义学案新人教A版选修2_2.doc

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1、111.3 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一 导数的几何意义如图， Pn的坐标为( xn， f(xn)(n1,2,3,4)， P 的坐标为( x0， y0)，直线 PT 为在点 P 处的切线思考 1 割线 PPn的斜率 kn是多少？答案 割线 PPn的斜率 kn .fxn fx0xn x0思考 2 当点 Pn无限趋近于点 P 时，割线 PPn的斜率 kn与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？答案 kn无限趋近于切线 PT 的斜率 k.梳理 (1)切线的定义：设 PPn是曲线 y

2、 f(x)的割线，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线 y f(x)在点 P 处的切线2(2)导数 f( x0)的几何意义：导数 f( x0)表示曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线的斜率 k，即 k f( x0) .lim x 0fx0 x fx0 x(3)切线方程：曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)知识点二 导函数思考 已知函数 f(x) x2，分别计算 f(1)与 f( x)，它们有什么不同答案 f(1) 2.lim x 0f1 x f1 xf( x)

3、 2 x， f(1)是一个值，而 f( x)是一个函数lim x 0fx x fx x梳理 对于 函 数 y f(x)， 当 x x0时 ， f (x0)是 一 个 确 定 的 数 ， 则 当 x 变 化 时 ， f (x)便 是一 个 关 于 x 的 函 数 ， 我 们 称 它 为函数 y f(x)的导函数(简称导数), 即 f( x) y.lim x 0fx x fx x特别提醒：区别 联系f( x0)f( x0)是具体的值，是数值f( x)f( x)是函数 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在 x x0处的导数 f( x0)是导函数f( x)在 x x0处

4、的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1函数在一点处的导数 f( x0)是一个常数( )2函数 y f(x)在点 x0处的导数 f( x0)就是导函数 f( x)在点 x x0处的函数值( )3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( )类型一 求切线方程命 题 角 度 1 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程例 1 已知曲线 C： y x3 .求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程13 43考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程3解 将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点 P(2,4)=2|xy lim x 0

5、 y x lim x 0132 x3 43 1323 43 x 42 x ( x)24，lim x 0 13 k =2|y4.曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44( x2)，即 4x y40.4反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练 1 曲线 y x21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程答案 3解析 =2|xy lim x 0 y x lim x 02 x2 1 22 1 x (4 x)4，lim x 0 k =2|y4.曲线 y x21 在点(2,5)处的切线方程为y54( x2)，即 y4 x3.切

6、线与 y 轴交点的纵坐标是3.命 题 角 度 2 曲 线 过 某 点 的 切 线 方 程例 2 求过点(1,0)与曲线 y x2 x1 相切的直线方程考点 求曲线在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程解 设切点为( x0， x x01)，20则切线的斜率为k lim x 0x0 x2 x0 x 1 x20 x0 1 x2 x01.又 k ，x20 x0 1 0x0 1 x20 x0 1x0 12 x01 .x20 x0 1x0 1解得 x00 或 x02.当 x00 时，切线斜率 k1，过(1,0)的切线方程为y0 x1，即 x y10.当 x02 时，切线斜率 k3，过(1,0)的切线方程为

7、 y03( x1)，即53x y30.故所求切线方程为 x y10 或 3x y30.反思与感悟 过点( x1， y1)的曲线 y f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点( x0， f(x0)(2)建立方程 f( x0) .y1 fx0x1 x0(3)解方程得 k f( x0)， x0， y0，从而写出切线方程跟踪训练 2 求函数 y f(x) x33 x2 x 的图象上过原点的切线方程考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 设切点坐标为( x0， y0)，则 y0 x 3 x x0，30 20 y f(x0 x) f(x0)( x0 x)33( x0 x)2( x0 x)(

8、 x 3 x x0)30 203 x x3 x0( x)26 x0 x( x)33( x)2 x，20 3 x 3 x0 x6 x01( x)23 x， y x 20 f( x0) 3 x 6 x01.lim x 0 y x 20切线方程为 y( x 3 x x0)(3 x 6 x01)( x x0)30 20 20切线过原点， x 3 x x03 x 6 x x0，30 20 30 20即 2x 3 x 0， x00 或 x0 ，30 2032故所求切线方程为 x y0 或 5x4 y0.类型二 利用图象理解导数的几何意义例 3 已知函数 f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A00 B f( x0)f( xB)B f( xA)0)， g(x) x3 bx，若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)在它们的交点(1， c)处有公切线，求 a， b 的值考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用解 f( x) 2 ax，lim x 0ax x2 1 ax2 1 x f(1)2 a，即切线斜率 k12 a. g( x) lim x 0x x3 bx x x3 bx x3 x2 b，17 g(1)3 b，即切线斜率 k23 b.两曲线在交点(1， c)处有公切线，2 a3 b.又 a11 b，即 a b，故可得Error!