2019高考数学二轮复习专题提能三数列的创新考法与学科素养能力训练理.doc

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1、1专题提能三 数列的创新考法与学科素养一、选择题1在数列 an中， nN *，若 k(k 为常数)，则称 an为“等差比数列” ，an 2 an 1an 1 an下列是对“等差比数列”的判断： k 不可能为 0；等差数列一定是“等差比数列” ；等比数列一定是“等差比数列” ；“等差比数列”中可以有无数项为 0.其中所有正确判断的序号是( )A BC D解析：由等差比数列的定义可知， k 不为 0，所以正确，当等差数列的公差为 0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当 an是等比数列，且公比 q1 时， an不是等差比数列，所以错误；数列 0,1,0,1，是等差比数列，该数

2、列中有无数多个 0，所以正确答案：C2 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A. 钱 B. 钱54 53C. 钱 D. 钱32 43解析：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，依题意有Error!解得Error!故选 D.答案：D3宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十

3、束，欲令落一形(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层 3 束，再下一层 6束)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )2A91 B105C120 D210解析：由题意得，从上往下第 n 层茭草束数为 123 n .n n 12136 680，n n 12即 n(n1) ( n2)680，1216n n 1 2n 1 12n n 1 16 n(n1)( n2)151617， n15.故倒数第二层为第 14 层，该层茭草总束数为 105.14152答案：B4

4、(2018成都联考)等差数列 an中的 a3， a2 017是函数 f(x) x36 x24 x1 的两个不同的极值点，则 a1 010的值为( )A2 B12C2 D12解析：由题易得 f( x)3 x212 x4，因为 a3， a2 017是函数 f(x) x36 x24 x1的两个不同的极值点，所以 a3， a2 017是方程 3x212 x40 的两个不等实数根，所以a3 a2 0174.又数列 an为等差数列，所以 a3 a2 017 2a1 010，即 a1 0102，从而 a1 010 2 ，故选 B.12答案：B5已知数列 an的前 n 项和为 Sn，点( n， Sn3)( n

5、N*)在函数 y32 x的图象上，等比数列 bn满足 bn bn1 an(nN *)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( )A Sn2 Tn B Tn2 bn1C Tn an D Tn bn1答案：D6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，则第二天走了( )3A192 里 B96 里C48 里 D24 里解析：设等比数列 an的首项为 a1，公比 q ，依题意有

6、378，解得12a1 1 1261 12a1192，则 a2192 96，即第二天走了 96 里，故选 B.12答案：B7我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 1， .121314 1n第二步：将数列的各项乘以 n，得数列(记为) a1， a2， a3， an.则 a1a2 a2a3 an1 an等于( )A n2 B( n1) 2C n(n1) D n(n1)解析： a1a2 a2a3 an1 an n1 n2 n2 n3 nn 1 nn n2112 123 1 n 1 n n2(112 12 13 1n 1 1n) n2 n(n1)n

7、 1n答案：C8(2018衡水中学期末改编)已知函数 f(x)在 R 上的图象是连续不断的一条曲线，当 x0 时， f(x)2，对任意的 x， yR， f(x) f(y) f(x y)2 成立，若数列 an满足 a1 f(0)，且 f(an1 ) f( )， nN *，则 a2 018的值为( )anan 3A2 B6232 017 1C D2232 017 1 2232 016 1解析：令 x y0 得 f(0)2，所以 a12.设 x1， x2是 R 上的任意两个数，且 x1 x2，则 x2 x10，因为当 x0 时， f(x)2，4所以 f(x2 x1)2，即 f(x2) f(x2 x1

8、 x1) f(x2 x1) f(x1)22 f(x1)2 f(x1)，所以 f(x)在 R 上是减函数因为 f(an1 ) f( )，anan 3所以 an1 ，即 1，anan 3 1an 1 3an所以 3( )，1an 1 12 1an 12所以 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，1an 12所以 3 n1 ，即 an .1an 12 223n 1 1所以 a2 018 .故选 C.2232 017 1答案：C二、填空题9意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两

