2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结讲义（含解析）湘教版选修2_1.doc

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1、1第 2 章 圆锥曲线与方程1圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为 Ax2 By21( A0， B0， A B)；双曲线方程为 Ax2 By21( AB0， b0)的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )52 x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23解析：根据双曲线 C 的渐近线方程为 y x，52可知 .ba 52又椭圆

2、1 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，x212 y23所以 a2 b29.根据可知 a24， b25，所以 C 的方程为 1.x24 y25答案：B4抛物线 y22 px(p0)上有 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)三点， F 是它的焦点，若| AF|，| BF|，| CF|成等差数列，则( )A x1， x2， x3成等差数列5B y1， y2， y3成等差数列C x1， x3， x2成等差数列D y1， y3， y2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF| AA|，| BF| BB|，| CF| CC|.2| BF| AF| CF|，2| BB| AA| CC

3、|.又| AA| x1 ，| BB| x2 ，| CC| x3 ，p2 p2 p22 x1 x3 2x2 x1 x3.(x2p2) p2 p2答案：A直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 x y2 0 的距离为 3.2(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线 y kx m(k0)相交于不同的两点 M， N，当| AM| AN|时，求 m 的取值范围解 (1)依题意可设椭圆方程为 y21( a1)，x2a2则右焦点 F( ，0)，a2 1由题设，知 3，|a2 1 22|2解得 a23，故所求椭圆的方程为 y21.x23(2)设点 P

4、 为弦 MN 的中点，由Error!得(3 k21) x26 mkx3( m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 00，2m 13解得 m ，12故所求 m 的取值范围是 .(12， 2)讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于 x(或 y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1 x2， x1x2(或 y1 y2， y1y2)进而解决了与“距离” “中点”等有关的问题5设抛物线 y24 x 截直线 y2 x k 所得弦长| AB|3 .5(1)求 k 的值；(2)以弦 AB 为底边， x 轴上的 P

5、点为顶点组成的三角形面积为 39 时，求点 P 的坐标解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 4x24( k1) x k20， 16( k1) 216 k20， k .12又由根与系数的关系有 x1 x21 k， x1x2 ，k24| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 1 22 x1 x2 2 4x1x2 ，5 1 2k即 3 ， k4.5 1 2k 5(2)设 x 轴上点 P(x,0)， P 到 AB 的距离为 d，则 d ，|2x 0 4|5 |2x 4|5S PAB 3 39，12 5 |2x 4|5|2 x4|26， x15 或 x11. P 点

6、坐标为(15,0)或(11,0).7圆锥曲线中的定点、定值、最值问题例 4 (2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)，四点 P1(1,1)， P2(0，1)，x2a2 y2b2P3 ， P4 中恰有三点在椭圆 C 上( 1，32) (1， 32)(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明： l 过定点解析 (1)由于 P3， P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3， P4两点又由 知，椭圆 C 不经过点 P1，1a2 1b21a2 34b2所以点 P2在椭圆 C 上因此Er

7、ror! 解得Error!故椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x t，由题设知 t0，且| t|0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1而 k1 k2 y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 .2kx1x2 m 1 x1 x2x1x2由题设 k1 k21，8故(2 k1) x1x2( m1)( x1 x2)0.即(2 k1) ( m1) 0.4m2 44k2 1 8km4k2 1解

8、得 k .m 12当且仅当 m1 时， 0，于是 l： y x m，即 y1 (x2)，所以 lm 12 m 12过定点(2，1)(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法” (2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决6设椭圆 1 上的动点 P(x， y)，点 A(

9、a,0)(0 a3)若| AP|的最小值为 1，x29 y24求 a 的值解：| AP|2( x a)2 y2( x a)24 (1x29) 2 4.59(x 9a5) 4a25因为 1 ，所以 1,0| x|3.x29 y24 x29(1)当 0 3，即 0 a 时，9a5 53x ，| AP|2取最小值 4 1.9a5 4a25解得 a .因为 ，所以 a 不存在152 152 53(2)当 3，即 a3 时，9a5 53x3，| AP|2取最小值 24 1.59(3 9a5) 4a25解得 a2 或 a4(舍)所以，当 a2 时，| AP|的最小值为 1.97过抛物线 y22 px(p0

10、)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC x 轴，证明：直线 AC 经过原点 O.证明：如图所示抛物线 y22 px(p0)的焦点为F ，(p2， 0)经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x my ，代入抛物线方程得p2y22 pmy p20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1， y2是该方程的两个根， y1y2 p2， BC x 轴，且点 C 在准线 x 上，p2点 C 的坐标为 ，(p2， y2)故直线 CO 的斜率 k ，y2 p2 2y2p y1x1即 k 也是直线 OA 的斜率，直线 AC 经过原点 O.(时间 120

