2019中考数学第二部分专题综合强化专题四二次函数的综合探究针对训练.doc

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1、1第二部分 专题四类型 1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1(2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax22 x c 与 x 轴交于A(1,0)， B(3,0)两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；(2)请在 y 轴上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A， P， C 为顶点， AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线的解析式为 y a(x1)( x3)，即 y ax22 ax3

2、 a，2 a2，解得 a1，抛物线的解析式为 y x22 x3；当 x0 时， y x22 x33，则 C(0,3)，设直线 AC 的解析式为 y px q，把 A(1,0)， C(0,3)代入得Error!解得Error!直线 AC 的解析式为 y3 x3.(2) y x22 x3( x1) 24，顶点 D 的坐标为(1,4)，如答图 1，作 B 点关于 y 轴的对称点 B，连接 DB交 y 轴于 M，则 B(3,0)， MB MB， MB MD MB MD DB，此时 MB MD 的值最小，而 BD 的值不变，此时 BDM 的周长最小，易得直线 DB的解析式为 y x3，当 x0 时， y

3、 x33，点 M 的坐标为(0,3)；2答图 1 答图 2(3)存在过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P1，如答图 2，直线 AC 的解析式为 y3 x3，直线 P1C 的解析式可设为 y x b，13把 C(0,3)代入得 b3，直线 P1C 的解析式为 y x3，13解方程组Error!解得Error! 或Error!则此时 P 点坐标为( ， )；73 209过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P2，如答图 2，直线 P2A 的解析式可设为y x d，13把 A(1,0)代入得 d0，解得 d ，13 13直线 P2A 的解析式为 y x ，13 13解方程组Error

4、!解得Error! 或Error!则此时 P 点坐标为( ， )，103 139综上所述，符合条件的点 P 的坐标为( ， )或( ， )73 209 103 1392(2018泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c 交 x 轴于点A(4,0)， B(2,0)，交 y 轴于点 C(0,6)，在 y 轴上有一点 E(0，2)，连接 AE.(1)求二次函数的表达式；3(2)若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求 ADE 面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)

5、二次函数 y ax2 bx c 经过点 A(4,0)， B(2,0)， C(0,6)，Error! 解得Error!二次函数的表达式为 y x2 x6.34 32(2)由 A(4,0)， E(0，2)可得 AE 所在的直线解析式为 y x2，12答图过点 D 作 DF x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH DF，垂足为 H，如答图，设 D(m， m2 m6)，则点 F(m， m2)，34 32 12 DF m2 m6( m2) m2 m8，34 32 12 34 S ADE S ADF S EDF DFAG DFEH12 12 DF(AG HE)12 4DF122

6、( m2 m8)34 (m )2 ，32 23 503当 m 时， S ADE最大，最大值为 .23 503(3)存在， P 点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 19【解法提示】 y x2 x6 的对称轴为 x1，34 32设 P(1， n)，又 E(0，2)， A(4,0)，可得 PA ， PE ， AE 2 ，9 n2 1 n 2 2 16 4 5当 PA PE 时， ，9 n2 1 n 2 24解得 n1，此时 P(1,1)；当 PA AE 时， 2 ，9 n2 5解得 n ，此时 P 点的坐标为(1， )；11 11当 PE AE 时， 2 ，1 n 2 2 5解得 n

7、2 ，19此时 P 点的坐标为(1，2 )，19综上所述， P 点的坐标为(1,1)或(1， )或(1，2 )11 193(2018眉山)如图 1，已知抛物线 y ax2 bx c 的图象经过点 A(0,3)， B(1,0)，其对称轴为直线 l： x2，过点 A 作 AC x 轴交抛物线于点 C， AOB 的平分线交线段 AC于点 E，点 P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点 P 在直线 OE 下方的抛物线上，连接 PE， PO，当 m 为何值时，四边形 AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图 2， F 是抛物线的对称轴 l 上的一点，在抛物线

8、上是否存在点 P，使 POF 成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)如答图 1，设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，由对称性得： D(3,0)，设抛物线的解析式为 y a(x1)( x3)，把 A(0,3)代入，得 33 a，解得 a1，抛物线的解析式为 y x24 x3.答图 1 答图 2(2)如答图 2，设 P(m, m24 m3)， OE 平分 AOB， AOB90， AOE45， AOE 是等腰直角三角形，5 AE OA3， E(3,3)，易得 OE 的解析式为 y x，过 P 作 PG y 轴，交 OE