9、个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 an称为斐波那契数列，则 iai2 9i 1a的值为_9i 1a2i 1解析：由题意，得a1a3 a 1211， a2a4 a 1341， a3a5 a 2591， a4a6 a 32 23 24 258251， a8a10 a 215534 21， a9a11 a 348955 21，所以29 210iai2 (aiai2 a )1.9i 1a9i 1a2i 19i 1 2i 1答案：110 “中国剩余定理”又称“孙子定理” “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 到 2 016 这 2 016 个数中能被 3 除余 1

10、 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 an，则此数列的项数为_解析：能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数就是能被 15 除余 1 的数，故 an15 n14.由an15 n142 016，解得 n ，又 nN *，故此数列的项数为 135.40635答案：13511已知幂函数 f(x) x 的图象过点(9,3)，令 an (nN *)，记1f n 1 f n数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S2 018_.解析：由幂函数 f(x) x 的图象过点(9,3)，可得 9 3，解得 ，所以 f(x) x12，则 an .所以 S2 018 a1 a2 a2 018

11、12 1f n 1 f n 1n 1 n n 1 n 1 1.2 3 2 2 019 2 018 2 019答案： 12 01912定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个列叫作等差列，这个常数叫作等差列的公差已知向量列 an是以 a1(1,3)为首项，公差为 d(1,0)的等差向量列，若向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(nN *)垂直，则 _.x10x1解析：易知 an(1,3)( n1,0)( n,3)，因为向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(nN *)垂直，所以 ，所以xn 1xn n3 x10x1 x2x1 x3x2

12、x4x3 x5x4 x6x5 x7x6 x8x7 x9x8 x10x9 ( 13) ( 23) ( 33) ( 43) ( 53) ( 63) .(73) ( 83) ( 93) 4 480243答案：4 480243三、解答题13(2018临川模拟)若数列 bn对于任意的 nN *，都有 bn2 bnd(常数)，则称数列 bn是公差为 d 的准等差数列如数列 cnError!则数列 cn是公差为 8 的准等差数列设数列 an满足 a1 a，对于 nN *，都有 an an1 2 n.(1)求证： an是准等差数列；(2)求 an的通项公式及前 20 项和 S20.解析：(1)证明： an a

13、n1 2 n(nN *)， an1 an2 2( n1)( nN *)，得 an2 an2( nN *) an是公差为 2 的准等差数列(2) a1 a， an an1 2 n(nN *)， a1 a221，即 a22 a.其奇数项与偶数项都为等差数列，公差为 2，6当 n 为偶数时， an2 a( 1)2 n a；n2当 n 为奇数时， an a( 1)2 n a1.n 12 anError! an an1 2 n， S20( a1 a2)( a3 a4)( a19 a20)2(1319)210 1 192200.14(2018孝感七校联盟)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， nN

14、*，且a23， S525.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn ，记数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明： Tn1.1SnSn 1解析：(1)设等差数列 an的公差为 d.因为 a23， S525，所以Error!解得Error!所以 an2 n1.(2)证明：由(1)知， an2 n1，所以 Sn n2.n 1 2n 12所以 bn .1n2 n 1 2 1n n 1 1n 1n 1所以 Tn b1 b2 b3 bn(1 )( )( )12 12 13 1n 1n 11 1.1n 115已知数列 an满足 a1 ， an1 3 an1( nN *)32(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： og3a n2 n.ni 1l 2i解析：(1)由题可知 an1 3( an )，12 12又 a1 ，所以 a1 1，所以数列 an 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列32 12 127所以 an 3 n1 ，即 an3 n1 .12 12(2)证明：由(1)知 an3 n1 ，则 log3a 2 log 3(3i1 )2 log 33i1 2( i1)，12 2i 12所以 og3a 2(012 n1)2 n2 n.ni 1l 2i n n 12