11、 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.23 59解析：根据题意知， a3， b2，则 c ，椭圆的离心率 e .a2 b2 5ca 53答案：B102如果方程 x2 ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是( )A(1，) B(1,2)C. D(0,1)(12， 1)解析：由 x2 ky22，得 1，x22 y22k又椭圆的焦点在 y 轴上， 2，即 0 k1.2k答案：D

12、3若抛物线 x22 ay 的焦点与椭圆 1 的下焦点重合，则 a 的值为( )x23 y24A2 B2C4 D4解析：椭圆 1 的下焦点为(0，1)，x23 y24 1，即 a2.a2答案：A4 是任意实数，则方程 x2 y2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：由于 R，对 sin 的值举例代入判断sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆答案：C5已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为 ， E 的右焦点与抛物线 C： y28 x 的焦12点重合， A， B 是 C 的准线

13、与 E 的两个交点，则| AB|( )A3 B6C9 D12解析：抛物线 y28 x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又 ， a4， b2 a2 c212，ca 1211从而椭圆的方程为 1.x216 y212抛物线 y28 x 的准线为 x2， xA xB2，将 xA2 代入椭圆方程可得| yA|3，由图象可知| AB|2| yA|6.故选 B.答案：B6设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，过 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点，若直线 l 的倾斜角为 45，则弦 AB 的中点坐标为( )A(1,0) B(2,2)C(3,2) D(2,4)解析：依题

14、意得，抛物线 C 的方程是 y24 x，直线 l 的方程是 y x1.由Error!消去y 得( x1) 24 x，即 x26 x10.因此线段 AB 的中点的横坐标是 3，纵坐标是 y312.所以线62段 AB 的中点坐标是(3,2)答案：C7过双曲线 1( a0， b0)的左焦点 F( c,0)(c0)作圆 x2 y2 的切线，x2a2 y2b2 a24切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 ( )，则双曲线的离心率为( )OE 12 OF OP A. B.102 105C. D.10 2解析：设双曲线右焦点为 M， OE PF，在直角三角形 OEF 中，| EF| .又c2 a

15、24 ( )，OE 12 OF OP E 是 PF 的中点| PF|2 ，| PM| a.c2 a24又| PF| PM|2 a，2 a2 a.c2 a24离心率 e .ca 102答案：A8已知| |3， A， B 分别在 y 轴和 x 轴上运动， O 为原点，AB 12 ，则动点 P 的轨迹方程是( )OP 13OA 23OB A. y21 B x2 1x24 y24C. y21 D x2 1x29 y29解析：设 P(x， y)， A(0， y0)， B(x0,0)，由已知得( x， y) (0， y0) (x0,0)，13 23即 x x0， y y0，所以 x0 x， y03 y.2

16、3 13 32因为| |3，所以 x y 9，AB 20 20即 2(3 y)29，(32x)化简整理得动点 P 的轨迹方程是 y21.x24答案：A9已知双曲线 1 的左、右焦点分别是 F1， F2， P 是双曲线上的一点，若x29 y216|PF1|7，则 PF1F2最大内角的余弦值为( )A B.17 17C. D.59117 1113解析：由双曲线定义知| PF2| PF1|2a.所以| PF2|13 或| PF2|10)与直线 l： x y1 相交于两个不同的点，则双曲线x2a2C 的离心率 e 的取值范围为( )A.(62， 2)B( ，)2C.(62， )13D. ( ，)(62

17、， 2) 2解析：由Error!消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则 1 a20 a21，且此时 4 a2(2 a2)0a20)，圆的方程为 x2 y2 r2.| AB|4 ，| DE|2 ，2 5抛物线的准线方程为 x ，p2不妨设 A ， D .(4p， 22) ( p2， 5)点 A ， D 在圆 x2 y2 r2上，(4p， 22) ( p2， 5)Error! 8 5， p4(负值舍去)16p2 p24 C 的焦点到准线的距离为 4.答案：B12已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 1( ab0)的左焦点， A， B 分别

18、为 C 的x2a2 y2b2左、右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )A. B.13 12C. D.23 34解析：如图所示，由题意得 A( a,0)， B(a,0)， F( c,0)设 E(0， m)，由 PF OE，得 ，|MF|OE| |AF|AO|则| MF| .m a ca14又由 OE MF，得 ，12|OE|MF| |BO|BF|则| MF| .m a c2a由得 a c (a c)，即 a3 c， e .12 ca 13答案：A二、填空题(本大题

19、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13已知 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点，若x225 y29|F2A| AB|6，则| F2B|_.解析：由椭圆定义知| F1A| F2A| F1B| F2B|2 a10，所以|F1A|10| F2A|4，| F1B| AB| F1A|2，故| F2B|10| F1B|8.答案：814已知点 P 是抛物线 y22 x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的坐标是，则| PA| PM|的最小值是_(72， 4)解析：设抛物线焦点为 F，则| PM| PF| ，12| PA