9、 于点 G， G(m， m)， PG m( m24 m3) m25 m3， S 四边形 AOPE S AOE S POE， 33 PGAE，12 12 3( m25 m3)，92 12 m2 m，32 152 (m )2 ，32 52 758 0)与抛物线 F 相交于点 A(x1， y1)和点 B(x2， y2)33(点 A 在第二象限)，求 y2 y1的值(用含 m 的式子表示)；(3)在(2)中，若 m ，设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2.43判断 AA B 的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P，使得以点 A， B， A， P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P

10、 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线 y x2 bx c 的图象经过点(0,0)和( ，0)，33Error! 解得Error!抛物线 F 的解析式为 y x2 x.33(2)将 y x m 代入 y x2 x，得 x2 m，33 3311解得 x1 ， x2 ，m m y1 m， y2 m，133m 133m y2 y1( m)( m) (m0)133m 133m 233m(3) m ，点 A 的坐标为( ， )，点 B 的坐标为( ，2)43 233 23 233点 A是点 A 关于原点 O 的对称点，点 A的坐标为( ， )233 23 AA B 为等边三角形理由如下： A(

11、， )， B( ，2)，233 23 233A( ， )，233 23 AA ， AB ， A B ，83 83 83 AA AB A B， AA B 为等边三角形存在分三种情况，如答图，答图设点 P 的坐标为( x， y)()当 A B 为对角线时，有Error!解得Error!点 P 的坐标为(2 ， )；323()当 AB 为对角线时，有Error!解得Error!点 P 的坐标为( ， )；233 103()当 AA为对角线时，有Error!解得Error!12点 P 的坐标为( ，2)233综上所述，平面内存在点 P，使得以点 A， B， A， P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐

12、标为(2 ， )或( ， )或( ，2)323 233 103 2334如图，抛物线 y x2 bx c 与直线 AB 交于 A(4，4)， B(0,4)两点，直线AC： y x6 交 y 轴于点 C 点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作 EF x 轴交 AC 于点12F，交抛物线于点 G.(1)求抛物线 y x2 bx c 的表达式；(2)连接 GB， EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标；(3)在 y 轴上存在一点 H，连接 EH， HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A， E， F， H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E， H 的坐标解：(1)点 A(

13、4，4)， B(0,4)在抛物线 y x2 bx c 上，Error! 解得Error!抛物线的表达式为 y x22 x4.(2)设直线 AB 的解析式为 y kx n， A(4，4)， B(0,4)，Error! Error!直线 AB 的解析式为 y2 x4，设 E(m,2m4)，则 G(m， m22 m4)，四边形 GEOB 是平行四边形， EG OB4， m22 m42 m44，解得 m2， G(2,4)(3)如答图，13答图由(2)知，直线 AB 的解析式为 y2 x4，设 E(a,2a4)，直线 AC： y x6，12 F(a， a6)，12设 H(0， p)，以点 A， E， F

14、， H 为顶点的四边形是矩形，直线 AB 的解析式为 y2 x4，直线 AC的解析式为 y x6，12 AB AC， EF 为对角线， EF 与 AH 互相平分且相等，2 a4， 2 a4 a6， 4 p 2 4212 a2， p1(7 已舍)， E(2,0)， H(0，1)类型 3 二次函数与相似三角形的存在性问题1(2018官度区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点 O，顶点为A(1,1)，且与直线 y x2 相交于 B， C 两点(1)求抛物线的解析式；(2)求 B， C 两点的坐标；(3)若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN x 轴与抛物线交于点 M，则是

15、否存在以O， M， N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由14解：(1)顶点坐标为(1,1)，设抛物线的解析式为 y a(x1) 21.又抛物线过原点，0 a(01) 21，解得 a1，抛物线的解析式为 y( x1) 21，即 y x22 x.(2)联立抛物线和直线解析式可得Error!解得Error! 或Error! B(2,0)， C(1，3)(3)存在理由：假设存在满足条件的点 N，设 N(x,0)，则 M(x， x22 x)， ON| x|， MN| x22 x|，由(2)知， AB ， BC3 ， AC2 ，2 2 5 AB2 BC2

