2019高考数学二轮复习专题提能三数列的创新考法与学科素养教案理.doc
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1、13 数列的创新考法与学科素养提分策略一 探究命题情景应用能力此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景考查数列的有关计算问题(2017高考全国卷)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是2 0,21,再接下来的三项是2 0,21,22,依此类推求满足如下条件的最小整数 N: N100且该数列的前 N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330C220 D110解
2、析:设第一项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第 n组的项数为 n,前 n组的项数和为 .nn 12由题意可知, N100,令 100,nn 12得 n14, nN *,即 N出现在第13组之后易得第 n组的所有项的和为 2 n1,前 n组的所有项的和为 n2 n1 n1 2n1 2 21 2n1 22.设满足条件的 N在第 k1( kN *, k13)组,且第 N项为第 k1组的第t(tN *)个数,若要使前 N项和为2的整数幂,则第 k1组的前t项的和2 t1应与2 k互为相反数,即2 t1 k2,2 t k3,tlog 2(k3),当t4, k13时,
3、N 495100,不满足题意;当 t5, k291313 12时, N 5440;当t5时, N440,故选 A.2929 12答案:A点评 本题以软件激活码为背景考查了学生利用逻辑推理分析问题解决新问题的能力,实质上考查了数列求和的应用2对点训练若数列 an满足 d(nN *, d为常数),则称数列 an为“调和数列”,已知正项1an 1 1an数列 为“调和数列”,且 b1 b2 b2 01920 190,则 b2b2 1bn018的最大值是_解析:因为数列 是“调和数列”,所以 bn1 bn d,1bn即数列 bn是等差数列,所以 b1 b2 b2 019 20 190,2 019b1
4、b2 0192 2 019b2 b2 0182所以 b2 b2 01820.又 0,所以 b20, b2 0180,1bn所以 b2 b2 018202 ,b2b2 018即 b2b2 018100(当且仅当 b2 b2 018时等号成立),因此 b2b2 018的最大值为100.答案:100提分策略二 引入数学文化考核心素养(2017高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析:每层塔所
5、挂的灯数从上到下构成等比数列,记为 an,则前7项的和 S7381,公比 q2,依题意,得 S7 381,解得 a13.a11 271 2答案:B点评 本例以古代传统文化为背景,考查了与等差数列的通项及前 n项和有关的计算问题3对点训练1(2018衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,问:几日相逢?( )A12日 B16日C8日 D9日解析:由题易知良马每日所行里数构成一等差数列,其通项公式为 an10313( n1)13 n90,驽马每日所行里数也构成一等差数列,其通项公式为
6、bn97 (n1) n12 12 ,二马相逢时所走路程之和为21 1252 250,所以 2 1952 na1 an2 nb1 bn2250,即 2 n103 13n 902 n97 12n 19522250,化简得 n231 n3600,解得 n9或 n40(舍去),故选D.答案:D2传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,记为数列 an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn,可以推测:(1)b2 012是数列 an中的第_项;(2)b2k1 _(用 k表示)解析:由题意可得 an123
7、n , nN *,故 b1 a4, b2 a5, b3 a9,nn 12b4 a10, b5 a14, b6 a15,由上述规律可知: b2k a5k (k为正整数), b2k1 a5k5k5k 121 ,5k 15k 1 12 5k5k 12故 b2 012 b21 006 a51 006 a5 030,即 b2 012是数列 an中的第5 030项答案:(1)5 030 (2)5k5k 124提分策略三 引入临界知识考学科潜力高等数学背景型临界问题对于一切实数 x,令 x为不大于 x的最大整数,则函数 f(x) x称为高斯函数或取整函数若 an f( ), nN *, Sn为数列 an的前
8、 n项和,则 S3n( )n3A. n2 n B. n2 n32 12 32 12C3 n22 n D. n2 n92 32解析:由题意,当 n3 k, n3 k1, n3 k2时均有 an f( ) k,所以 S3n0n3 n3011 22 ( n1)( n1)( n1 n3 (n1)13个 2 3个 3个 1 n 12 n n2 n.32 12答案:A点评 本题以高斯函数为背景考查数列求和问题对点训练设无穷数列 an,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 (无论多小),总存在正整数 N,使得 n N时,恒有| an A| 成立,则称数列 an的极限为 A.给出下列四个无穷数列:(1) n2
9、; ;113 135 157 12n 12n 1;1222 232 3 n2n112 122 123 12n 1其中极限为2的数列的个数为( )A4 B3C2 D1解析:对于,| an2|(1) n22|2|(1) n1|,当 n是偶数时,| an2|0;当 n是奇数时,| an2|4,所以不符合数列 an的极限定义,即2不是数列(1) n2的极限对于,| an2| Error!Error!|113 135 157 12n 12n 1 2| 1251 1,所以对于任意给定的正数 (无论多小),不存在正整数 N,使得 n N时,n 12n 1恒有| an2| ,即2不是数列 的极限113 135
10、 157 12n 12n 1对于,由| an2| ,得 n1|112 122 123 12n 1 2| |1(1 12n)1 12 2| 22nlog 2 ,即对于任意给定的正数 (无论多小),总存在正整数 N,使得 n N时,恒有| an2| 成立,所以2是数列的极限对于,| an2|1222 232 3 n2n112 122 123 12n 12|22 232 3 n2n1,所以对于任意给定的正数 (无论多小),不存在正整数 N,使得 n N时,恒有| an2| ,即2不是数列1222 232 3 n2n的极限综上所述,极限为2的数列只有1个答案:D授课提示:对应学生用书第133页一、选择
11、题1在数列 an中, nN *,若 k(k为常数),则称 an为“等差比数列”an 2 an 1an 1 an,下列是对“等差比数列”的判断: k不可能为0;等差数列一定是“等差比数列”;等比数列一定是“等差比数列”;“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是( )A BC D解析:由等差比数列的定义可知, k不为0,所以正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以错误;当 an是等比数列,且公比 q61时, an不是等差比数列,所以错误;数列0,1,0,1,是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以正确答案:C2九章算术是我国古代的数学名著,书
12、中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等问各得几何?”其意思为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为( )A. 钱 B. 钱54 53C. 钱 D. 钱32 43解析:设等差数列 an的首项为 a1,公差为 d,依题意有Error!解得Error!故选D.答案:D3宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“茭草形段”问题:“今有茭草六百八十束,欲令落一形(同垛)之,问底子几何?”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一
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