版选修2_3.doc

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1、1第二章 随机变量及其分布章末复习学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(2)若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， xi， xn， X 取每一个值xi(i1,2， n)的概率 P(X xi) pi，则称表X x1 x2 xi

2、xnP p1 p2 pi pn为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有性质： pi 0， i1,2， n； pi1.n i 1离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和22两点分布如果随机变量 X 的分布列为X 1 0P p q其中 00)PABPA在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A) .nABnA(2)条件概率具有的性质：0 P(B|A)1；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A) P(B|A) P(C|A)5相互独立事件(1)对于事件 A， B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称

3、 A， B 是相互独立事件(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A) P(B)，P(AB) P(B|A)P(A) P(A)P(B)(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立B A A B(4)若 P(AB) P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立6二项分布3(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X k)C p

4、k(1 p)n k(k0,1,2， n)，此时称随机变量 X 服从二项分布，kn记为 X B(n， p)，并称 p 为成功概率7离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn(1)均值称 E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称 D(X) (xi E(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的n i 1平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差 DX(3)均值与方差的性质 E(aX b) aE(X)

5、 b. D(aX b) a2D(X)( a， b 为常数)(4)两点分布与二项分布的均值、方差若 X 服从两点分布，则 E(X) p， D(X) p(1 p)若 X B(n， p)，则 E(X) np， D(X) np(1 p)8正态分布(1)正态曲线：函数 ， (x)2()ex， x(，)，其中 和 为参数12 ( 0， R)我们称函数 ， (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；曲线在 x 处达到峰值 ；1 2曲线与 x 轴之间的面积为 1 ；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变

6、化而沿 x 轴平移，如图甲所示；4当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示如果对于任何实数 a， b (a0.682 6，80100P( 2 a27)成立的一个必要不充分条件是( )A a1 或 2 B a1 或 2C a2 D a3 52考点 正态分布密度函数的概念题点 正态曲线性质的应用答案 B解析 X N(3,4)， P(Xa27)，(13 a)( a27)23， a1 或 2.故选 B.5(2017福建莆田二十四中高二期中)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2

7、 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432C0.36 D0.312考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 A解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 C 0.620.4C 0.630.648.23 36命题 r：随机变量 N(3， 2)，若 P( 2)0.4，则 P( 4)0.6.命题 q：随机16变量 B(n， p)，且 E( )200， D( )100，则 p0.5.则( )A r 正确， q 错误B r 错误， q 正确C r 错

8、误， q 也错误D r 正确， q 也正确考点 正态分布的应用题点 正态分布的综合应用答案 D解析 因为随机变量 N(3， 2)，所以正态曲线关于 x3 对称，又 P( 2)0.4，则P( 4) P( 2)0.4，所以 P( 4)0.6，所以 r 是正确的；随机变量 B(n， p)，且 E( ) np200， D( ) np(1 p)100，所以 200(1 p)100，解得 p0.5，所以 q是正确的故选 D.7节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价是每束 5 元；节日卖不出去的鲜花以每束 1.6 元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如表所示的分布

9、列X 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15若进这种鲜花 500 束，则利润的均值为( )A706 元 B690 元C754 元 D720 元考点 离散型随机变量均值的概率与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为 E(X)2000.23000.354000.35000.15340，所以利润的均值为 340(52.5)(500340)(2.51.6)706 元，故选 A.8某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100从样本成绩不低于

10、80 分的学生中随机选取 2 人，这 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数为 ，则 的均值为( )17A. B.13 12C. D.23 34考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值答案 B解析 由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010 x1，解得x0.018，成绩不低于 80 分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数为 0.00610503， 的可能取值为 0,1,2， P( 0) ， P( 1) ， P( 2)C29C21 611 C13C19C21 922 ， E( )0

11、1 2 .C23C21 122 611 922 122 12二、填空题9盒中有 10 支螺丝钉，其中 3 支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为 考点 条件概率的定义及计算公式题点 直接利用公式求条件概率答案 13解析 记事件 A 为“第一支抽取为好的” ，事件 B 为“第二支是坏的” ，则P(A) ，710P(AB) ，710 39 730 P(B|A) .PABPA 1310甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛18结束，乙胜出已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为 ，则甲胜出的概率为 2535考点 互

