习学案新人教A版选修2_2.doc

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1、1第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 a bi 为实数，若 b0，则 a bi 为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数(2)复数相等： a bi c dia c 且 b d(a， b， c， dR)(3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 a c， b d0( a， b， c， dR)(4)复 平 面 ： 建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数

2、 的 平 面 叫 做 复 平 面 x 轴 叫 做 实 轴 ， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：向量 的模 r 叫做复数 z a bi 的模，记作| z|或| a bi|，即OZ |z| a bi| (r0， rR)a2 b22复数的几何意义(1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR) 一 一 对 应 (2)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 . 一 一 对 应 OZ 23复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加

3、法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；减法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法： i(c di0)z1z2 a bic di a bic dic dic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)1复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )2原点是实轴与虚轴的交点( )3方程

4、x2 x10 没有解( )类型一 复数的概念例 1 已知复数 z a2 a6 i，分别求出满足下列条件的实数 a 的值：a2 2a 15a2 4(1)z 是实数；(2) z 是虚数；(3) z 是 0.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 由 a2 a60，解得 a2 或 a3.由 a22 a150，解得 a5 或 a3.由 a240，解得 a2.(1)由 a22 a150 且 a240，得 a5 或 a3，当 a5 或 a3 时， z 为实数(2)由 a22 a150 且 a240，得 a5 且 a3 且 a2，当 a5 且 a3 且 a2 时， z 是虚数(3)由 a2 a60 且

5、 a22 a150，得 a3，3当 a3 时， z0.引申探究 例 1 中条件不变，若 z 为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，请说明理由解 由 a2 a60 且 a22 a150，且 a240，得 a 无解，不存在实数 a，使 z 为纯虚数反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练 1 复数 zlog 3(x23 x3)ilog 2(x3)，当 x 为何实数时：(1) zR；(2) z 为虚数考点 复数的概念题点 由复数的

6、分类求未知数解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，所以Error!解得 x4，所以当 x4 时， zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0，所以Error!解得 x 且 x4.3 212所以当 x 且 x4 时， z 为虚数3 212类型二 复数的四则运算例 2 (1)计算： 2 018 ； 23 i1 23i ( 21 i) 4 8i2 4 8i211 7i(2)已知 z1i，求 的模z2 3z 6z 1考点 复数四则运算的综合运用题点 复数的混合运算解 (1)原式 1 009 i(i) 1 i1 23i1 23i ( 21 i)2 4 8i 8i 44 8i 4

7、 8i11 7i00900.(2) 1i，z2 3z 6z 1 1 i2 31 i 62 i 3 i2 i4 的模为 .z2 3z 6z 1 2反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到( a bi)(c di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位 i 的周期性i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1( nN *)；i ni n1 i n2 i n3 0( nN *)跟踪训练 2 (1)已知 2i，则复数 z 等于( )z1 iA13i B13iC3i D3i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 B解析 2i， (

8、1i)(2i)23i113i， z13i.z1 i z(2)已知 z 是复数， z3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位)z 5i2 i求复数 z；求 的模z1 i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 设 z a bi(a， bR)，由 z3i a( b3)i 为实数，可得 b3.又 为纯虚数，a 2i2 i 2a 2 a 4i5 a1，即 z13i. z1 i 1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i 2i， 4 2i2 |2i| .|z1 i| 22 12 5类型三 数形结合思想的应用例 3 已知复平面内点 A， B 对应的复数分别是 z1sin 2 i， z

9、2cos 2 icos 2 ，5其中 (0，)，设 对应的复数为 z.AB (1)求复数 z；(2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y x 上，求 的值12考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用题点 数形结合思想的应用解 (1)由题意得 z z2 z1cos 2 sin 2 (cos 2 1)i1(2sin 2 )i.(2)由(1)知，点 P 的坐标为(1，2sin 2 )由点 P 在直线 y x 上，得2sin 2 ，12 12sin 2 ，又 (0，)，sin 0，14因此 sin ， 或 .12 6 56反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向

10、量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论跟踪训练 3 在复平面内，设 z1i(i 是虚数单位)，则复数 z2对应的点位于( )2zA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 A解析 z2 (1i) 22z 21 i 2i(1i)2i1i，21 i复数 z2对应点的坐标为(1,1)，2z故在第一象限1设(1i) x1 yi，其中 x， y 是实数，则| x yi|等于( )A1 B. 2C. D236考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模答案 B解析 由已知得 x xi1 yi，根据两复数相等的

11、条件可得 x y1，所以| x yi|1i| .22若 z12i，则 等于( )4izz 1A1 B1Ci Di考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 i.4izz 1 4i12 22 13复数 z (aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则 a 等于( )2 ai1 iA2 B1C1 D2考点 乘除法的运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 z 2 ai1 i 2 ai1 i1 i1 i 在复平面内对应的点的坐标为 且在虚轴上，所以 2 a0，2 a a 2i2 (2 a2 ， a 22 )即 a2.4设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 z i2