16、AC2， ABC 为直角三角形，且 ABC90， MN x 轴于点 N， ABC MNO90，当 ABC 和 MNO 相似时，有 或 MNAB ONBC MNBC.ONAB当 时， ，即| x| x2| |x|.MNAB ONBC | x2 2x|2 |x|32 13当 x0 时， M， O， N 三点不能构成三角形， x0，| x2| ，13 x2 ，解得 x 或 x ，13 53 73此时 N 点坐标为( ，0)或( ，0)；53 73当 时， ，MNBC ONAB | x2 2x|32 |x|2即| x| x2|3| x|，| x2|3， x23，解得 x5 或 x1，此时 N 点坐标为

17、(1,0)或(5,0)15综上可知，存在满足条件的 N 点，其坐标为( ，0)或( ，0)或(1,0)或(5,0)53 732(2018达州)如图，抛物线经过原点 O(0,0)，点 A(1，1)，点 B( ，0)72(1)求抛物线解析式；(2)连接 OA，过点 A 作 AC OA 交抛物线于 C，连接 OC，求 AOC 的面积；(3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN OM 交 x 轴于点 N.问：是否存在点 M，使以点 O， M， N 为顶点的三角形与(2)中的 AOC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由备用图解：(1)设抛物线解析式为 y

18、 ax(x )，72把 A(1,1)代入，得 a(1 )1，72解得 a ，25抛物线解析式为 y x(x )，25 72即 y x2 x.25 75(2)延长 CA 交 y 轴于点 D，如答图 1.答图 1 A(1,1)， OA ， DOA45，2 AOD 为等腰直角三角形 OA AC， OD OA2，2 D(0,2)，易得直线 AD 的解析式为 y x2，联立方程组Error!16解得Error! 或Error! C(5，3)， S AOC S COD S AOD 25 214；12 12(3)存在如答图 2，过点 M 作 MH x 轴于点 H.答图 2由(2)易得 AC 4 ， OA .

19、 5 1 2 3 1 2 2 2设 M(x， x2 x)(x0)25 75 OHM OAC，当 时，OHOA MHAC OHM OAC，即 ，x2 | 25x2 75x|42解方程 x2 x4 x 得 x10(舍去)， x2 (舍去)，25 75 132解方程 x2 x4 x 得 x10(舍去)， x2 ，25 75 272此时 M 点坐标为( ，54)；272当 时， OHM CAO，OHAC MHOA即 ，x42 | 25x2 75x|2解方程 x2 x x 得 x10(舍去)， x2 ，25 75 14 238此时 M 点的坐标为( ， )，238 2332解方程 x2 x x 得 x1

20、0(舍去)， x2 ，25 75 14 338此时 M 点坐标为( ， )338 3332 MN OM， OMN90，17 MON HOM， OMH ONM，当 M 点的坐标为( ，54)或( ， )或( ， )时，以点 O， M， N 为顶点的三272 238 2332 338 3332角形与(2)中的 AOC 相似类型 4 二次函数与面积最值问题1(2018东营)如图，抛物线 y a(x1)( x3)( a0)与 x 轴交于 A， B 两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使 OCA OBC(1)求线段 OC 的长度；(2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中

21、点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 y0 时， a(x1)( x3)0，解得 x11， x23，即 A(1,0)， B(3,0)， OA1， OB3. OCA OBC， OC OB OA OC， OC2 OAOB3，则 OC .3(2) C 是 BM 的中点，即 OC 为 Rt OBM 斜边 BM 的中线， OC BC，点 C 的横坐标为 .32又 OC ，点 C 在 x 轴下方， C( ， )332 32设直线 BM 的解析式为

22、y kx b，把点 B(3,0)， C( ， )代入，32 32得Error! 解得Error!直线 BM 的解析式为 y x .33 3又点 C( ， )在抛物线上，32 3218将 C( ， )代入抛物线的解析式，32 32解得 a ，233抛物线的解析式为 y x2 x2 .233 833 3(3)存在如答图，过点 P 作 PQ x 轴交直线 BM 于点 Q，设点 P 的坐标为( x， x2 x2 )，233 833 3答图则 Q(x， x )，33 3 PQ x ( x2 x2 ) x23 x 3 ，33 3 233 833 3 233 3 3当 BCP 面积最大时，四边形 ABPC

