湖南省常德市2019届高三数学上学期检测考试试题理.doc

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1、- 1 -2018-2019 学年度上学期高三检测考试数 学（理科试题卷）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，时量 120 分钟注意事项：1所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答2考试结束后，只交答题卡第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 ，则623|,04|2 xBxAAB=IA B C D ),23()(),()3,2(2已知复数 （ 是虚数单位） ，则 的实部为iz1zA B C D 55351513如图是一个边长为 5 的正方形二维码，为了测

2、算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 500 个点，其中落入黑色部分的有 300 个点，据此可估计黑色部分的面积为 A. B. C D 171615144阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 ， ，则输出x=-y的值为zA B C D 525423125 张丘建算经卷上第 22 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈 ”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 1 天织了 5 尺布，现在一月（按 30 天计算）共织 390尺布.此问题中若记该女子一月中的第 天所织布的尺数为 ，则 的值nna174为A56 B52 C28

3、 D26第 3 题图第 4 题图- 2 -6.已知函数 的图像向左平移 个单位长度，横坐标伸长为原来的xxf2cossin3)(32 倍得函数 的图像，则下列区间为 的单调递增区间的是g)(gA B C D)0,()6,2()6,0)32,6(7已知 ， ， ，则 的大小关系是32a=2.b3log2cabc，A B C D cbacab8函数 的部分图象大致为 lnosxyA B C D9.如图，网格线上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为A B 83(1)+43(2)+C D4(2)8(1)10已知双曲线 的右焦点为 ,

4、以 为圆心,实半轴长为半径)0,(:2bayxF的圆与双曲线 的某一条渐近线交于两点 ，若 （其中 为原点） ，则双曲PQ，3OP=ur线 的离心率为A B C D 75252711已知 是 上的偶函数， ，当 时， ，则)(xfR)()(xfxf0xfsin)(函数 的零点个数是ylgA. 12 B. 10 C. 6 D. 5第 9 题图- 3 -12已知 的三个内角 所对的边为 ，面积为 ，ABCCBA、 cba、 S且 ，则 等于2()tan3bcS+=A. B. C. D.6432第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，第 22 题第

5、 23 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13设向量 a=(3，1)， b=(1， m)，且( a+2b) a，则| b|=_.14已知 ，且 满足 ，则 的最大值为_.Ryx,yx,41yyxz315已知 的展开式的各项系数和为 243,则展开式中 的二项式系数为_.n)12(3 716已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，点 为抛物线准线上相)0(pxyFO，MN，异的两点，且 两点的纵坐标之积为 ，直线 ， 分别交抛物线于 ， 两MN， 4- AB点，若 三点共线，则 _.AFB三、解答题： 解答应写

6、出文字说明证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，na1a=，数列 的前 项和为1237a+=nb-2S=（）求 ；n（）求数列 bn的前 n 项和 T- 4 -18(本小题满分 12 分)如图，在直三棱柱 中， ， ， ，1CBA21A31C120BAC为线段 的中点， 为线段 上一动点（异于点 ） ， 为线段 上一动点，O1CBP、 Q且 ；QP（）求证：平面 平面 ；1A1O（）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. BO/PQA19.(本小题满分 12 分)某地因受天气，春季禁渔等因素影响，政府规定每年的 7 月 1 日以后的 100 天为当

7、年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为 40t 的 20 艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计，如下表所示：捕鱼量(单位：吨) )105，)5，)201，)25，30，频数 2 7 7 3 1根据气象局统计近 20 年此地每年 100 天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表（捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼，非晴好天气不捕鱼）：晴好天气(单位：天)605，)7，)80，)9，10，频数 2 7 6 3 2（同组数据以这组数据的中间值作代表）（）估计渔业捕捞队吨位为 40t 的渔船单次出海的捕鱼量的平均数 ；x第 18 题图- 5 -（）已知当地鱼价为 2 万元/吨，此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时，每天成本为 10

8、 万元/艘，若不捕鱼，每天成本为 2 万元/艘，若以（）中确定的 作为上述吨位的捕鱼船在晴好天x气捕鱼时一天的捕鱼量.请依据往年天气统计数据，试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率；设今后 3 年中，此种捕鱼船每年捕鱼情况一样，记一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的年数为 X，求 X 的分布列和期望.20(本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的左、右焦点，过右焦点2:1(0)xyCab212,F的直线与椭圆交于 两点，且 的周长为 .2FMN、 1N4（）求椭圆 的方程；（）若点 是第一象限内椭圆上一点，且在 轴上的正投影为右焦点 ，过点 作直线Ax2

9、FA分别交椭圆于 两点，当直线 的倾斜角互补时，试问：直线 的斜,GH,G,AGHGH率是否为定值；若是，请求出其定值；否则，请说明理由.21(本小题满分 12 分)已知函数 .2ln()fxax=- 6 -（）讨论 的单调性；()fx（）若 为曲线 上两点， 1212,)(AyBx2=，数列 前 n 项和为 .cbacnS由 解得 . 8 分 1,2.nnS1n10 分 1123(21)(2)+nnTaan-=+=-+LLL12分221nn-=+-法二：由题设 2nS=211()()()nbaba-+-=L- 9 -21212()()nnbba+-+=LL.9 分即=2212 11nnnbb

