版选修2_3.doc

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1、11.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质(a b)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：思考 1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案 在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和思考 2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案 2,4,8,16,32,64，其系数和为 2n.思考 3 二项式系数的最大值有何规律？答

2、案 当 n2,4,6 时，中间一项最大，当 n3,5 时中间两项最大梳理 (1)杨辉三角的特点在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系数相等在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即2C C C .kn 1 k 1n kn(2)二项式系数的性质性质 内容对称性C C ，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两mn n mn个二项式系数相等如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么展开式中间一项12nT的二项式系数最大增减性与最大值 如果 n 为奇数，那么其展开式中间两项 12nT与 1的二项式系数相等且同时取得最大值二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，

3、即C C C C 2 n0n 1n 2n n各二项式系数的和 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于 2n1 ，即 C C C C C C 2 n11n 3n 5n 2n 4n 6n1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列( )2二项式展开式的二项式系数和为 C C C .( )1n 2n n3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同( )类型一 与杨辉三角有关的问题例 1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是( )A第 6 行 B第 7 行 C第 8 行 D第 9 行(2)如图，在杨辉三角中，斜

4、线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前 n 项和为 S(n)，则 S(16)等于( )3A144 B146 C164 D461考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 (1)B (2)C解析 (1)由题意，第 6 行为 1,6,15,20,15,6,1，第 7 行为 1,7,21,35,35,21,7,1，故第 7行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除(2)由题干图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是 C ，第 152 12 23 13项是 C ，第 16 项是 C ，所以 S(16

5、)C C C C C C (C C C )29 19 12 2 13 23 19 29 12 13 19(C C C )2 23 29(C C C C C )(C C C )2 12 13 19 2 3 23 29C C 1164.210 310反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练 1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 23.考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 34解析 由题意设第 n 行的第 14 个数与第 15 个数的比为 23，它等于二项展开式的第 14 项4和第 15 项的二项式系数的

6、比，所以 C C 23，即 ，解得 n34，所以在第13n 14n14n 13 2334 行中，从左至右第 14 个数与第 15 个数的比是 23.类型二 二项式系数和问题例 2 已知(2 x1) 5 a0x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5.求下列各式的值：(1)a0 a1 a2 a5；(2)|a0| a1| a2| a5|；(3)a1 a3 a5.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令 x1，得 a0 a1 a2 a51.(2)令 x1，得3 5 a0 a1 a2 a3 a4 a5.由(2 x1) 5的通项 Tk1 C (1) k25 kx5 k知

7、 a1， a3， a5为负值，k5所| a0| a1| a2| a5| a0 a1 a2 a3 a4 a53 5243.(3)由 a0 a1 a2 a51， a0 a1 a2 a53 5，得 2(a1 a3 a5)13 5.所以 a1 a3 a5 121.1 352引申探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0 a2 a4；(2)a1 a2 a3 a4 a5；(3)5a04 a13 a22 a3 a4.解 (1)因为 a0 a1 a2 a51， a0 a1 a2 a53 5.所以 a0 a2 a4 122.1 352(2)因为 a0是(2 x1) 5展开式中 x5的系数，所以 a02 532

8、.又 a0 a1 a2 a51，所以 a1 a2 a3 a4 a531.(3)因为(2 x1) 5 a0x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5.5所以两边求导数得 10(2x1) 45 a0x44 a1x33 a2x22 a3x a4.令 x1 得 5a04 a13 a22 a3 a410.反思与感悟 二项展开式中系数和的求法(1)对形如( ax b)n，( ax2 bx c)m(a， b， cR， m， nN *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对( ax by)n(a， bR， nN *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x y1 即可(2)一

9、般地，若 f(x) a0 a1x a2x2 anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0 a2 a4 ，f1 f 12偶数项系数之和为 a1 a3 a5 .f1 f 12跟踪训练 2 在二项式(2 x3 y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 设(2 x3 y)9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9.(1)二项式系数之和为 C C C C 2 9.09 19 29 9(2)各项系数之和为 a0 a1 a2 a9，令 x1， y1，所以 a0 a

10、1 a2 a9(23) 91.(3)令 x1， y1，可得a0 a1 a2 a95 9，又 a0 a1 a2 a91，将两式相加可得 a0 a2 a4 a6 a8 ，59 12即所有奇数项系数之和为 .59 12类型三 二项式系数性质的应用例 3 已知 f(x)( 3 x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.3x2(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项6解 令 x1，则二项式各项系数的和为 f(1)(13) n4 n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n.由题意知，4 n2 n

