2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义（含解析）湘教版选修2_1.doc

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1、123.2 抛物线的简单几何性质第一课时 抛物线的简单几何性质读教材填要点抛物线的几何性质类型 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py (p0)图象焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x轴 y轴顶点 O(0,0)离心率 e1性质开口方向 向右 向左 向上 向下小问题大思维1抛物线 y22 px(p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即 x轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点 F

2、的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若 P(x0， y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)焦半径|PF|PF|_ |PF|_ |PF|_ |PF|_焦点弦|AB|AB|_ |AB|_ |AB|_ |AB|_2提示：标准方程 y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)焦半径| PF| |PF| x0p2|PF|p2 x0|PF| y0p2 |PF| y0p2焦点弦

3、| AB|AB| x1 x2 p|AB| p x1 x2|AB| y1 y2 p|AB| p y1 y2抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以 x轴为对称轴，且过焦点垂直于 x轴的弦 AB的长为 8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程自主解答 当焦点在 x轴的正半轴上时，设方程为 y22 px(p0)当 x 时， y p，p2由| AB|2 p8，得 p4.故抛物线方程为 y28 x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.当焦点在 x轴的负半轴上时，设方程 y22 px(p0)由对称性知抛物线方程为 y28 x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为 x2.用待定系数法求抛物线的标准

4、方程，其主要步骤为：1已知抛物线的焦点 F在 x轴上，直线 l过 F且垂直于 x轴， l与抛物线交于 A， B3两点， O为坐标原点，若 OAB的面积等于 4，求此抛物线的标准方程解：由题意，抛物线方程为 y22 px(p0)，焦点 F ，直线 l： x ，(p2， 0) p2 A， B两点坐标为 ， .(p2， p) (p2， p)| AB|2| p|. OAB的面积为 4， 2|p|4.12 |p2| p2 .2抛物线方程为 y24 x.2抛物线几何性质的应用已知 A， B是抛物线 y22 px(p0)上两点， O为坐标原点，若| OA| OB|，且 AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线

5、 AB的方程自主解答 | OA| OB|，设 A， B坐标分别为 A(x0， y0)， B(x0， y0) AOB的垂心恰是此抛物线的焦点 F， kFAkOB1，即 1，y0x0 p2 ( y0x0) y x0 2 px0(x00， p0)20 (x0p2) x0 p.直线 AB的方程为 x p.52 52若将“ AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“ OA OB”，求| AB|的值解：由题意知， AOB为等腰直角三角形，且 A， B两点关于 x轴对称如图，设 A(x0， y0)，则 kOA 1 且 y 2 px0，y0x0 20 x0 y02 p，| AB|2 y04 p.4抛物线的几何性质

6、在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段 AB垂直于 x轴故求直线 AB的方程时求出 A的横坐标即可2已知 A， B是抛物线 y22 px(p0)上两点， O为坐标原点，若 OA OB，且 OA的方程为 y2 x，| AB|5 ，求抛物线的方程3解： OA OB， AOB为直角三角形 OA所在直线为 y2 x， OB所在直线方程为 y x.12由Error! 得 A点坐标 .(p2， p)由Error! 得 B点坐标为(8 p，4 p)| AB|5 ，3 5 . p 4p 2 (p2 8p)2 3 p0，解得 p ，

7、23913所求抛物线方程为 y2 x.43913抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线 y24 x的焦点作直线交抛物线于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，若|AB|7，求 AB的中点 M到抛物线准线的距离自主解答 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由抛物线定义知|AB| AF| BF| x1 x2 x1 x2 p，p2 p2即 x1 x227，得 x1 x25，于是弦 AB的中点 M的横坐标为 ，52因此点 M到抛物线准线的距离为 1 .52 72抛物线 y22 px(p0)的过焦点的弦长| AB| x1 x2 p，其中 x1， x2分别是点 A， B5横坐标的绝对值；抛物

8、线 x22 py(p0)的过焦点的弦长| AB| y1 y2 p，其中 y1， y2分别是点 A， B纵坐标的绝对值3已知直线 l： y4 x6 与抛物线 y26 x交于 A， B两点，求| AB|.解：设点 A， B的坐标分别是( x1， y1)，( x2， y2)联立Error!消去 y得8x227 x180，则 x1， x2是方程的两根， x1 x2 .278 y4 x64 过抛物线的焦点 ，(x32) (32， 0)| AB| x1 x23 3 .278 518解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x轴，且与圆 x2 y24 相

