2019年高中数学第1章常用逻辑用语1.2简单逻辑联结词1.2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”讲义（含解析）湘教版选修2_1.doc

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1、112.1 逻辑联结词“非” 、 “且”和“或”读教材填要点1联结词“非”设 p 是一个命题，用联结词“非”对命题 p 作全盘否定，得到新命题，记作綈 p，读作“非 p”或“不是 p”2联结词“且”用联结词“且”把两个命题 p， q 联结起来，得到新命题，记作 p q，读作“ p 且q”3联结词“或”用联结词“或”把两个命题 p， q 联结起来，得到新命题，记作 p q，读作“ p 或q”4含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p q p q 綈 p真 真 真 真 假真 假 真 假 假假 真 真 假 真假 假 假 假 真小问题大思维1逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所

2、不同日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思2 “或” “且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“ p 或 q”的否定形式是“綈 p 且綈 q”， “p 且 q”的否定形式是“綈 p 或綈q”3命题“綈 p”与命题“ p 的否命题”有何不同？提示：命题“綈 p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论如：若命题 p 为“若 s，则 t”，则綈 p：若 s，则綈 t，否命题：若綈 s，则綈 t.2逻辑联结词“非”写出下列命题的否定，并判断它们的真假(1)p：346；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式 x

3、23 x20 的解集是 x|1 x2自主解答 (1)346 是一个简单命题， “”的否定即是“” ，所以“非 p”：346.由于 p 是真命题，故命题“非 p”是假命题(2)命题是一个“ p q”形式的命题，其否定为“(綈 p)(綈 q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家由于 p 是真命题，故命题“非 p”是假命题(3)“非 p”：不等式 x23 x20 的解集不是 x|1 x2由于 p 是假命题，故命题“非 p”是真命题若将例 1(2)中的“或”改为“且” ，如何解答？解：綈 p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于 p 是假命题，故命题綈 p是真命题写“非 p”

4、应先弄清 p 的条件与结论另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定如“等于”的否定是“不等于” ， “大于”的否定是“不大于”即“小于或等于” ， “都是”的否定是“不都是” 1写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假(1)若 a， b 都是奇数，则 a b 是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形解：原命题的否定：(1)若 a， b 都是奇数，则 a b 不是偶数，为假命题(2)全等三角形不是相似三角形，为假命题3原命题的否命题：(1)若 a， b 不都是奇数，则 a b 不是偶函数，为假命题(2)不全等的三角形不是相似三角形，为假命题逻辑联结词“且”对下列各

5、组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假(1)p：12 是 3 的倍数， q：12 是 4 的倍数；(2)p：3， q：4 或 44” ，其中“44”是真命题，所以“44”是真命题(2)命题“仅有一组对边平行的四边形是梯形或是平行四边形”是“ p q”形式的命题，其中 p：仅有一组对边平行的四边形是梯形，q：仅有一组对边平行的四边形是平行四边形因为 p 真 q 假，所以 p q 为真，故原命题是真命题解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路设有两个命题命题 p：不等式 x2( a1) x10 的解集是；命题 q：函数 f(x)( a1) x在定义域内是增函数如

6、果 p q 为假命题， p q 为真命题，求 a 的取值范围巧思 因为 p q 为假命题， p q 为真命题，故 p 和 q 必有一真一假因此可先求5出 p， q 为真命题时 a 的取值范围，然后分“ p 真 q 假” “p 假 q 真”两种情况即可求出 a 的取值范围妙解 对于 p：因为不等式 x2( a1) x10 的解集是，所以 ( a1) 241，所以 a0.又 p q 为假命题， p q 为真命题，所以 p， q 必是一真一假当 p 真 q 假时有30，ln( x1)0；命题 q：若 ab，则a2b2.下列命题为真命题的是( )A p q B p綈 qC綈 p q D綈 p綈 q解析

7、：当 x0 时， x11，因此 ln(x1)0，即 p 为真命题；取 a1， b2，这时满足 ab，显然 a2b2不成立，因此 q 为假命题由复合命题的真假性，知 B 为真命题答案：B4已知命题 p：6 是 12 的约数， q：6 是 24 的约数，则 p q 是_， p q 是_，綈 p 是_解析： p q：6 是 12 和 24 的约数；6p q：6 是 12 或 24 的约数；綈 p：6 不是 12 的约数答案：6 是 12 和 24 的约数 6 是 12 或 24 的约数 6 不是 12 的约数5命题 p：0 不是自然数，命题 q： 是无理数，则在命题“ p 且 q”“p 或 q”“非

8、 p”2“非 q”中真命题是_，假命题是_解析：显然 p 为假命题， q 是真命题，故“ p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，“非 p”为真命题， “非 q”为假命题答案： p 或 q, 非 p p 且 q，非 q6对命题 p：1 是集合 x|x21；若 q 为真，则 2 x|x24.若“ p 或 q”为真，则 a1 或 a4，即 a1；若“ p 且 q”为真，则 a1 且 a4，即 a4.一、选择题1 “p q 为假命题”是“綈 p 为真命题”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析： p q 为假命题，则 p， q 均为假命题，故 p q