23、的面积最大， S BCP PQ(3 x) PQ(x ) PQ x2 x ，12 12 32 34 32 934 934当 x 时， S BCP有最大值，则四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为b2a 94( ， )94 5382(2018盐城)如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ax2 bx3 经过点A(1,0)， B(3,0)两点，且与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的表达式；(2)如图 2，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 P， Q 两点(点 P 在点 Q 的左侧)，连接 PQ，在线段 PQ

24、 上方抛物线上有一动点 D，连接 DP， DQ.若点 P 的横坐标为 ，求 DPQ 面积的最大值，并求此时点 D 的坐标；12直尺在平移过程中， DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由19解：(1)将 A(1,0)， B(3,0)代入 y ax2 bx3，得Error!解得 Error!抛物线的表达式为 y x22 x3.(2)当点 P 的横坐标为 时，点 Q 的横坐标为 ，12 72此时点 P 的坐标为( ， )，点 Q 的坐标为( ， )12 74 72 94设直线 PQ 的表达式为 y mx n，将 P( ， )， Q( ， )代入 y mx n，得12 7

25、4 72 94Error!解得 Error!直线 PQ 的表达式为 y x .54如答图，过点 D 作 DE y 轴交直线 PQ 于点 E，答图设点 D 的坐标为( x， x22 x3)，则点 E 的坐标为( x， x )，54 DE x22 x3( x ) x23 x ，54 74 S DPQ DE(xQ xP)2 x26 x 2( x )28.12 72 3220，当 x 时， DPQ 的面积取最大值，最大值为 8，此时点 D 的坐标为( ，32 32)154假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4 t，点 P 的坐标为( t， t22 t3)，点 Q 的坐标为(4 t

26、，(4 t)22(4 t)3)，20利用待定系数法易知，直线 PQ 的表达式为 y2( t1) x t24 t3.设点 D 的坐标为( x， x22 x3)，则点 E 的坐标为( x，2( t1) x t24 t3)， DE x22 x32( t1) x t24 t3 x22( t2) x t24 t， S DPQ DE(xQ xP)2 x24( t2) x2 t28 t2 x( t2) 28.1220，当 x t2 时， DPQ 的面积取最大值，最大值为 8.假设成立，即直尺在平移过程中， DPQ 面积有最大值，面积的最大值为 8.3(2018新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2

27、 x4 与 x 轴交于23 23A， B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(1)求点 A， B， C 的坐标；(2)点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动设运动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时， PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M，使BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍？若存在，求点 M

28、的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 x0 时， y x2 x44，23 23点 C 的坐标为(0，4)；当 y0 时， x2 x40，23 23解得 x12， x23，点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(3,0)(2)设直线 BC 的解析式为 y kx b(k0)，将 B(3,0)， C(0，4)代入 y kx b，得Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x4.43过点 Q 作 QE y 轴，交 x 轴于点 E，如答图 1 所示当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为(2 t2,0)，点 Q 的坐标为(3 t， t)35 4521 PB3(2 t2)52 t

29、， QE t，45 S PBQE t22 t (t )2 .12 45 45 54 54 0，当 t 秒时， PBQ 的面积 S 取最大值，最大值为 .45 54 54(3)存在，如答图 2，过点 M 作 MF y 轴，交 BC 于点 F，设点 M 的坐标为(m， m2 m4)，23 23则点 F 的坐标为( m， m4)，43 MF m4( m2 m4) m22 m，43 23 23 23 S BMC MFOB m23 m.12 BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍， m23 m 1.6，即 m23 m20，54解得 m11， m22.0 m3，在 BC 下方的抛物线上存在点 M，使

30、 BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍，此时点 M 的坐标为(1，4)或(2， )83答图4(2018白银)如图，已知二次函数 y ax22 x c 的图象经过点 C(0,3)，与 x 轴分别交于点 A，点 B(3,0)点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点(1)求二次函数 y ax22 x c 的表达式；(2)连接 PO， PC，并把 POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POP C 若四边形 POP C 为菱形，请求出此时点 P 的坐标；(3)当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和四边22形 ACPB 的最大面积解：(1)将点 B 和点