9、交于 A， B两点，|AB|2 ，求抛物线方程3巧思 抛物线与圆相交，根据已知可设抛物线方程为 y2 ax(a0)，由圆和抛物线的对称性，可判断 A与 B关于 x轴对称，结合| AB|2 可得 A， B坐标，从而求出方程3妙解 由已知抛物线的焦点可能在 x轴正半轴上，也可能在负半轴上故可设抛物线方程为 y2 ax(a0)设抛物线与圆 x2 y24 的交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)抛物线 y2 ax(a0)与圆 x2 y24 都关于 x轴对称，点 A与 B关于 x轴对称| y1| y2|且| y1| y2|2 .3| y1| y2| .3代入圆 x2 y24 得 x234，解得

10、x1， A(1， )或 A(1， )3 3代入抛物线方程，得( )2 a， a3.3所求抛物线方程是 y23 x或 y23 x.61顶点在原点，焦点为 F 的抛物线的标准方程是( )(32， 0)A y2 x B y23 x32C y26 x D y26 x解析：抛物线的焦点为 ，(32， 0) p3，且抛物线开口向右，抛物线的标准方程为 y26 x.答案：C2抛物线 y28 x上的点 P到焦点的距离的最小值是( )A2 B4C6 D8解析：设抛物线上的点 P的坐标为( x0， y0)，则 P点到焦点的距离 d| x0| ，故p2dmin 2.p2答案：A3边长为 1的等边三角形 OAB， O

11、为原点， AB x轴，以 O为顶点且过 A， B的抛物线方程为( )A y2 x B y2 x36 36C y2 x D y2 x36 33解析：由题意可知，抛物线的对称轴为 x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22 px(p0)，且 A为 x轴上方的点，则易求 A ，(32， 12) p. p .14 3 312抛物线方程为 y2 x.36同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为 y2 x.36答案：C4已知 AB是抛物线 2x2 y的焦点弦，若| AB|4，则 AB的中点的纵坐标为_解析：设 AB的中点为 P(x0， y0)，分别过 A， P， B三点作准线的垂线，垂足分别为7A，Q，

12、 B.由题意得| AA| BB| AB|4，| PQ| 2.又|AA | |BB |2|PQ| y0 ，所以 y0 2，解得 y0 .18 18 158答案：1585抛物线 y2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设所求点( x0， y0)，则 x y 2，20 20 (x014)又 y x0，20 x0 . y0 .18 24答案： (18， 24)6已知过抛物线 y24 x的焦点 F的弦长为 36，求弦所在的直线的方程解：抛物线 y24 x的焦点为 F(1,0)，过焦点 F，垂直于 x轴的弦长为 436.弦所在直线斜率存在，由题意可设弦所在的直线的斜率为 k，且与抛物线交于 A

13、(x1， y1)， B(x2， y2)两点设直线方程为 y k(x1)由Error! 消去 y，整理得 k2x2(2 k24) x k20， x1 x2 .2k2 4k2| AB| AF| BF| x1 x22 2.2k2 4k2又| AB|36， 236.2k2 4k2 k .24故所求直线的方程为 y x1 或 y x1.24 24一、选择题81设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A(6，) B6，)C(3，) D3，)解析：抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即 p6.p2又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取

14、值范围为3，)答案：D2过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是 AB，抛物线的准线交 x轴于点 M，则 AMB是( )A锐角 B直角C钝角 D锐角或钝角解析：由题意可得| AB|2 p.又焦点到准线距离| FM| p， F为 AB中点，| FM| |AB|.12 AMB为直角三角形且 AMB90.答案：B3已知抛物线 y24 x的焦点为 F，准线 l交 x轴于 R，过抛物线上点 P(4，4)作PQ l于 Q，则梯形 PQRF的面积是( )A18 B16C14 D12解析：由题意知 PQRF为一直角梯形，其中 PQ RF，且| PQ|415，| RF|2， SPQRF 414.5 22答案：C4设

15、 M(x0， y0)为抛物线 C： x28 y上一点， F为抛物线 C的焦点，以 F为圆心、| FM|为半径的圆和抛物线 C的准线相交，则 y0的取值范围是( )A(0,2) B0,2C(2，) D2，)9解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 4，根据已知只要| FM|4即可根据抛物线定义，| FM| y02，由 y024，解得 y02，故 y0的取值范围是(2，)答案：C二、填空题5以原点为顶点， x轴为对称轴且焦点在 2x4 y30 上的抛物线方程是_解析：由题意知，抛物线的焦点为 F ，(32， 0)抛物线方程是 y26 x.答案： y26 x6若抛物线 y2 mx与椭圆 1 有一个共

