广东省佛山市第一中学2018_2019学年高二数学下学期第一次段考（4月）试题文.doc

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1、1广东省佛山市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期第一次段考（4 月）试题 文本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.注意事项:1答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目2请将答案正确填写在答题卡上第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点 的直角坐标是 ，则点 的极坐标为 M1,3M( )A. B. C. D. 2,3,2,2,3kZ2.设点 的柱坐标为 ，则 的直角坐标是 ,76( )A. B. C. D. 1,373,1

2、,733,713.极坐标系中，点 ， 之间的距离是 ,6A5,B( )A. B. C. D. 107131034.曲线 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为： ，则曲线 的方程为 C123xy2xyC( )A. B. C. D. 2914x2419x21492491xy5.在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的伸缩变换公式是 sin3ysinyx( )A. B. C. D. 32xy2xy312312xy6.在极坐标系中，圆 上的点到直线 距离的最大值是 8sin3R( )A. B. C. D. 471627.直线 被曲线 所截的弦长为 415()3xty为 参 数 2cos4( )A. B. C

3、. D. 1571075578.将函数 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 倍,再把所得的图象沿 轴向yfx 2x右平移 个单位,这样所得的曲线与 的图象相同 ,则函数 的表达式是( )23ysinxyfxA. B. C. D. ()3sinfx()co2f()3sin()2fx3sin()24xf9.曲线 的极坐标方程为 , 直线 与曲线 交于 两点，Cs(0):4lRCAB、则 为（ ）ABA. B. C. D. 442884210.点 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值为 ,Pxy31xy2xy( )A. B. C. D. 2 111.已知双曲线 的两顶点为 ， ，虚轴两端

4、点为 ， ，两焦点为 ， 若以21(0,)xyabA1 A2 B1 B2 F1 F2.为直径的圆内切于菱形 ，则双曲线的离心率为 A1A2 F1B1F2B2 ( )A. B. C. D. 355312.已知函数 .若存在 ，使得 ，则实数 的取值范xfebR1,2x()0fxfb围是A. B. C. D. 8,35,635,268,3第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用 列联表2进行独立性检验，经计算 ，则至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系

5、”2=7.069K3P(K2 k) 0.10 0.0500.0250.0100.001k2.706 3.841 5.0216.63510.82814.观察下列各式： ， ， ， ， ，则1ab2334ab47ab51ab9ab15.在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为 的抛物线xOy21(0,)xyabF交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为_2(0)xpyAB， 4FBO16.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作的 垂线，垂足为2(,0)xtp为 参 数 lAl，设 ， 与 相交于点 . 若 ，且 的面积为 ，则 的值为B7,02CpAFBCE2CFACE32p_三

6、、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)如图，在三棱锥 中， ， ，点 E、 F 分别为 AC、 AD 的中点=求证： 平面 BCD；(1) /2 求证：平面 平面 ABD.() 18.(本小题满分 12 分)随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚 车的使用费用，尤其是随着使.用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题 某汽车销售公司作了一.次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限 与所支出的总费用 （万元）xy有如表的数据资料：使用年限 x2 3 4 5 6总费用

7、y2.2 3.8 5.5 6.5 7.0(1) 在给出的坐标系中做出散点图；求线性回归方程 中的 、 ；(2) bxab估计使用年限为 年时，车的使用总费用是多少？(3) 12（最小二乘法求线性回归方程系数公式 ， .）12niixyaybx419.(本小题满分 12 分)已知函数 2lnfx（1）求曲线 在点 处的切线方程；1,f（2）求函数 的单调区间fx20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极xOyl1,0x轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 C28cos写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；(1) l若 ，

8、设直线 与曲线 交于 两点，求(2) 4lAB， .(3)在（2）条件下，求 的面积OA21.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ；以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴xyC3cos()inxy为 参 数 Ox建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 E16求椭圆 的极坐标方程，及圆 的普通方程；(1) E若动点 在椭圆 上，动点 在圆 上，求 的最大值；(2) MCNMN若射线 分别与椭圆 交于点 ，求证： 为定值.(3),4CPQ、 221|OPQ22.(本小题满分 12 分)如图，已知椭圆 ： 的离心率是 ，一个顶点是 C21(0)xyab320,1B 求椭圆 的方程；( )

