2017年安徽省合肥市高考一模数学理.docx

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1、2017年安徽省合肥市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 M=x|log2x 1，集合 N=x|x2-1 0，则 M N=( ) A.x|1 x 2 B.x|-1 x 2 C.x|-1 x 1 D.x|0 x 1 解析：集合 M=x|log2x 1=x|0 x 2， 集合 N=x|x2-1 0=x|-1 x 1， 则 M N=x|0 x 1. 答案： D. 2.已知复数 z=21 ii(i 为虚数单位 )，那么 z的共轭复数为 ( ) A.3322iB.1322iC.1322iD.3

2、322i解析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 . 答案： B. 3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象，只需将函数 y=cos2x的图象 ( ) A.向左平移4个单位，再向上平移 1个单位 B.向右平移4个单位，再向上平移 1个单位 C.向左平移2个单位，再向下平移 1个单位 D.向右平移2个单位，再向上平移 1个单位 解析：利用诱导公式化简成同名函数，在平移变换 (左加右减，上加下减 )即可 . 答案： B. 4.执行如图的程序框图，则输出的 n为 ( ) A.9 B.11 C.13 D.15 解析：算法的功能是求满足 1 1 1 113 5 2 0 1 7S n 的最大的

3、正整数 n+2 的值，验证S=1 3 13 2017，从而确定输出的 n值 . 答案： C. 5.已知双曲线 24y-x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p 0)的准线交于 A， B 两点， O为坐标原点，若 OAB 的面积为 1，则 p的值为 ( ) A.1 B. 2 C.2 2 D.4 解析：求出双曲线 24y-x2=1 的两条渐近线方程与抛物线 y2=2px(p 0)的准线方程，进而求出 A， B两点的坐标，再由 AOB的面积为 1列出方程，由此方程求出 p的值 . 答案： B. 6. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 cosC=223， bco

4、sA+acosB=2，则 ABC的外接圆的面积为 ( ) A.4 B.8 C.9 D.36 解析：由余弦定理化简已知等式可求 c的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R的值，利用圆的面积公式即可计算得解 . 答案： C. 7.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” .它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等 .设 A、 B为两个同高的几何体，p： A、 B 的体积不相等， q： A、 B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知， p 是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不

5、充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 p q，反之不成立 . p是 q的充分不必要条件 . 答案： A. 8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分 (曲线 C 的方程为 x2-y=0)的点的个数的估计值为 ( ) A.5000 B.6667 C.7500 D.7854 解析：由题意，阴影部分的面积 S= 1 2 3 10013 | 21 3x d x x x ，正方形的面积为 1，利用正方形中随机投掷 10000个点，即可得出结论 . 答案： B. 9.一个几何体的三视图如图所示 (其中正视图的弧线为四分之一圆周 )，则该几何体的表面积为 ( )

6、 A.72+6 B.72+4 C.48+6 D.48+4 解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体，由柱体表面积公式，可得答案 . 答案： A. 10.已知 (ax+b)6的展开式中 x4项的系数与 x5项的系数分别为 135 与 -18，则 (ax+b)6展开式所有项系数之和为 ( ) A.-1 B.1 C.32 D.64 解析：由题意先求得 a、 b的值，再令 x=1求出展开式中所有项的系数和 . 答案： D. 11.已知函数 f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1 在 -1， 3上的最大值为 M，最小值为 m，则M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D

7、.0 解 析 ： 把 已 知 函 数 解 析 式 变 形 ， 可 得 f(x)=(x-1)2-1sin(x-1)+x-1+2 ，令g(x)=(x-1)2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)，结合 g(2-x)+g(x)=0，可得 g(x)关于 (1， 0)中心对称，则 f(x)在 -1， 3上关于 (1， 2)中心对称，从而求得 M+m的值 . 答案： A. 12.已知函数 f(x)=22 1 01 2 1 02x xx x x ， ，方程 f2(x)-af(x)+b=0(b 0)有六个不同的实数解，则 3a+b的取值范围是 ( ) A.6， 11 B.3， 11 C.(6， 11)

8、 D.(3， 11) 解析：作函数 f(x)=22 1 01 2 1 02x xx x x ， ，的图象，从而利用数形结合知 t2-at+b=0 有 2个不同的正实数解，且其中一个为 1，从而可得 -1-a 0且 -1-a 1；从而解得 . 答案： D. 二、填空题 (每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上 ) 13.命题：“ x R， x2-ax+1 0”的否定为 _. 解析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 . 答案： x R， x2-ax+1 0. 14.已知 a =(1， 3)， b =(-2， k)，且 (a +2b ) (3a -b )，则实数 k=_. 解析：利

