是 . 解析： 对 a进行 分类讨论： 当 a 0时 -a 0则由 f(a) f(-a)可得 log2a 12log a -log2a log2a 0， a 1. 当 a 0时 -a 0则由 f(a) f(-a)可得 12log a log2(-a) log2(-a) 0 0 -a 1 -1 a 0 综上 a的取值范围为 (-1， 0) (1， + ). 答案 ： (-1， 0) (1， + ) 14.已知圆 C： (x-1)2+(y-2)2=2，若等边 PAB的一边 AB为圆 C的一条弦，则 |PC|的最大

13、值为 . 解析：由圆 C： (x-1)2+(y-2)2=2， 圆心坐标 C(1， 2)，半径 r= 2 . 等边 PAB的一边 AB为圆 C的一条弦， |PC|的最大值为直径 2 2 . 答案： 2 2 . 15.已知非零向量 a ， b 的夹角为 60，且 ab 1，则 ab 的最大值是 . 解析：非零向量 a ， b 的夹角为 60，且 ab 1， 2221a b a b ，即 22 2 6 0 1a b a b c o s， 则 22 12a b a b a b ， ab 1，当且仅当 1ab时取等号 . 2 2 2 22 2 6 0 2 1a b a b a b a b a b c o

14、 s a b ， 1 2ab +1 3， 13ab . ab 的最大值是 3 . 答案 ： 3 . 16.已知数列 an满足： an-(-1)nan-1 n(n 2)，记 Sn为 an的前 n项和，则 S40= . 解析： an-(-1)nan-1 n(n 2)， 当 n=2k时，即 a2k-a2k-1=2k， 当 n=2k-1时，即 a2k-1+a2k-2=2k-1， 当 n=2k+1时，即 a2k+1+a2k=2k+1， + a2k+a2k-2=4k-1， - a2k+1+a2k-1=1， S40=(a1+a3+a5+ +a39)+(a2+a4+a6+a8+ +a40)=1 10+(7+1

15、5+23+ ) 10+7 10+ 10 10 12 8 440. 答案： 440. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知 a， b， c分别为锐角 ABC内角 A， B， C的对边，且 3 a=2csinA. ( )求角 C. 解析： ( )由正弦定理化简已知等式可得 3 sinA 2sinCsinA，结合 A锐角， sinA 0，可得 sinC= 32，又 C为锐角，即可得解 C的值 . 答案： ( ) 3 a=2csinA， 正弦定理得 3 sinA 2sinCsinA， A锐角， sinA 0， sinC= 32， 又 C

16、为锐角， C=3. ( )若 c= 7 ，且 ABC的面积为 332，求 a+b的值 . 解析： ( )由余弦定理及已知可得 7=a2+b2-ab，又由 ABC的面积公式可得 ab=6，即可得解a+b的值 . 答案： ( )三角形 ABC中，由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC，即 7=a2+b2-ab， 又由 ABC的面积得 1122 3 3 322S a b s i n C a b .即 ab=6， (a+b)2=a2+b2+2ab=25， 由于 a+b为正， a+b=5. 18.某工厂对一批共 50 件的机器零件进行分类检测，其重量 (克 )统计如下： 规定重量在 82 克及以

17、下的为甲型，重量在 85 克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型 2件 . ( )从该批零件中任选 1件，若选出的零件重量在 95， 100内的概率为 0.26，求 m的值 . 解析： ( )根据题设条件，先求出 n的值，进而即可能求出 m. 答案： ( )从该批零件中任选 1件，选出的零件重量在 95， 100内的概率为 0.26， n=50 0.26=13， m=50-5-12-13=20. ( )从重量在 80， 85)的 5件零件中 ，任选 2件，求其中恰有 1件为甲型的概率 . 解析： ( )重量在 80， 85)的 5件零件中，甲型 2 件，乙型 3件，任选 2件，先求出基本事件总数

18、，再求出其中恰有 1件为甲型包含的基本事件个数，由此能求出恰有 1 件为甲型的概率 . 答案： ( )重量在 80， 85)的 5件零件中，甲型 2件，乙型 3件， 从重量在 80， 85)的 5 件零件中，任选 2件，基本事件总数 25 10nC， 其中恰有 1件为甲型包含的基本事件个数 1123 6m C C， 其中恰有 1件为甲型的概率 0.6mpn. 19.如图，已知四棱锥的侧棱 PD底面 ABCD，且底面 ABCD是直角梯形， AD CD， AB CD，AB=AD=12CD=2，点 M在侧棱上 . ( )求证： BC平面 BDP. 解析： ( )证明 BD BC， PD BC，即可证