10、-L12 分2nT=-+18.（本小题满分 12 分）解：（I）证明：因为 ， 为线段 的中点，211CABO1CB所以 , 1 分1OA在直三棱柱 中，易知 ，111A平 面，而 ；11CCB， ； 3 分1OA平 面OQP1又因为 ， ；QPD所以 ， 4 分1平 面又 ；所以 ； 5 分A平 面OPAQ11平 面平 面 （II）由（I）可建立如图空间直角坐标系 ，xyz因为 所以 ，120BC31COB则 ,(,)(,3),(0)O-,10A-设 ， 7 分(,),(0,2)PaQb所以 ，3,(0,32)OB=-=-urur因为 ， ，OP/所以 ,QP,0- 10 -，(3)(23)

11、02ba-+-=解得： （ 异于点 ） 8 分4,P1C,1333(,),(0,),(0,)222APQOP=-=ururur设平面 的法向量为 ，则 1(,)nxyzr1nAQr即 ，可取 ， 10 分0234zyx(53,42)=-r设直线 与平面 所成角为 ，OPQA1则 11 分43219sin5+=ru直线 与平面 所成角的正弦值为 . .12 分OPQA1 19（也可利用几何方法解答，找线面角并证明得 3 分，求值得 3 分）19 （本小题满分 12 分）解：（）此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为：吨 3 分27317.5152.7.560020x（）设每年 100 天的捕鱼期内

12、晴好天气天数为 ，x则年利润为 (62)(1)4yx=-=-由 得： 5 分8201x-75一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元，即捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75 天又 100 天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于 75 天的频率为 320.4+=预测一艘此种捕鱼船年利润不少于 1600 万元的概率为 .7 分04- 11 -由题可知：随机变量 的可能取值为 0，1，2，3，且 8 分XX2(3)5B，03327()()5PXC=142136()()210 分085PXC=的分布列为： X0 1 2 3P2754658112 分5623EX20.（本小题满分 12 分）解：（）由题设知

13、，2cea由椭圆的定义知： 的周长为 ，解得 . 1FMN42a故 因此 ，所以椭圆的方程为 . .5 分1,cb21xy（）证明：依题意知，点 ，设(1,)2A12(,)(,)GHxy直线 的方程为： ，AG()ykx联立 ，得 ，22(1)0ykx222(1)(4)10kxk则 ， 即 ，.8 分214AGkxx211xk又 ，21()kyk即 ， ）(G212k- 12 -又直线 的倾斜角互补，则直线 的斜率为AGH， AHk-同理可得： ， ） ， .10 分(21k2k因此，直线 的斜率为 为定值. .12 分GH2214ykkx21.（本小题满分 12 分）解：（） ()()2ln

14、fxaxx=-Q；.2 分()211212aaxf -+- =当 时， ， 在 上单调递增； 0a()0fxxf,0当 时，令 ，得 ，令 ，得 ；a10xfax1所以，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；xf ,当 时， 的单调递增区间为 ，0a()的单调递减区间为5 分xf 1,a+（）要证 12121yxf 即证 12122122121 lnln xaxaxxaxx 即证 ；1221ln即证 ； 7 分 1212l)(xx令 ，构造函数 ，12t 214ln1)(2ln)( tttg- 13 -则,0)1()(4122tttg所以 在 上单调递增; 9 分),，即 成立，所以

15、成立，11 分0)1(gt 0)(12x1212ln)(xx所以 成立. 12 分12121yxf 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22 （本小题满分 10 分）解：()曲线 的普通方程为 ，由普通方程与极坐标方程的互化公式的 的极坐C1xyC标方程为： ，即 . .2 分(cosin)sin()4曲线 的极坐标方程为： . .5 分Mco()因为 与 以点 为顶点时，它们的高相同，OBAM即 .6 分|MAS由()知， ，1| ,|4cossincoABO所以 24co()2sinOB=+=+.8 分2(1sins2)i()4+由 得 ，0,544所以当 即 时， 有最大值为.9 分2,8|OAB2- 14 -因此 的最大值为 . .10 分OMBAS223 （本小题满分 10 分）解：()当 ， ，.1 分,1baxgf22x等价于 或 ，解得 ，4 分22x2 1所以原不等式的解集为 ；5 分1()因为 ，xg1所以函数 的图像关于直线 对称， 6 分 x1b因为 恒成立，等价于 恒成立，f332xax令 ，当 时， ，可知 ；tx11x2()t+=t0,()2tt原不等式等价于 ；minat当 时， ； 9 分1xR综上， 的取值范围为 . 10 分2,(- 15 -