31、 C 的坐标代入函数表达式，得Error!解得 Error!二次函数的表达式为 y x22 x3.(2)若四边形 POP C 为菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上，如答图 1，作 OC 的垂直平分线交抛物线于点 P，交 y 轴于点 E，连接 PP，则 PE CO.答图 1 C(0,3)， E(0， )，32点 P 的纵坐标为 ，32当 y 时，即 x22 x3 ，32 32解得 x1 ， x2 (不合题意，舍去)，2 102 2 102点 P 的坐标为( ， )2 102 32(3)如答图 2，过点 P 作 PF x 轴于点 F，交 BC 于点 Q.答图 2设直线 BC 的解析式为

32、y kx b，将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得Error! 解得Error!直线 BC 的解析式为 y x3.设点 P 的坐标为( m， m22 m3)，则点 Q 的坐标为( m， m3)， PQ m22 m3( m3) m23 m.当 y0 时， x22 x30，解得 x11， x23， A(1,0)， OA1， AB3(1)4，23 S 四边形 ABPC S ABC S PCQ SPBQ ABOC PQOF PQFB 43 ( m23 m)3 (m )2 ，12 12 12 12 12 32 32 758当 m 时，四边形 ABPC 的面积最大，最大面积为 .32 758当 m

33、 时， m22 m3 ，即 P 的坐标为( ， )32 154 32 154综上所述，当点 P 的坐标为( ， )时，四边形 ACPB 的最大面积为 .32 154 758类型 5 二次函数与动点问题1(2018菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0)，过点 A 作 AD x 轴交抛物线于点 D(1)求此抛物线的表达式；(2)点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，求 EAD 的面积；(3)若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到某一位置时， ABP 的面

34、积最大，求出此时点 P 的坐标和 ABP 的最大面积解：(1)抛物线 y ax2 bx5 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B(5,0)和点 C(1,0)，Error! 解得Error!此抛物线的表达式是 y x24 x5.(2)抛物线 y x24 x5 交 y 轴于点 A，点 A 的坐标为(0，5) AD x 轴，点 E 是抛物线上一点，且点 E 关于 x 轴的对称点在直线 AD 上，点 E 的纵坐标是 5，点 E 到 AD 的距离是 10，当 y5 时，5 x24 x5，解得 x0 或 x4，点 D 的坐标为(4，5)， AD4， S AED ADEF 41020.12 12(3)设点

35、P 的坐标为( p， p24 p5)，如答图所示24答图设过点 A(0，5)，点 B(5,0)的直线 AB 的函数解析式为 y mx n，则Error! 得Error!直线 AB 的函数解析式为y x5.当 x p 时， y p5. OB5， S ABP 5 ( p )2 p 5 p2 4p 52 52 52 254点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，5 p0，当 p 时， S 取得最大值，此时 S ，点 p 的坐标是( ， )52 1258 52 354综上，当点 P 的坐标是( ， )时，52 354 ABP 的面积最大，此时 ABP 的面积是 .12582(2018德州)如图 1

36、，在平面直角坐标系中，直线 y x1 与抛物线y x2 bx c 交于 A， B 两点，其中 A(m,0)， B(4， n)，该抛物线与 y 轴交于点 C，与 x轴交于另一点 D(1)求 m， n 的值及该抛物线的解析式；(2)如图 2，若点 P 为线段 AD 上的一动点(不与 A， D 重合)，分别以 AP， DP 为斜边，在直线 AD 的同侧作等腰直角 APM 和等腰直角 DPN，连接 MN，试确定 MPN 面积最大时P 点的坐标；(3)如图 3，连接 BD， CD，在线段 CD 上是否存在点 Q，使得以 A， D， Q 为顶点的三角形与 ABD 相似？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若

37、不存在，请说明理由解：(1)把 A(m,0)， B(4， n)代入 y x1，得 m1， n3，25 A(1,0)， B(4,3)抛物线 y x2 bx c 经过点 A 与点 B，Error! 解得Error!抛物线的解析式为 y x26 x5.(2) APM 与 DPN 都为等腰直角三角形， APM DPN45， MPN90， MPN 为直角三角形令 x26 x50，解得 x1 或 x5， D(5,0)，即 DA514.设 AP m，则 DP4 m， PM m， PN (4 m)，22 22 S MPN PMPN m (4 m) m2 m (m2) 21，12 12 22 22 14 14当