12、斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 1625解析 方法一 甲胜的情况为：举行一局比赛，甲胜出，比赛结束，举行两局比赛，第一局乙胜，第二局甲胜，其概率分别为 ， ，且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概25 35 25率为 .25 35 25 1625方法二 因为比赛结果只有甲胜出和乙胜出两个结果，而乙胜出的情况只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为 ，所以甲胜出的概率为 1 .35 35 925 925 162511一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得 50 元，生产一件乙等品可获得 30元，生产一件次品，要赔 20 元，已知这台机器生

13、产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3 和 0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期获利 元考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 37解析 设生产一件该产品可获利钱数为 X，则随机变量 X 的取值可以是20,30,50.依题意，X 的分布列为X 20 30 50P 0.1 0.3 0.6故 E(X)200.1300.3500.637(元)12一批玉米种子的发芽率是 0.8，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需补种的概率大于 98%.(lg 20.301 0)考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互

14、斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 3解析 记事件 A 为“种一粒种子，发芽” ，则 P(A)0.8， P( )10.80.2.A因为每穴种 n 粒相当于做了 n 次独立重复试验，记事件 B 为“每穴至少有一粒种子发芽” ，则 P( )C 0.80(10.8) n0.2 n，B 0n19所以 P(B)1 P( )10.2 n.B根据题意，得 P(B)98%，即 0.2n 2.43.lg 2 2lg 2 1 1.699 0 0.699 0因为 nN *，所以 n 的最小正整数值为 3.三、解答题13一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是

15、 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)用 X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与均值(注：若三个数 a， b， c 满足 a b c，则称 b 为这三个数的中位数)考点 常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率 P .C34 C3C39 584(2)X 的所有可能取值为 1,2,3，则 P(X1) ，C24C15 C34C39 1742P(X2) ，C13C14C12 C23C16 C3C39 4384P(X3) .C2C17C39 112故 X

16、的分布列为X 1 2 3P 1742 4384 112从而 E(X)1 2 3 .1742 4384 112 4728四、探究与拓展14某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为 .第一次抽奖，若未中奖，则抽4520奖结束若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得 500 元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金 1 000 元；若未中奖，则所获得的奖金为 0 元方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 ，每

17、次中奖均可获得奖金 400 元25(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖哪个方案更划算？考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)由题意得， X 的所有可能取值为 0,500,1 000，则 P(X0) ，15 45 12 15 725P(X500) ，45 12 25P(X1 000) ，45 12 45 825所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为X 0 500 1 000P 725 25 825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)500 1 00

18、0 520，25 825若选择方案乙进行抽奖，中奖次数 B ，(3，25)则 E( )3 ，抽奖所获奖金 Y 的均值 E(Y) E(400 )400 E( )480，故选择方案25 65甲较划算15某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量 n 14 15 16 17 18 19 2021频数 10 20 16 16 15

19、13 10以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、均值及方差；若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由考点 均值、方差的综合应用题点 均值与方差在实际中的应用解 (1)当日需求量 n16 时，利润 y80.当日需求量 n16 时，利润 y10 n80.所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为yError! (nN)(2) X 可能的取值为 60,70,80，并且 P(X60)0.1， P(X70)0.2， P(X80)0.7.

20、故 X 的分布列为X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7E(X)600.1700.2800.776，D(X)(6076) 20.1(7076) 20.2(8076) 20.744.方法一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花， Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4，D(Y)(5576.4) 20.1(6576.4) 20.2(7576.4) 20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出， D(X)D(Y)，即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然 E(X)E(Y)，但两者相差不大，故花店一天应购进 16 枝玫瑰花方法二：花店一天应购进 17 枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进 17 枝玫瑰花， Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为22Y 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出， E(X)E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利润故花店一天应购进 17 枝玫瑰花