9、 为假命题綈 p 为真命题，但綈p 为真命题 p q 为假命题答案：A2已知 p：点 P 在直线 y2 x3 上， q：点 P 在直线 y3 x2 上，则使命题 p q为真命题的一个点 P(x， y)是( )A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)解析：因为 p q 为真命题，所以 p， q 均为真命题，即点 P 为直线 y2 x3 与y3 x2 的交点，故有Error! 解得Error! 故选 C.答案：C73已知全集 UR， AU， BU，如果命题 p： ( A B)，则命题“綈 p”是( )3A. A B. ( UA)( UB)3 3C. UB D. (A B)3 3解析：由

10、 p： ( A B)，可知綈 p： (A B)，3 3即 U(A B)，而 U(A B)( UA)( UB)3答案：B4下列各组命题中，满足“ p 或 q”为真，且“非 p”为真的是( )A p：0； q：0B p：在 ABC 中，若 cos 2Acos 2B，则 A B； q：函数 ysin x 在第一象限是增函数C p： a b2 (a， bR)； q：不等式| x|x 的解集为(，0)abD p：圆( x1) 2( y2) 21 的面积被直线 x1 平分； q：过点 M(0,1)且与圆( x1)2( y2) 21 相切的直线有两条解析：A 中， p， q 均为假命题，故“ p 或 q”为

11、假，排除 A；B 中，由在 ABC 中，cos 2Acos 2B，得 12sin 2A 12sin 2B，即(sin Asin B)(sin Asin B)0，所以A B0，故 p 为真，从而“非 p”为假，排除 B；C 中， p 为假，从而“非 p”为真， q 为真，从而“ p 或 q”为真；D 中， p 为真，故“非 p”为假，排除 D.故选 C.答案：C二、填空题5命题“若 abc0，则 a， b， c 中至少有一个为零”的否定为：_，否命题为：_.解析：否定形式：若 abc0，则 a， b， c 全不为零否命题：若 abc0，则 a， b， c 全不为零答案：若 abc0，则 a， b

12、， c 全不为零 若 abc0，则 a， b， c 全不为零6已知命题 p： x1，命题 q： 1，则綈 p 是 q 的_条件(填“充要” “充分1x不必要” “必要不充分” “既不充分也不必要”中的一个)解析： p： x1綈 p： x1 1，但 1 x1.1x 1x綈 p 是 q 的充分不必要条件答案：充分不必要7若命题 p：不等式 ax b0 的解集为Error!，命题 q：关于 x 的不等式( x a)(x b)0 的解集为 x|a x b，则“ p q”“p q”“綈 p”形式的复合命题中的真命题是_解析：因命题 p， q 均为假命题，所以“ p q”“p q”为假命题， “綈 p”为

13、真命题8答案：綈 p8已知条件 p：( x1) 24，条件 q： xa，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析：由綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件，可知綈 p綈 q，但綈 q 綈 p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知 qp，但 p q，又 p： x1 或 xa x|x1，所以 a1.答案：1，)三、解答题9写出由下列各组命题构成的“ p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题，并判断真假(1)p：1 是质数， q：1 是方程 x22 x30 的根；(2)p：平行四边形的对角线一定相等， q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：NZ， q：0N.解：(1

14、)因为 p 假 q 真，所以 p 或 q：1 是质数或 1 是方程 x22 x30 的根，为真命题； p 且 q：1 是质数且 1 是方程 x22 x30 的根，为假命题；非 p：1 不是质数，为真命题(2)因为 p 假 q 假，所以 p 或 q：平行四边形的对角线一定相等或互相垂直，为假命题；p 且 q：平行四边形的对角线一定相等且互相垂直，为假命题；非 p：平行四边形的对角线不一定相等，为真命题(3)因为 p 真 q 真，所以 p 或 q：NZ 或 0N，为真命题； p 且 q：NZ 且 0N，为真命题；非 p：N Z，为假命题10设命题 p：函数 f(x)log ax(a0，且 a1)在

15、(0，)上单调递增； q：关于 x的方程 x22 xlog a 0( a0，且 a1)的解集只有一个子集若 p q 为真， p q 为假，32求实数 a 的取值范围解：当命题 p 是真命题时，应有 a1.当命题 q 是真命题时，关于 x 的方程 x22 xlog a 0 无解，32所以 44log a 0，解得 1a .32 32由于 p q 为真，则 p 和 q 中至少有一个为真，又 p q 为假，则 p 和 q 中至少有一个为假，所以 p 和 q 中一真一假，当 p 假 q 真时，有Error!9不存在符合条件的实数 a；当 p 真 q 假时，有Error!解得 a ，32综上所述，实数 a 的取值范围是 .32， )