20、| PM| PA| PF| .当且仅当 A， P， F 共线时| PA| PF|取最小值为12|AF|5，| PA| PM|最小值为 .92答案：9215设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标x225 y216为(6,4)，则| PM| PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知|PF1| PF2|10，| PF1|10| PF2|，| PM| PF1|10| PM| PF2|，易知 M 点在椭圆外，连接 MF2并延长交椭圆于点 P，此时| PM| PF2|取最大值| MF2|，故| PM| PF1|的最大值为 10| MF2|10 15. 6 3 2

21、 42答案：1516已知动点 P 与双曲线 x2 y21 的两个焦点 F1， F2的距离之和为定值，且cos F1PF2的最小值为 ，则动点 P 的轨迹方程为_1315解析： x2 y21， c .2设| PF1| PF2|2 a(常数 a0)，2 a2c2 ，2 a .2由余弦定理有cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| |PF1| |PF2| 2 2|PF1|PF2| |F1F2|22|PF1|PF2| 1，2a2 4|PF1|PF2| PF1|PF2| 2 a2，(|PF1| |PF2|2 )当且仅当| PF1| PF2|时，|PF1|PF2|取

22、得最大值 a2.此时 cos F1PF2取得最小值 1.2a2 4a2由题意 1 ，解得 a23，2a2 4a2 13 b2 a2 c2321. P 点的轨迹方程为 y21.x23答案： y21x23三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设 F(1,0)， M 点在 x 轴上， P 点在 y 轴上，且 2 ，MN MP ，当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程PM PF 解： 2 ，故 P 为 MN 中点MN MP 又 ， P 在 y 轴上， F 为(1,0)，PM PF 故 M 在 x 轴

23、的负方向上设 N(x， y)，则 M( x,0)， P ，( x0)(0，y2) ， .PM ( x， y2) PF (1， y2) ， 0，即 x 0.PM PF PM PF y2416 y24 x(x0)是轨迹 C 的方程18(本小题满分 12 分)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(2,0)， F2(2,0)，双曲线 C 上一点 P 到 F1， F2距离差的绝对值等于 2.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A， B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程解：(1)依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a1，焦半

24、距为 c2，所以其虚半轴长b .c2 a2 3又其焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的标准方程为 x2 1.y23(2)设 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则Error! 两式相减，得 3(x1 x2)(x1 x2)( y1 y2)(y1 y2)0.因为 M(2,1)为 AB 的中点，所以Error!所以 12(x1 x2)2( y1 y2)0，即 kAB 6.y1 y2x1 x2故 AB 所在直线 l 的方程为 y16( x2)，即 6x y110.19(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y t(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：

25、 y22 px(p0)于点 P， M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ；|OH|ON|(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得 M(0， t)， P .(t22p， t)又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N ，(t2p， t)故直线 ON 的方程为 y x，pt将其代入 y22 px 整理得 px22 t2x0，解得 x10， x2 .因此 H .2t2p (2t2p， 2t)所以 N 为 OH 的中点，即 2.|OH|ON|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点理由如下：17直线

26、 MH 的方程为 y t x，即 x (y t)p2t 2tp代入 y22 px 得 y24 ty4 t20，解得 y1 y22 t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点20(本小题满分 12 分)设 F1， F2分别是椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点， Mx2a2 y2b2是 C 上一点且 MF2与 x 轴垂直直线 MF1与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率；34(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且| MN|5| F1N|，求 a， b.解：(1)根据 a2 b2 c2及题设知 M

27、 ， ，得 2b23 ac.(c，b2a) b2a2c 34将 b2 a2 c2代入 2b23 ac，解得 ， 2(舍去)ca 12 ca故 C 的离心率为 .12(2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D，由题意，原点 O 为 F1F2的中点， MF2 y 轴，所以直线 MF1与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1的中点，故 4，即 b24 a.b2a由| MN|5| F1N|得| DF1|2| F1N|.设 N(x1， y1)，由题意知 y10，则Error!即 Error!代入 C 的方程，得 1.9c24a2 1b2将及 a2 b2 c2代入得 1.9 a2 4a4a2 14a解

28、得 a7， b24 a28，故 a7， b2 .721(本小题满分 12 分)已知抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由55解：(1)将(1，2)代入 y22 px，得(2) 22 p1，18所以 p2.故所求抛物线 C 的方程为 y24 x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y2 x t，由Error! 消去 x，得 y22 y2

29、 t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48 t0，解得 t .12由直线 OA 与 l 的距离 d 可得 ，55 |t|5 15解得 t1.因为1 ，1 ，12， ) 12， )所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x y10.22(2017全国卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴x22的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 lOP PQ 过 C 的左焦点 F.解：(1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则

30、 N(x0,0)， ( x x0， y)， (0， y0)NP NM 由 ，得 x0 x， y0 y.NP 2 NM 22因为 M(x0， y0)在椭圆 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.(2)证明：由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则 (3， t)， (1 m， n)，OQ PF 33 m tn，OQ PF ( m， n)， (3 m， t n)OP PQ 19由 1，得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.