9、用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出 . 答案： -6. 15.已知 sin2 -2=2cos2，则 sin2 +sin2 =_. 解析：利用同角三角函数的基本关系，求得 cos =0 或 tan =2，从而求得要求式子的值 . 答案： 1或 85. 16.已知直线 y=b与函数 f(x)=2x+3和 g(x)=ax+lnx分别交于 A， B两点，若 |AB|的最小值为2，则 a+b=_. 解析：设 A(x1， b)， B(x2， b)，则 2x1+3=ax2+lnx2=b，表示出 x1，求出 |AB|，利用导数，结合最小值也为极小值，可得极值点，求出最小值，解方程可得 a=1，进而得到

10、b，求出 a+b. 答案： 2. 三、解答题 (本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) 17.已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 S4=24， S7=63. ( )求数列 an的通项公式； ( )若 bn=2na +(-1)n an，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析： ( )利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出 . ( )通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出 . 答案： ( )因为 an为等差数列， 所以 41 171434 2 43276 27 6 32S a d adS a d an=2n+1. ( ) bn=

11、2na +(-1)n an=22n+1+(-1)n (2n+1)=2 4n+(-1)n (2n+1) Tn=2(41+42+ +4n)+-3+5-7+9- +(-1)n(2n+1)= 8 4 13n +Gn， 当 n=2k(k N*)时， Gn=22n=n， Tn= 8 4 13n +n 当 n=2k-1(k N*)时， Gn=2 12n-(2n+1)=-n-2， Tn= 8 4 13n -n-2， Tn= *8 4 1238 4 12 2 13()()nnn n k k Nn n k k N ，. 18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择 . 方案甲：员工最多有

12、两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 45，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得 1000 元；若未中奖，则所获得奖金为 0元 . 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 25，每次中奖均可获得奖金 400元 . ( )求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元 )的分布列； ( )试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解析： ( )利用相互独立事件的概率计算公式即可得出

13、 . ( )利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出 . 答案： ( )P(X=0)= 1 4 1 1 75 5 2 5 2 5 ， P(X=500)= 4 1 25 2 5， P(X=1000)= 4 1 4 85 2 5 2 5 ， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元 )的分布列为 ( )由 ( )可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金 X的均值 E(X)=500 25+1000 825=520， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数 B(3， 25)，则 E( )=3 25=65， 抽奖所获奖金 X的均值 E(X)=E(400 )=400E( )=480， 故选择方案甲较划算 . 1

14、9.如图所示，在四棱台 ABCD-A1B1C1D1中， AA1底面 ABCD，四边形 ABCD为菱形， BAD=120，AB=AA1=2A1B1=2. ( )若 M为 CD中点，求证： AM平面 AA1B1B； ( )求直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值 . 解析： ( )推导出 AM CD， AM AB， AM AA1，由此能证明 AM平面 AA1B1B. ( )分别以 AB， AM， AA1为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，利用向量法能求出直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值 . 答案： ( )四边形为菱形， BAD=120，连结 AC，

15、 ACD为等边三角形， 又 M为 CD 中点， AM CD， 由 CD AB得， AM AB， AA1底面 ABCD， AM 底面 ABCD， AM AA1， 又 AB AA1=A， AM平面 AA1B1B 解： ( )四边形 ABCD为菱形， BAD=120， AB=AA1=2A1B1=2， DM=1， AM=3， AMD= BAM=90， 又 AA1底面 ABCD， 分别以 AB， AM， AA1为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz， 则 A1(0， 0， 2)、 B(2， 0， 0)、 D(-1， 3 ， 0)、 D1(-12， 32， 2)， 1DD=(1

16、2， - 32， 2)， BD =(-3， 3 ， 0)，1AB=(2， 0， -2)， 设平面 A1BD 的一个法向量 n =(x， y， z)， 则有1 0 3 3 0 332 2 0 0n B D xy y x zxzn A B ，令 x=1，则 n =(1， 3 ， 1)， 直线 DD1与平面 A1BD所成角的正弦值： sin =|cos n ，1DD |= 11|15n D Dn D D . 20.已知点 F为椭圆 E： 22xyab=1(a b 0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线42xy=1与椭圆 E有且仅有一个交点 M. ( )求椭圆 E的方程； (

17、)设直线42xy=1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A， B，若|PM|2=|PA| |PB|，求实数的取值范围 . 解析： ( )由题意可得 a， b 与 c 的关系，化椭圆方程为 2243xycc=1，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为 0 求得 c，则椭圆方程可求； ( )由 ( )求得 M 坐标，得到 |PM|2，当直线 l 与 x 轴垂直时，直接由 |PM|2=|PA| |PB|求得值；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y=kx+2，联立直线 方程与椭圆方程，利用判别式大于 0求得 k的取值范围，再由根与系数的关系，结合 |PM|2