38、 m2，即 AP2 时， S MPN最大，此时 OP3，即 P(3,0)(3)存在，易得直线 CD 解析式为 y x5，设 Q(x， x5)，由题意得 BAD ADC45，当 ABD DAQ 时， ，即 ，ABDA BDAQ 324 10AQ解得 AQ ，453由两点间的距离公式得( x1) 2( x5) 2 ，809解得 x 或 x (舍去)，此时 Q( ， )；73 113 73 83当 ABD DQA 时， 1，即 AQ ，BDAQ 10( x1) 2( x5) 210，解得 x2 或 x6(舍去)，此时 Q(2，3)综上，点 Q 的坐标为(2，3)或( ， )73 83类型 6 二次函

39、数与线段最值问题1(2018宜宾)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)如图，直线 y x 与抛物线交于 A， B 两点，直线 l 为 y1.1426(1)求抛物线的解析式；(2)在 l 上是否存在一点 P，使 PA PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)已知 F(x0， y0)为平面内一定点， M(m， n)为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标解：(1)抛物线的顶点坐标为(2,0)，设抛物线的解析式为 y a(x2) 2.该抛物线经过点(4,1)，14

40、 a，解得 a ，14抛物线的解析式为 y (x2) 2 x2 x1.14 14(2)联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，得Error!解得 Error!Error!点 A 的坐标为(1， )，点 B 的坐标为(4,1)14如答图，作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，此时 PA PB 取得最小值答图点 B(4,1)，直线 l 为 y1，点 B的坐标为(4，3)设直线 AB的解析式为 y kx b(k0)，将 A(1， )， B(4，3)代入 y kx b，得14Error!解得 Error!直线 AB的解析式为 y x ，1312 4327当 y1 时，有

41、 x 1，解得 x ，1312 43 2813点 P 的坐标为( ，1)2813(3)点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，( m x0)2( n y0)2( n1) 2， m22 x0m x 2 y0n y 2 n1.20 20 M(m， n)为抛物线上一动点， n m2 m1，14 m22 x0m x 2 y0( m2 m1) y 2( m2 m1)1，2014 20 14整理，得(1 y0)m2(22 x02 y0)m x y 2 y030.12 12 20 20 m 为任意值，Error!Error!定点 F 的坐标为(2,1)2(2018烟台)如图 1，抛物线

42、 y ax22 x c 与 x 轴交于 A(4,0)， B(1,0)两点，过点 B 的直线 y kx 分别与 y 轴及抛物线交于点 C， D23(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点 P 从点 O 出发，在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时， PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 t 的值；(3)如图 2，将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后，与 x 轴， y 轴分别交于 E， F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 M，在直线 EF 上是否存在点 N，使 DM MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点 M，

43、N 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把 A(4,0)， B(1,0)代入 y ax22 x c，得Error! 解得Error!抛物线的表达式为 y x22 x .23 83直线 y kx 过点 B，2328将 B(1,0)代入，得 k ，23直线的表达式为 y x .23 23(2)由Error! 得交点坐标 D(5,4)如答图 1，过点 D 作 DE x 轴于点 E，作 DF y 轴于点 F.答图 1当 P1D P1C 时， P1DC 为直角三角形，则 DEP1 P1OC， ，即 ，解得 t ；DEPO PEOC 4t 5 t23 151296当 P2D DC 时， P2DC 为直角

44、三角形，由 P2DB DEB 得 ，即 ，DBEB P2BDB t 152 526解得 t ；233当 P3C DC 时， DFC COP3， ，即 ，DFOC CFP3O 523 103t解得 t .49当 t 的值为 或 或 时， PDC 为直角三角形49 151296 233(3)存在由已知得直线 EF 解析式为 y x .23 103如答图 2，在抛物线上取点 D 的对称点 D，过点 D作 D N EF 于点 N，交抛物线对称轴于点 M，过点 N 作 NH DD于点 H，此时， DM MN D N 最小答图 229则 D(2,4)， EOF NHD.设点 N 的坐标为( a， a )，23 103 ，即 ，OENH OFHD 54 23a 103 1032 a解得 a2，则 N 点坐标为(2，2)由 N(2，2)， D(2,4)求得直线 ND的解析式为 y x1，32