16、同的焦点，则 m_.x29 y25解析：椭圆的焦点为(2,0)当抛物线焦点为(2,0)时， m8，当抛物线焦点为(2,0)时， m8.答案：87对于抛物线 y24 x上任意一点 Q，点 P(a,0)都满足| PQ| a|，则 a的取值范围是_解析：设点 Q的坐标为 .(y204， y0)由| PQ| a|，得| PQ|2 a2，即 y 2 a2，20 (y204 a)整理，得 y (y 168 a)0.20 20 y 0， y 168 a0.即 a2 恒成立20 20y208而 2 的最小值为 2， a2.y208答案：(，28已知顶点与原点 O重合，准线为直线 x 的抛物线上有两点 A(x1

17、， y1)和14B(x2， y2)，若 y1y21，则 AOB的大小是_解析：由已知得抛物线方程为 y2 x，因此 x1x2 y1y2 y y y1y2OA OB 212(1) 2(1)0.10 .OA OB AOB90.答案：90三、解答题9若抛物线的顶点是双曲线 16x29 y2144 的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴，求抛物线的标准方程解：双曲线方程 16x29 y2144，化为标准形式为 1，中心为原点，左顶点为x29 y216(3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为 x3.由题意可设抛物线的标准方程为y22 px(p0)，可得 3，故 p6.因此，所求抛物线的标准方程为 y

18、212 x.p210证明：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切证明：如图，设抛物线方程 y22 px(p0)，准线为 l， AB为抛物线的焦点弦，点 P为 AB的中点， P为以 AB为直径的圆的圆心，AM l， BN l， PQ l，垂足分别为 M， N，Q.则| AB| AF| BF| AM| BN|2| PQ|，即| PQ| |AB|，12所以以 AB为直径的圆必与准线相切即得证第二课时 直线与抛物线的位置关系读教材填要点直线与抛物线的位置关系设直线 l： y kx m，抛物线： y22 px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x的方程： ax2 bx c0，(1)若

19、a0，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0 时，直线与抛物线相离，无公共点11(2)若 a0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合小问题大思维若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线有什么样的位置关系？提示：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，反过来，当只有一个公共点时，直线与抛物线相切或直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合直线与抛物线的位置关系若直线 l： y( a1) x1 与曲线 C： y2 ax恰好有一个公共点，试求实数 a的取值集合自主解答 因为直线 l与曲线 C恰好有一个公共点，所以方程组

20、Error!有唯一一组实数解消去 y，得( a1) x1 2 ax，整理得( a1) 2x2(3 a2) x10.(1)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x的一元一次方程，解得 x1，这时，原方程组有唯一解Error!(2)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x的一元二次方程令 (3 a2) 24( a1) 2 a(5a4)0，解得 a0 或 a .45当 a0 时，原方程组有唯一解Error!当 a 时，原方程组有唯一解Error!45综上，实数 a的取值集合是 . 1， 45， 0若将“曲线 C： y2 ax恰有一个公共点”改为“抛物线 C： y2 ax(a0)相交” ，如何求解？解

21、：列方程组Error!消去 x并化简，得( a1) y2 ay a0.(*)当 a10 即 a1 时：方程(*)化为 y10，12 y1.方程组的解为Error!故直线与抛物线相交当 a10 即 a1 时，由 ( a)24 a(a1)0，得5a24 a0，结合 a0，解得 a 或 a0.45综上所述，实数 a的取值范围是 (0，)( ， 45直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离，这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点1.如图，直线 l： y x b与抛物线 C： x24 y相切于点 A.(1)求实数 b的值；

22、(2)求以点 A为圆心，且与抛物线 C的准线相切的圆的方程解：(1)由Error!得 x24 x4 b0，(*)因为直线 l与抛物线 C相切，所以 (4) 24(4 b)0.解得 b1.(2)由(1)可知 b1，故方程(*)为 x24 x40.解得 x2，代入 x24 y，得 y1，故点 A(2,1)因为圆 A与抛物线 C的准线相切，所以圆 A的半径 r就等于圆心 A到抛物线的准线 y1 的距离即 r|1(1)|2.所以圆 A的方程为( x2) 2( y1) 24.弦长、中点弦问题已知顶点在原点，焦点在 y轴上的抛物线被直线 x2 y10 截得的弦长为，求此抛物线方程1513自主解答 设抛物线

