版选修4_5.docx
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1、12.3 平均值不等式(选学)2.4 最大值与最小值问题,优化的数学模型1.进一步熟悉平均值不等式及柯西不等式.2.会用平均值不等式及柯西不等式求某些初等函数的最值问题.自学导引1.设 a1, a2, an为 n 个正数,则 ,a1 a2 ann na1a2an 等号成立 a1 a2 an.2.设 a1, a2, an为 n 个正数,则 ,na1a2ann1a1 1a2 1an 等号成立 a1 a2 an.3.设 a1, a2, an为正数,则 a1 a2 ann na1a2an ,等号成立 a1 a2 an.n1a1 1a2 1an 4.设 D 为 f(x)的定义域,如果存在 x0 D,使得
2、 f(x) f(x0) (f(x) f(x0) x D,则称f(x0)为 f(x)在 D 上的最大(小)值, x0称为 f(x)在 D 上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题.基础自测1.某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品 4 件、5 件和 2 件,现在选择商店中单价为 3 元、2 元和 1 元的礼品,则花钱最少和最多的值分别为( ) A.20,23 B.19,25C.21,23 D.19,24解析 最多为 53422125,最少为 51422319,应选 B.答案 B2.若 f(x) 且 x(0,1,则 f(x)的最小值是( )x3 3x2A.2 B
3、.不存在C. D.103 316解析 x(0,1,即 x0.f(x) 2 2.x3 3x 1等号成立的条件是 ,即 x (0,1,x3 3x 3所以利用均值不等式,等号不成立,不能求 f(x)的最小值.令 t,则 , t ,x3 3x 1t (0, 13原函数变为 y t ,1t y t 在(0,1上是减函数,则在 上也是减函数, t 时, ymin 3 .1t (0, 13 13 13 103答案 C3.函数 y (x 1,0 y 3,1x 1x 13x 1x 1故值域为3,0).答案 3,0)知识点 1 利用柯西不等式求函数的最值【例 1】 若 3x4 y2,试求 x2 y2的最小值及最小
4、值点.解 由柯西不等式,得:(x2 y2)(324 2)(3 x4 y)24.所以 25(x2 y2)4,即 x2 y2 .425当且仅当 时,等号成立,x3 y43 ,解得 .4x 3y3x 4y 2) x 625y 825)所以 x2 y2的最小值为 ,最小值点为 .425 (625, 825)反思感悟:利用柯西不等式求函数的最小值时,往往需乘以一个两常数的平方和,常数的选取要根据题设条件来定,如例 1,利用柯西不等式求最大值时,往往对函数解析式的各项配一系数,使利用柯西不等式后 n 个项的平方和为常数.1.设 a, b, c 为正数, a b4 c21,求 c 的最大值.a b 2解 由
5、柯西不等式得:( c)2a b 2 (a1 b1 2c12)2 ( )2( )2(2 c)2 ,a b 12 12 (12)2 即( c)21 .a b 2 (1 112) 52当且仅当 时,a1 b1 2c12即 a b8 c2时取等号.20 c21, c , a b 时,125 510 25 c 的最大值为 .a b 2102知识点 2 利用平均值不等式求函数的最值【例 2】 (1)已知 x0, y0,且 x y2,求 x2 y2的最小值.解 (1) x0,54 y4 x214x 5 3231.(5 4x15 4x)当且仅当 54 x ,即 x1 时,上式等号成立.15 4x4故当 x1
6、时, ymax1.(2)y x2 1x2 4 x2 1( x2 1) 3 1x2 1 3x2 1 .123 36当且仅当 ,x2 13x2 1即 x22, x 时, ymax .236(3)方法一:由 x2 y22 xy,得 2(x2 y2)( x y)2,即 x2 y2 .( x y) 22因为 x y2,所以 x2 y22.当且仅当 x y1 时,取得最小值 2.方法二:由柯西不等式,得:(x2 y2)(121 2)( x y)2. x2 y2 (x y)2 42.12 12当且仅当 ,即 x y 时取等号.x1 y1 x y1 时,( x2 y2)min2.反思感悟:利用平均值不等式求最
7、值关键在变形上,变形的目的是能得到积为定值或和为定值,求最值时一定要找出最大(小)值点,如果最大(小)值点不存在,则不能用平均值不等式求最值,可考虑用函数的单调性或用其它方程. 2.求函数 y (x0)的最小值.x2 2x 6x 1解 y ( x1) 4( x 1) 2 4( x 1) 9x 1 9x 12 42.( x 1) 9x 1当且仅当 x1 ,即 x2 时,等号成立.所以 ymin2.9x 1知识点 3 平均值不等式在实际中的应用【例 3】 从半径为 2 的圆板上剪下一个圆心角为 的扇形,围成一个圆锥的侧面(如下图),如何操作使圆锥体积最大(即求出相应的 角).5解 如题图,圆锥的母
8、线长为 2,设圆锥轴截面的底角为 .(00).(x4x) x 2 4,当且仅当 x ,4x x4x 4x即 x2 时取等号, y 最小 48032041 760(元)答案 1 7606课堂小结柯西不等式有代数式、向量式和三角式三种形式,代数式又有二维形式、三维形式和一般式,都要熟练掌握.柯西不等式和均值不等式的主要应用是求函数的最值和证明不等式,有些函数的最值既可以用柯西不等式来求又可以用平均值不等式来求.随堂演练1.求函数 y , x0 的最小值.x2 5x 15x 2解 y ( x2) 1( x 2) 2 x 2 9x 2 9x 22 17,当且仅当 x2 ,99x 2即 x23, x1
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