18、=|PA| |PB|，把用含有 k的表达式表示，则实数的取值范围可求 . 答案： ( )由题意，得 a=2c， b= 3 c，则椭圆 E为： 2243xycc=1， 联立22243142y cxxy ，得 x2-2x+4-3c2=0， 直线42xy=1与椭圆 E有且仅有一个交点 M， =4-4(4-3c2)=0，得 c2=1， 椭圆 E的方程为 2243xy=1； ( )由 ( )得 M(1， 32)， 直线42xy=1与 y轴交于 P(0， 2)， |PM|2=54， 当直线 l与 x轴垂直时， |PA| |PB|=(2+ 3 )(2- 3 )=1， 由 |PM|2=|PA| |PB|，得

19、=45， 当直线 l与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为 y=kx+2， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立2223 4 1 2 0y k xxy ，得 (3+4k2)x2+16kx+4=0， 依题意得， x1x2=2434k ，且 =48(4k2-1) 0， |PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)2434k =1+2134k =54 ， =45(1+2134k )， k2 14， 45 1， 综上所述，的取值范围是 45， 1). 21.已知函数 f(x)=ex-12ax2(x 0， e为自然对数的底数 )， f (x)是 f(x)的导函数 . ( )当 a=2时，

20、求证 f(x) 1； ( )是否存在正整数 a，使得 f (x) x2lnx对一切 x 0恒成立？若存在，求出 a的最大值；若不存在，说明理由 . 解析 ： ( )求出函数的导数，根据函数的单调性 证明即可 ； ( )求出函数的导数，得到 a e，问题转化为证明当 a=2时，不等式恒成立，设 g(x)=22xexx-lnx，根据函数的单调性证明即可 . 答案： ( )证明：当 a=2时， f(x)=ex-x2，则 f (x)=ex-2x， 令 f1(x)=f (x)=ex-2x，则 f 1(x)=ex-2， 令 f 1(x)=0，得 x=ln2，故 f (x)在 x=ln2时取得最小值， f

21、(ln2)=2-2ln2 0， f(x)在 (0， + )上为增函数， f(x) f(0)=1； ( )f (x)=ex-ax， 由 f (x) x2lnx，得 ex-ax x2lnx对一切 x 0恒成立， 当 x=1时，可得 a e，所以若存在，则正整数 a的值只能取 1， 2. 下面证明当 a=2时，不等式恒成立， 设 g(x)=22xexx -lnx，则 g (x)= 3 2 322 21 xx x e xxex x x x ， 由 ( )ex x2+1 2x x， ex-x 0(x 0)， 当 0 x 2时， g (x) 0；当 x 2时， g (x) 0， 即 g(x)在 (0， 2

22、)上是减函数，在 (2， + )上是增函数， g(x) g(2)=14(e2-4-4ln2) 14(2.72-4-4ln2) 14(3-ln16) 0， 当 a=2时，不等式恒成立， 所以 a的最大值是 2. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知直线 l的参数方程为 11 233xtyt (t为参数 )以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的方程为 sin - 3 cos2 =0. ( )求曲线 C的直角坐标方程； ( )写出直线 l与曲线 C交点的一个极坐标 . 解析： ( )利用

23、极坐标与直角坐标互化方法，求曲线 C的直角坐标方程； ( )将 11 233xtyt ，代入 y- 3 x2=0 得， 3 + 3 t- 3 (1+12t)2=0，求出交点坐标，即可直线 l与曲线 C交点的一个极坐标 . 答案： ( ) sin - 3 cos2 =0， sin - 3 2cos2 =0， 即 y- 3 x2=0； ( )将 11 233xtyt ，代入 y-3 3 2=0得， 3 + 3 t- 3 (1+12t)2=0，即 t=0， 从而，交点坐标为 (1， 3 )， 所以，交点的一个极坐标为 (2，3). 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x-m|-|x

24、+3m|(m 0). ( )当 m=1时，求不等式 f(x) 1的解集； ( )对于任意实数 x， t，不等式 f(x) |2+t|+|t-1|恒成立，求 m的取值范围 . 解析： ( )将 m=1的值带入，得到关于 x的不等式组，求出不等式的解集即可； ( )问题等价于对任意的实数 xf(x) |2+t|+|t-1|min恒成立，根据绝对值的性质求出 f(x)的最大值以及 |2+t|+|t-1|min，求出 m的范围即可 . 答案： ( )f(x)=|x-m|-|x+3m|=42 2 343m x mx m m x mm x m ， 当 m=1时，由 2 2 131xx 或 x -3，得到 x -32， 不等式 f(x) 1的解集为 x|x -32； ( )不等式 f(x) |2+t|+|t-1|对任意的实数 t， x恒成立， 等价于对任意的实数 xf(x) |2+t|+|t-1|min恒成立， 即 f(x)max |2+t|+|t-1|min， f(x)=|x-m|-|x+3m| |(x-m)-(x+3m)|=4m， |2+t|+|t-1| |(2+t)-(t-1)|=3， 4m 3又 m 0，所以 0 m 34.