23、方程为： x2 ay(a0)，由方程组Error!消去 y得：2 x2 ax a0，直线与抛物线有两个交点， ( a)242 a0，即 a0 或 a8.设两交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则x1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 (x1 x2)，a2 a2 12弦长为| AB| x1 x2 2 y1 y2 2 54 x1 x2 2 54 x1 x2 2 4x1x2 .14 5 a2 8a| AB| ， ，1514 5 a2 8a 15即 a28 a480，解得 a4 或 a12，所求抛物线方程为： x24 y或 x212 y.(1)研究直线与抛物线的弦长问题，通常不求弦

24、的端点坐标，而是直接利用弦长公式|AB| |x1 x2|，另外要注意斜率不存在的情况，当弦过焦点时可利用焦点弦公式1 k2求解(2)在直线与抛物线的问题中经常遇到中点弦的问题，处理的基本方法是点差法或利用根与系数的关系求出中点弦所在直线的斜率2过点 Q(4,1)作抛物线 y28 x的弦 AB，若弦恰被 Q平分，求 AB所在直线方程解：设以 Q为中点的弦 AB端点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有Error!k ，y1 y2x1 x2得( y1 y2)(y1 y2)8( x1 x2)将代入，得 y1 y24( x1 x2)，4 .y1 y2x1 x2 k4.经验证，此时直线与

25、抛物线相交所求弦 AB所在直线方程为 y14( x4)，14即 4x y150.抛物线中的定点、定值问题A， B是抛物线 y22 px(p0)上的两点，并满足 OA OB，求证：(1)A， B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线 AB经过一个定点自主解答 (1)因为 AB斜率不为 0，设直线 AB方程为 my x b，由Error! 消去 x，得 y22 pmy2 pb0.由 (2 pm)28 pb0，又 y1 y22 pm， y1y22 pb， OA OB， x1x2 y1y20. y1y20.y21y24p2 b22 pb0. b2 p0. b2 p. y1y24 p

26、2， x1x2 b24 p2.所以 A， B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2和4 p2；(2)直线 AB的方程为 my x2 p，所以 AB过定点(2 p,0)直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于 0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求3过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F作直线 l交抛物线于 A， B，求证： yAyB p2.证明：斜率不存在时 y1 p， y2 p， y1y2 p2.斜率存在时，Error!消去 x得，y k ，y22p kp2 y1y2 p2. kp2k2p15解题高手 多解题 条

27、条大路通罗马，换一个思路试一试抛物线 y2 x上，存在 P，Q 两点，并且 P，Q 关于直线 y1 k(x1)对称，求 k的取值范围解 法一：设 P(x1， y1)，Q( x2， y2)，Error! (y1 y2)(y1 y2) x1 x2.又Error! y1 y2 k. 1 k (y1 y2)22 y1y22 k2 (y21 y22 1) k2 k2 kk22 y1( k y1)22 ky 2 k2y1 k3 k20.21 4 k48 k(k3 k2)0. k( k32 k4)0. k(k32 k4)0)相交于 A， B两点，则| AB|等于( )p216A5 p B10 pC11 p

28、D12 p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得 x24 px p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x24 p， y1 y29 p.直线过抛物线的焦点，| AB| y1 y2 p10 p.答案：B2过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28 x交于 A， B两点，则弦 AB的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析：不妨设 A， B两点坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，由直线 AB斜率为2，且过点(1,0)得直线 AB方程为 y2( x1)，代入抛物线方程 y28 x得 4(x1) 28 x，整理得 x24 x10， x1 x24

29、， x1x21，| AB| 1 k2 |x1 x2|2 .5 x1 x2 2 4x1x2 15答案：B3过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y22 x仅有一个公共点，这样的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：斜率不存在时，直线 x0 符合题意，斜率存在时，由Error!得 k2x2(2 k2) x10，k0 时，符合题意，k0 时，由 0 得 k .12答案：C4已知 OAB为等腰直角三角形，其中| OA| OB|，若 A， B两点在抛物线 y x2上，14则 OAB的周长是_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x21 且 k0，设 A(x1， y1)， B

30、(x2， y2)，由题意得：x1 x2 4 k2 k2 k2 k20.4k 8k2解得 k2 或 k1(舍去)由弦长公式得：|AB| 1 k264k 64k2 2 .51924 15一、选择题1过抛物线 y22 px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则 的值为( )y1y2x1x2A4 B4C p2 D p218解析：取特殊位置，当 AB x轴时， A ， B .(p2， p) (p2， p) 4.y1y2x1x2答案：B2设抛物线 y28 x的准线与 x轴交于点 Q，若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点，则直线 l的斜率的取值范围是( )A.