11、992.(2 n)22 n9920，(2 n31)(2 n32)0，2 n31(舍去)或 2n32， n5.(1)由于 n5 为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为 T3C 2532x(3x2)290 x6， T4C23x(3x2)327023.35(2)展开式的通项公式为 Tk1 C 3k (52)3k ，k5假设 Tk1 项系数最大，则有Error!Error!即Error! k ， kN， k4，72 92展开式中系数最大的项为 T5C23x(3x2)4405263.45反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对( a b)

12、n中的 n 进行讨论当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析如求( a bx)n(a， bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为 A0， A1， A2， An，且第 k1 项最大，应用Error!解出k，即得出系数的最大项跟踪训练 3 写出( x y)11的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3)项的系数最大的项和系数最小的项；(4)二项式系数的和；(5)各项系数的

13、和考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：7T6C x6y5， T7C x5y6.511 611(2)(x y)11展开式的通项为Tk1 C x11 k( y)kC (1) kx11 kyk，k11 k11项的系数的绝对值为|C (1) k|C ，k11 k11项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6C x6y5， T7C x5y6.511 611(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又第 6 项系数为负，第 7 项系数为正，故项的系数最大的项为 T7C x5y6，项的系数最小的项为 T6C x6y5.611

14、511(4)展开式中，二项式系数的和为 C C C C 2 11.011 1 211 11(5)令 x y1，得展开式中各项的系数和为 C C C C (11) 110.011 1 211 111观察图中的数所成的规律，则 a 所表示的数是( )A8 B6 C4 D2考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以 4 a10，得 a6.2(1 x)2n1 的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A n， n1 B n1， nC n1， n2 D n2， n3考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)

15、的项答案 C解析 2 n1 为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第 项，第(2n 1 12 1)项，即第 n1 项与第 n2 项，故选 C.(2n 1 12 1)83已知 n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64，则 n 等于( )(x 33x)A4 B5C6 D7考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 令 x1，各项系数和为 4n，二项式系数和为 2n，故有 64，所以 n6.4n2n4设(32 x)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 a0 a1 a2 a3的值为_考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题

16、答案 15解析 令 x1，得 a0 a1 a2 a3 a41.又 Tk1 C (3) 4 k(2x)k，k4当 k4 时， x4的系数 a416.由得 a0 a1 a2 a315.5已知 n的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37，则展开式中二项式系数最大(14 2x)的项的系数为_考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 358解析 由 C C C 37，得 1 n n(n1)37，解得 n8(负值舍去)，则第 5 项的二0n 1n 2n12项式系数最大， T5C (2x)4 x4，该项的系数为 .48144 358 3581二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求

17、展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为 0,1 或1，但在解决具体问题时要灵活掌握3注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中 k0,1,2， n9一、选择题1如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒， a， b 是某行的前两个数，当 a7 时， b 等于( )A20 B21 C22 D23考点 二项式系数的性质题点 与杨辉三角有关的问题答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当 a7 时，上面一行的第一个数为

18、6，第二个数为 16，所以 b61622.2若 n(nN *)的展开式中只有第 6 项系数最大，则该展开式中的常数项为( )(x31x2)A210 B252C462 D10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 A解析 由于展开式中只有第 6 项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为 11，从而 n10，于是得其常数项为 C 210.6103已知关于 x 的二项式 n展开式的二项系数之和为 32，常数项为 80，则 a 的值为( )(x a3x)A1 B1 C2 D2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 C解析 由条件知 2n32，

19、即 n5，在通项公式 Tk1 C ( )5 k kC ak156x中，令k5 x (a3x) k5155 k0，得 k3.所以 C a380，解得 a2.354( x1) 11的展开式中， x 的奇次幂的系数之和是( )10A2 048 B1 023 C1 024 D1 024考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 ( x1) 11 a0x11 a1x10 a2x9 a11，令 x1，则 a0 a1 a2 a112 11，令 x1，则 a0 a1 a2 a110， a0 a2 a4 a102 101 024. 25若 x10 a0 a1(x1) a2(x1) 2

20、a10(x1) 10，则 a8的值为( )A10 B45C9 D45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 B解析 x101( x1) 10 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a10(x1)10， a8C C 45.810 2106设 n的展开式的各项系数和为 M，二项式系数和为 N，若 M N240，则展开式(5x 1x)中 x 的系数为( )A150 B150 C300 D300考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 由已知条件 4n2 n240，解得 n4，Tk1 C (5x)4 k k( 1) k54 kC32kx，k4 ( 1x) k

21、4令 4 1，得 k2，3k2所以展开式中 x 的系数为(1) 252C 150.247已知(2 x1) n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小 38，则C C C C 的值为( )1n 2n 3n nA2 8 B2 81C2 7 D2 71考点 展开式中系数的和问题11题点 二项展开式中系数的和问题答案 B解析 设(2 x1) n a0 a1x a2x2 anxn，且奇次项的系数和为 A，偶次项的系数和为 B.则 A a1 a3 a5， B a0 a2 a4 a6.由已知可知， B A3 8.令 x1，得， a0 a1 a2 a3 an(1) n(3) n，即( a0 a2 a4