19、明 BC平面 BDP. 答案： ( )由已知可算得 BD BC 2 2 ， BD2+BC2=16=DC2， 故 BD BC， 又 PD平面 ABCD， BC 平面 ABCD，故 PD BC， 又 BD PD=D，所以 BC平面 BDP. ( )若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 12，点 M 为侧棱 PC 的中点，求异面直线 BM与 PA所成角的余弦值 . 解析： ( )取 PD中点为 N，并连结 AN， MN，则 PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角，在 PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线 BM 与 PA所成角的余弦值 . 答案： ( )如图，取 PD中点为 N，并

20、连结 AN， MN， BM AN， 则 PAN即异面直线 BM与 PA所成角； 又 PA底面 ABCD， PCD 即为 PC与底面 ABCD所成角， 即 tan PCD 12， PD 12CD 2，即 PN 12PD 1， 又 AN 5 ， PA 2 2 ，则在 PAN中， cos PAN 2 2 2 3 1 02 1 0A P A N P NA P A N ， 即异面直线 BM与 PA所成角的余弦值为 3 1010. 20.已知椭圆 M： 222 13xya (a 0)的一个焦点为 F(-1， 0)，左右顶点分别为 A， B.经过点F的直线 l与椭圆 M交于 C， D两点 . ( )求椭圆方

21、程 . 解析： ( )由焦点 F坐标可求 c值，根据 a， b， c的平方关系可求得 a值 . 答案： ( )因为 F(-1， 0)为椭圆的焦点，所以 c=1，又 b2=3， 所以 a2=4，所以椭圆方程为 22143xy. ( )当直线 l的倾斜角为 45时，求线段 CD的长 . 解析： ( )写出直线方程，与椭圆方程联立消掉 y得关于 x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得 |CD|. 答案： ( )因为直线的倾斜角为 45，所以直线的斜率为 1， 所以直线方程为 y=x+1，和椭圆方程联立得到 221431xyyx ，消掉 y，得到 7x2+8x-8=0， 所以 =288， x

22、1+x2= 87， x1x2= 87， 所以 221 2 1 2 1 2 2414 72C D k x x x x x x . ( )记 ABD与 ABC 的面积分别为 S1和 S2，求 |S1-S2|的最大值 . 解析： ( )当直线 l 不存在斜率时可得， |S1-S2|=0；当直线 l 斜率存在 (显然 k 0)时，设直线方程为 y=k(x+1)(k 0)，与椭圆方程联立消 y 可得 x 的方程，根据韦达定理可用 k 表示 x1+x2， x1x2， |S1-S2|可转化为关于 x1， x2的式子，进而变为关于 k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值 . 答案： ( )当直线 l无斜率

23、时，直线方程为 x=-1， 此时 D(-1， 32)， C(-1， 32)， ABD， ABC面积相等， |S1-S2|=0， 当直线 l斜率存在 (显然 k 0)时，设直线方程为 y=k(x+1)(k 0)， 设 C(x1， y1)， D(x2， y2)， 和椭圆方程联立得到 221431xyy k x ，消掉 y得 (3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0， 显然 0，方程有根，且 x1+x2= 22834k k ， x1x2= 224 1234k k ， 此时 |S1-S2|=2|y1|-|y2|=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|

24、 212 1 2 1 2 1 2 3334 3 2 1 24 24kk k kk k ， (k= 32时等号成立 ) 所以 |S1-S2|的最大值为 3 . 21.已知函数 f(x)=2lnx-x2+ax(a R). ( )若函数 f(x)的图象在 x=2处切线的斜率为 -1，且不等式 f(x) 2x+m在 1e， e上有解，求实数 m的取值范围 . 解析： ( )通过求导得到函数 f(x)的图象在 x=2处切线的斜率，由此求得 a=2，得到函数解析式，然后利用分离变量法得到 m 2lnx-x2，利用导数求出 g(x)=2lnx-x2在 1e， e上的最大值得答案 . 答案： ( )由 2 2

25、f x x ax ， 得切线的斜率 k=f(2)=a-3=-1， a=2， 故 f(x)=2lnx-x2+2x， 由 f(x) 2x+m，得 m 2lnx-x2， 不等式 f(x) 2x+m 在 1e， e上有解， m (2lnx-x2)max . 令 g(x)=2lnx-x2，则 2 1 12 2 xxg x xxx ， x 1e， e，故 g (x)=0时， x=1. 当 1e x 1时， g(x) 0；当 1 x e时， g(x) 0. 故 g(x)在 x=1处取得最大值 g(1)=-1， m -1. ( )若函数 f(x)的图象与 x轴有两个不同的交点 A(x1， 0)， B(x2，