31、B2,212， 12C1,1 D4,4解析：准线 x2，Q(2,0)，设 l： y k(x2)，由Error! 得 k2x24( k22) x4 k20.当 k0 时， x0，即交点为(0,0)，当 k0 时， 0，1 k0 或 0 k1.综上， k的取值范围是1,1答案：C3已知双曲线 1( a0， b0)的左顶点与抛物线 y22 px(p0)的焦点的距x2a2 y2b2离为 4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为( )A2 B23 5C4 D43 5解析：由Error!解得Error!由题得知Error!解得Error!又知 a4，故 a2， b1，

32、 c ，p2 a2 b2 5焦距 2c2 .5答案：B4设定点 M 与抛物线 y22 x上的点 P的距离为 d1， P到抛物线准线 l的距离(3，103)为 d2，则 d1 d2取最小值时， P点的坐标为( )A(0,0) B(1， )2C(2,2) D.(18， 12)解析：连接 PF，则 d1 d2| PM| PF| MF|，知 d1 d2的最小值为| MF|，当且仅当M， P， F三点共线时，等号成立，而直线 MF的方程为 y ，与 y22 x联立可得43(x 12)19x2， y2.答案：C二、填空题5已知抛物线 y24 x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1， y1)，

33、 B(x2， y2)两点，则 y y 的最小值是_21 2解析：显然 x10， x20.又 y 4 x1， y 4 x2，所以 y y 4( x1 x2)8 ，当21 2 21 2 x1x2且仅当 x1 x24 时取等号，所以 y y 的最小值为 32.21 21答案：326过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F作斜率为 45的直线交抛物线于 A， B两点，若线段 AB的长为 8，则 p_.解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由条件可知直线 AB的方程为 y x ，p2由Error! 得 x2 px 2 px.p24即 x23 px 0，p24又| AB|8，即 8.(x1p

34、2) (x2 p2) x1 x28 p.即 3p8 p， p2.答案：27直线 y x3 与抛物线 y24 x交于 A， B两点，过 A， B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P，Q，则梯形 APQB的面积为_解析：由Error!消去 y得 x210 x90，得 x1 或 9，即Error!或Error!所以|AP|10，| BQ|2 或| BQ|10，| AP|2，所以| PQ|8，所以梯形 APQB的面积S 848.10 22答案：488已知以 F为焦点的抛物线 y24 x上的两点 A， B满足 3 ，则弦 AB的中点AF FB 到准线的距离为_解析：依题意，设直线 AB的方程是 x

35、my1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则由Error! 消去 x得 y24( my1)，即 y24 my40，所以 y1 y24 m， y1y24.20又 3 ，AF FB (1 x1， y1)， ( x21， y2)，AF FB 于是有 y13 y2， y ，243(y1 y2)24 y ，2163弦 AB的中点到准线的距离为 1 1x1 x22 y21 y28 1 1 . y1 y2 2 2y1y28 163 88 83答案：83三、解答题9已知抛物线 y2 x与直线 l： y k(x1)相交于 A， B两点(1)求证： OA OB；(2)当 OAB的面积等于 时，求 k的值

36、10解：(1)证明：易知 k0，联立Error! 消去 x，得 ky2 y k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y21.1k因为 y x1， y x2，21 2所以( y1y2)2 x1x2，所以 x1x21，所以 x1x2 y1y20，即 0，所以 OA OB.OA OB (2)设直线 l与 x轴的交点为 N，则 N的坐标为(1,0)，所以 S AOB |ON|y1 y2|12 |ON|12 y1 y2 2 4y1y2 1 ，12 1k2 4 10解得 k2 ，所以 k .136 162110.如图，过抛物线 y2 x上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB， AC交抛物线于 B， C两点，求证：直线 BC的斜率是定值证明：设 AB的斜率为 k，则 AC的斜率为 k.故直线 AB的方程是 y2 k(x4)，与 y2 x联立得，y2 k(y24)，即 ky2 y4 k20. y2 是此方程的一解，2 yB ， yB ， 4k 2k 1 2kkxB y .2B1 4k 4k2k2 B .(1 4k 4k2k2 ， 1 2kk ) kAC k，以 k代替 k代入 B点坐标得点 C的坐标为 ，(1 4k 4k2k2 ， 1 2k k) kBC 为定值 1 2kk 1 2kk1 4k 4k2k2 1 4k 4k2k2 14