9、 设 是椭圆 上异于点 的任意两点，且 .试问：直线( ) PQ， BBPQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由52018-2019 年佛山市第一中学高二下学期第一次段考答案（文科数学）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B B C A C D A B C D B A13.99 14.7615. 16.y=22x 610.解：由椭圆 化为 ，设 ， ，2x2+3y2=12x26+y24=1 x= 6cos y=2sin，其中 x+2y= 6cos +4sin = 22( 622cos + 422sin) = 22sin( +) 22tan =64的最大值为

10、x+2y 2211.解：由题意可得 ， ， ， ， ， ，A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,b)B2(0,-b)F1(-c,0)F2(c,0)且 ，菱形 的边长为 ，a2+b2=c2 F1B1F2B2 b2+c2由以 为直径的圆内切于菱形 ，A1A2 F1B1F2B2运用面积相等，可得 ，即为 ，即有 ，122b2c=12a4b2+c2 b2c2=a2(b2+c2) c4+a4-3a2c2=0由 ，可得 ，解得 ，可得 ， 舍去 e=ca e4-3e2+1=0 e2=352 e=1+ 52 (5-12 )12.解： ， ， f(x)=ex(x-b) f(x)=ex(x-b+1)若存在 ，

11、使得 ，则若存在 ，使得x 12,2 f(x)+xf(x)0 x 12,2，ex(x-b)+xex(x-b+1)0即存在 ，使得 成立，x 12,2 b0 g(x)12,2，故 ， g(x)最大值 =g(2)=83 b0)x2a2-y2b2=1(a0,b0) a2y2-2pb2y+a2b2=0， ， ， ， yA+yB=2pb2a2 |AF|+|BF|=4|OF| yA+yB+2p2=4p2 2pb2a2 =pba= 22该双曲线的渐近线方程为： y=22x.16.解：抛物线 为参数， 的普通方程为： 焦点为 ，如图：过抛物线上一x=2pt2y=2pt(t p0) y2=2px F(p2,0)

12、点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，设 ， AF 与 BC 相交于点 ，C(72p,0) E.|CF|=2|AF|， ， ，|CF|=3p|AB|=|AF|=32p A(p,2p)6的面积为 ， ，可得 ACE 32AEEF=ABCF=12 13S AFC=S ACE即： ，解得 13123p2p=32 p= 617. 证明：在 中， ， F 是 AC， AD 的中点，( ) ， 1 分 /平面 BCD， 平面 BCD，平面 BCD 4 分 / 证明：在 中， ， ，( ) /， 5 分 在 中， ， F 为 AD 的中点， =， 6 分 平面 EFB， 平面 EFB，且 ， =平面 EFB，

13、 9 分 平面 ABD， 平面 平面 ABD10 分 18.解： 散点图如图，由图知 y 与 x 间有线性相关关系(1)3 分， ， ， ，(2) x=4 y=55i=1xiyi=112.35i=1x2i=90； b=112.3-54590-542 =12.310=1.23 9a=y-bx=5-1.234=0.08分线性回归直线方程是 ，(3)y=1.23x+0.08当 年 时， 万元 x=12()y=1.2312+0.08=14.84()即估计使用 12 年时，支出总费用是 万元12 分14.8419.解： 依题意，函数 的定义域为 ， 且 ，2 分( ) f(x) (0,+ )， ，4 分