26、0)，且 0 x1 x2，求证：12 02xxf (其中 f (x)是 f(x)的导函数 ). 解析： ( )由 f(x)的图象与 x轴交于两个不同的点 A(x1， 0)， B(x2， 0)，可得方程 2lnx-x2+ax=0的两个根为 x1， x2，把两根代入方程后作差得到 1212122 l n x l n xa x xxx，求得 f( 122xx)，然后令12xt x 换元，再通过构造函数，利用导数求出所构造出函数的最大值小于等于 0得答案 . 答案： ( ) f(x)的图象与 x轴交于两个不同的点 A(x1， 0)， B(x2， 0)， 方程 2lnx-x2+ax=0 的两个根为 x1

27、， x2， 则 21 1 122 2 220ln x x a xln x x a x ，两式相减得 1212122 l n x l n xa x xxx， 又 f(x) 2lnx-x2+ax， 2 2f x x ax ，则 1212 121 2 1 2 1 22442l n x l n xxxf x x ax x x x x x ， 要证 121 2 1 224 0l n x l n xx x x x ， 即证明 2111 2 22 0xx xlnx x x ，12xt x ， 0 x1 x2， 0 t 1， 即证明 21 01tu t ln tt 在 0 t 1上恒成立， 22 2 22 1

28、 2 1 11 1 41 1 1t t tutttt t t t ， 又 0 t 1， u(t) 0， u(t)在 (0， 1)上是增函数，则 u(t) u(1)=0，从而知 2111 2 22 0xx xlnx x x . 故 121 2 1 224 0l n x l n xx x x x ，即12 02xxf 成立 . 请考生在 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4-1：几何证明选讲 22.如图，在 ABC中， CD是 ACB的角平分线， ADC的外接圆交 BC 于点 E， AB=2AC ( )求证： BE=2AD. 解析： ( )连接 DE，

29、证明 DBE CBA，利用 AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明 BE=2AD. 答案： ( )连接 DE， ACED是圆内接四边形， BDE= BCA， 又 DBE= CBA， DBE CBA，即有 BE DEBA CA， 又 AB=2AC， BE=2DE， CD是 ACB的平分线， AD=DE， BE=2AD. ( )当 AC=3， EC=6时，求 AD的长 . 解析： ( )根据割线定理得 BD BA=BE BC，从而可求 AD 的长 . 答案： ( )由条件知 AB=2AC=6，设 AD=t， 则 BE=2t， BC=2t+6， 根据割线定理得 BD BA=BE BC， 即 (6-

30、t) 6=2t (2t+6)，即 2t2+9t-18=0， 解得 t 32或 -6(舍去 )，则 AD 32. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 =4，曲线 C的参数方程为 2x cosy sin. ( )写出直线 l与曲线 C的直角坐标方程 . 解析： ( )利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线 l的普通方程，消去参数可得曲线 C的直角坐标方程 . 答案： ( )直线 l的极坐标方程为 =4，所以直线斜率为 1，直线 l： y=x； 曲线 C的参数方程为 2x cosy s

31、in.消去参数， 可得曲线 C： 2 2 12x y . ( )过点 M 平行于直线 l1的直线与曲线 C 交于 A、 B 两点，若 |MA| |MB|=83，求点 M 轨迹的直角坐标方程 . 解析： ( )设点 M(x0， y0)以及平行于直线 l1的直线参数方程，直线 l1与曲线 C联立方程组，通过 |MA| |MB|=83，即可求点 M轨迹的直角坐标方程 .通过两个交点推出轨迹方程的范围 . 答案： ( )设点 M(x0， y0)及过点 M的直线为 l1：002222txxtyy 由直线 l1与曲线 C相交可得： 2 220 0 0 0223 2 2 2 02t t x t y x y

32、， |MA| |MB|=83 220022 83 32xy，即： x02+2y02 6， x2+2y2=6 表示一椭圆 取 y=x+m代入 2 2 12x y 得： 3x2+4mx+2m2-2=0 由 0得 33m 故点 M的轨迹是椭圆 x2+2y2=6 夹在平行直线 3yx 之间的两段弧 . 选修 4-5：不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2. ( )解不等式 |g(x)| 5. 解析： ( )利用 |x-1|+2| 5，转化为 -7 |x-1| 3，然后求解不等式即可 . 答案： ( )由 |x-1|+2| 5，得 -5 |x-1|+

33、2 5 -7 |x-1| 3， 得不等式的解为 -2 x 4. ( )若对任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )利用条件说明 y|y=f(x) y|y=g(x)，通过函数的最值，列出不等式求解即可 . 答案： ( )因为任意 x1 R，都有 x2 R，使得 f(x1)=g(x2)成立， 所以 y|y=f(x) y|y=g(x)， 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|， g(x)=|x-1|+2 2，所以 |a+3| 2，解得 a -1或 a -5， 所以实数 a的取值范围为 a -1或 a -5.