12、2 z，则 z 等于( )z zA1i B1iC1i D1i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 A解析 设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z所以 z i22 z，即 2( a2 b2)i2 a2 bi，z根据复数相等的充要条件得 22 a， a2 b22 b，7解得 a1， b1，故 z1i.5若复数 z 满足| z| ，则 z_.z101 2i考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解答案 34i解析 设 z a bi(a， bR)， a bi，z| z| ，| z| 24i，z101 2i z则 a bi24i，a2 b2Erro

13、r! 解得Error! z34i.1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.一、选择题1i 是虚数单位，若集合 S1,0,1，则( )Ai S Bi 2 SCi 3 S D. S2i考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 B2已知 i 是虚数单位， m， nR，且 mi1 ni，则 等于( )m nim niA1 B1Ci Di考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 由 mi1 ni(m， nR)，得

14、 m1 且 n1.8则 i.m nim ni 1 i1 i 1 i223若 a 为正实数，i 为虚数单位， 2，则 a 等于( )|a ii |A. B23C. D12考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ( ai)(i)1 ai，a ii |1 ai| 2，|a ii | 1 a2解得 a 或 a (舍)3 34已知 z112i， z2 m( m1)i，i 为虚数单位，且两复数的乘积 z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数 m 的值为( )A B.43 43C D.34 34考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 D解析 因为 z1

15、z2(12i) m( m1)i m2( m1)2 m( m1)i(2 m)(3 m1)i，所以 2 m3 m1，即 m .34经检验， m 能使 2 m3 m10，34所以 m 满足题意345已知复数 z (bR)的实部为1，i 为虚数单位，则复数 b 在复平面上对应的4 bi1 i z点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限9考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 C解析 z 4 bi1 i 4 bi1 i1 i1 i i，4 b 4 bi2 4 b2 4 b2又复数 z (bR)的实部为1，4 bi1 i则 1，即 b6. z15i，4 b2则 15i.

16、z复数 b15i675i，在复平面上对应的点的坐标为(7，5)，位于第三象z限故选 C.6设 z(2 t25 t3)( t22 t2)i， tR，i 为虚数单位，则以下结论正确的是( )A z 对应的点在第一象限B z 一定不为纯虚数C. 对应的点在实轴的下方zD z 一定为实数考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 C解析 t22 t2( t1) 210， z 对应的点在实轴的上方又 z 与 对应的点关于实轴对称，C 正确z7复数 z 满足( z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )zA2i B2iC5i D5i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭

17、复数答案 D解析 由( z3)(2i)5，得 z3 2i，52 i z5i， 5i.z二、填空题108若复数 z ai( aR)与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，则 a_.z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合应用答案 1解析 ai，因为复数 z 与它的共轭复数 所对应的向量互相垂直，所以 a21，所以z za1.9i 是虚数单位，复数 z 满足(1i) z2，则 z 的实部为_考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(1i) z2，所以 z 1i，所以其实部为 1.21 i10在复平面内，若 z m2(1i) m(4i)6i(i 为虚数

18、单位)所对应的点在第二象限，则实数 m 的取值范围是_考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 (3,4)解析 z m24 m( m2 m6)i 所对应的点在第二象限，Error! 解得 3m4.11如图，在复平面内，点 A 对应的复数为 z1，若 i(i 为虚数单位)，则 z2_.z2z1考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 2i解析 由题图可知， z112i，由 i，得 z2 z1i(12i)i2i.z2z1三、解答题12已知复数 z1(1 bi)(2i)， z23(1 a)i (a， bR，i 为虚数单位)(1)若 z1 z2，求实数 a， b 的值；11(

19、2)若 b1， a0，求 .|z1 z21 2i|考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算解 (1)复数 z1(1 bi)(2i)2 b(2 b1)i，z23(1 a)i，由 z1 z2，可得Error!解得Error!所以 a2， b1.(2)若 b1， a0，则 z113i， z23i. 2.|z1 z21 2i| |1 3i 3 i|1 2i| 42 221 2213已知复数 z1满足 z1(1i)2(i 为虚数单位)，若复数 z2满足 z1 z2是纯虚数， z1z2是实数，求复数 z2.考点 复数四则运算的综合运用题点 与混合运算有关的未知数求解解 z1(1i)2， z1 1i

20、.21 i 21 i1 i1 i 21 i2设 z2 a bi(a， bR)， z1 z21 a( b1)i 是纯虚数，Error! a1， b1. z1z2(1i)(1 bi)(1 b)( b1)i，又 z1z2是实数，则 b10， b1， z21i.四、探究与拓展14若 a 是复数 z1(1i)(3i)的虚部， b 是复数 z2 的实部，则 ab_.1 i2 i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 25解析 z1(1i)(3i)42i，由 a 是复数 z1(1i)(3i)的虚部，得 a2.12z2 i，1 i2 i 1 i2 i2 i2 i 1 3i5 15 35由 b 是复数 z2 的实部，得 b .1 i2 i 15则 ab2 .15 2515求虚数 z，使 z R，且| z3|3.9z考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 设 z a bi(a， bR 且 b0)，则z a bi i.9z 9a bi (a 9aa2 b2) (b 9ba2 b2)由 z R，得 b 0，9z 9ba2 b2又 b0，故 a2 b29.又由| z3|3，得 3.a 32 b2由，得Error!即 z i 或 z i.32 332 32 332