22、a6)( a1 a3 a5 a7)(3) n，即 B A(3) n.(3) n3 8(3) 8， n8.由二项式系数性质可得，C C C C 2 nC 2 81.1n 2n 3n n 0n8关于下列( a b)10的说法，错误的是( )A展开式中的二项式系数之和是 1 024B展开式的第 6 项的二项式系数最大C展开式的第 5 项或第 7 项的二项式系数最大D展开式中第 6 项的系数最小考点 二项式系数的性质题点 二项式系数与项的系数问题答案 C解析 由二项式系数的性质知 C C C C 2 101 024，故 A 正确二项式系01 10 210 10数最大的项为 C ，是展开式的第 6 项，

23、故 B 正确由展开式的通项为 Tk1 C a10 k( b)510 k10k(1) kC a10 kbk知，第 6 项的系数C 最小，故 D 正确k10 510二、填空题9已知(1 x)10 a1 a2x a3x2 a11x10，若数列 a1， a2， a3， ak(1 k11， kZ)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是_考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1 x)n展开式的各项系数为其二项式系数，当 n10 时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故 k 的最大值为 6.10在 n的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则中间项系数是_(1x

24、31x3)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 46212解析 二项式的展开式中所有项的二项式系数和为 2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得 2n1 1 024， n11，展开式共 12 项，中间项为第六项、第七项，其系数为 C C 462.511 61111若 x4(x3) 8 a0 a1(x2) a2(x2) 2 a12(x2) 12，则 log2(a1 a3 a11)_.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 7解析 令 x1，2 8 a0 a1 a2 a11 a12.令 x3，0 a0 a1 a2

25、a11 a12，2 82( a1 a3 a11)， a1 a3 a112 7，log 2(a1 a3 a11)log 2277.三、解答题12设(2 x)100 a0 a1x a2x2 a100x100，求下列各式的值3(1)求 a0；(2)a1 a2 a3 a4 a100；(3)a1 a3 a5 a99；(4)(a0 a2 a100)2( a1 a3 a99)2；(5)|a0| a1| a100|.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题解 (1)令 x0，则展开式为 a02 100.(2)令 x1，可得 a0 a1 a2 a100(2 )100，3所以 a1 a2 a100

26、(2 )1002 100.3(3)令 x1，可得 a0 a1 a2 a3 a100(2 )100.3与式联立相减得a1 a3 a99 .2 3100 2 31002(4)由可得，( a0 a2 a100)2( a1 a3 a99)2( a0 a1 a2 a100)(a0 a1 a2 a100)(2 )100(2 )1001.3 3(5)|a0| a1| a100|，即(2 x)100的展开式中各项系数的和，在(2 x)100的展3 3开式中，令 x1，可得各项系数的和为(2 )100.31313已知 n展开式的二项式系数之和为 256.(xmx)(1)求 n；(2)若展开式中常数项为 ，求 m

27、 的值；358(3)若( x m)n展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项，求 m 的取值情况考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为 2n256，可得 n8.(2)设常数项为第 k1 项，则Tk1 C x8 k kC mkx82 k，k8 (mx) k8故 82 k0，即 k4，则 C m4 ，解得 m .48358 12(3)易知 m0，设第 k1 项系数最大则Error! 化简可得 k .8m 1m 1 9mm 1由于只有第 6 项和第 7 项系数最大，所以Error! 即Error!所以 m 只能等于 2.四、探究与拓展14设(3

28、 x2) 6 a0 a1(2x1) a2(2x1) 2 a6(2x1) 6，则_.a1 a3 a5a0 a2 a4 a6考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 6365解析 令 x1，得 a0 a1 a2 a61，令 x0，得 a0 a1 a2 a664，两式相减得 2(a1 a3 a5)63，两式相加得 2(a0 a2 a4 a6)65，故 .a1 a3 a5a0 a2 a4 a6 636515已知( x2)2n的展开式的系数和比(3 x1) n的展开式的系数和大 992，求 2n的3x (2x1x)展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项考点 展开式中系数最大(小)的项问题14题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得 22n2 n992，解得 n5.(1) 10的展开式中第 6 项的二项式系数最大，(2x1x)即 T6C (2x)5 58 064.510 (1x)(2)设第 k1 项的系数的绝对值最大，则 Tk1 C (2x)10 k kk10 (1x)(1) kC 210 kx102 k.k10Error! 得Error!即Error! k ， kN， k3，83 113故系数的绝对值最大的是第 4 项T4(1) 3C 27x415 360 x4.310