14、f(1)=1曲线 在点 处的切线方程为： y=f(x) (1,f(1)即 ； 6 分y-1=x-1 y=x 依题意，函数 的定义域为 ，且 ，( ) f(x) (0,+ )令 ，解得， 或 ，8 分x22 x- 227令 ，解得 ，10 分0x22故函数 的单调增区间为 ，函数的单调递减区间为 12 分f(x) (22,+ ) (0,22)20.解： 直线 L 的参数方程为： 为参数 2 分(1) x=1+tcosy=tsin ( )曲线 C 的极坐标方程是 ，即 ，3 = 8cos1-cos2 sin8cos（ ）分由 ， 得，4 分cosxsinyC 的直角坐标方程为： ；5 分y2=8x

15、当 时，直线 l 的参数方程为： 为参数 ，6 分(2) = 4 x=1+ 22ty= 22t (t )代入 得到： 和 为 A 和 B 的参数 ，7 分y2=8x t2-82-16=0.(t1 t2 )所以： ， 9 分t1+t2=82 t1t2=-16所以： 10 分|AB|=|t1-t2|=83（3） O 到 AB 的距离为： 11 分d=1sin 4= 22则： 12 分S AOB=1283 22 =2621.解 椭圆 C 化为普通方程为： ；(1)219xy将 ， 代入的 C 的极坐标方程为 2 分cosxsiny22cosin19又圆 E 的普通方程： ，216由 ， 得， 即 4

16、 分22xysi216xy22(8)64xy由 知圆心为 ，半径为 8，则 5 分 ，(2)(1) E(0,8) |MN|max=|ME|max+8利用椭圆参数方程，设 ： M(3cos, sin )得 ，7 分|ME|= (3cos )2+(sin -8)2= 73-8sin2 -16sin = 81-8(sin +1)2当 时， ，则 8 分sin1即8椭圆 C 极坐标方程：(3)1 2=cos29 +sin2因为射线 互相垂直，即 ，9 分 =+ 4, =- 4 OP OQ所有设： ，所以 10 分112+122=cos2 +sin29 +cos2 +sin2 =109为定值12 分1|

17、OP|2+ 1|OQ|2=10922 解：设椭圆 C 的半焦距为 依题意，得 ，1 分( ) c. b=1且 ， 3 分e2=c2a2=a2-1a2 =34解得 4 分所以，椭圆a2=4.C 的方程是 5 分x24+y2=1. 证法一：易知，直线 PQ 的斜率存在，设其方程为 6 分( ) y=kx+m.将直线 PQ 的方程代入 ，x2+4y2=4消去 y，整理得 7 分(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设 ， ，P(x1,y1) Q(x2,y2)则 ， 8 分x1+x2=- 8km1+4k2 x1x2=4m2-41+4k2.因为 ，且直线 BP， BQ 的斜率均存在，BP BQ所

18、以 ，整理得 9 分y1-1x1 y2-1x2 =-1 x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0.因为 ， ，y1=kx1+m y2=kx2+m所以 ，y1+y2=k(x1+x2)+2my1y2=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2.将 代入 ，整理得 10 分 (1+k2)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0.将 代入 ，整理得 11 分 5m2-2m-3=0.解得 ，或 舍去 m=-35 m=1( )所以，直线 PQ 恒过定点 12 分(0,-35).证法二：直线 BP， BQ 的斜率均存在，设直线 BP 的方程为 6 分y=kx+1.9将直线 BP 的方程代入 ，消

19、去 y，得 7 分x2+4y2=4 (1+4k2)x2+8kx=0.解得 ，或 8 分x=0x= -8k1+4k2.设 ，所以 ， ，P(x1,y1)x1= -8k1+4k2 y1=kx1+1=1-4k21+4k2所以 9 分P( -8k1+4k2,1-4k21+4k2).以 替换点 P 坐标中的 k，可得 10 分从而，-1k Q( 8k4+k2,k2-4k2+4).直线 PQ 的方程是 y-1-4k21+4k21-4k21+4k2-k2-4k2+4=x+ 8k1+4k2-8k1+4k2- 8k4+k2依题意，若直线 PQ 过定点，则定点必定在 y 轴上 11 分.在上述方程中，令 ，解得 x=0 y=-35所以，直线 PQ 恒过定点 12 分(0,-35).