河北省石家庄二中2018届高三数学三模试卷（A）理（含解析）.doc

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1、1河北省石家庄二中 2018 届高三数学三模试卷（A）理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,则 中所含元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，故选 D.考点：集合的表示法2.若函数 为纯虚数，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据为纯虚数 ，得到的值；再由 ，及复数除法的计算法则计算 的值。详解： 为纯虚数，解得又 i2007=i4501+3=i3=ia+i20071+ai =1i1+i= (1i)2(1

2、+i)(1i)=i故选 D点睛：（1）复数 分类：z=a+bi 时为实数； 时为虚数， 时为纯虚数。b=0 b0 a=0,b0（2） 以 4 为周期，即in i4k+1=i,i4k+2=i2=1;i4k+3=i3=i,i4k=i0=1,(kz)（3）复数除法运算法则：z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i(z20)23.已知命题 ， ，那么命题 为（ ）p:xR x2ex【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则 为 ， ，故选 Cp xR x2ex4.已知双曲线 的一个焦点为 ，且双曲线 的离心率为 ，则双曲线C:x2a2y2b2=1(a,b0) (2,0

3、) C 22的渐近线方程为（ ）CA. B. C. D. y=2x y=22x y=77x y= 7x【答案】D【解析】依题意，双曲线 的一个焦点为 ， ，双曲线离心率为 ，C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) (2,0) c=2 22 ， ， ， ，渐近线方程为 .故选ca=2a=22 a=22 c2=a2+b2 b=142 y=bax= 7xD.5.已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）x y xy30x+y20x+2y20 z=(x1)2+y2A. B. C. D. 12 22 1 2【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点

4、到点(x,y)的距离的平方，所以 故选 A(1,0) zmin=(|1+0-2|12+12)2=126.设 ， ，且 ，则（ ）(0,2) (0,2) tan=1+sincos3A. B. C. D. 3=2 2=2 +3=2 +2=2【答案】B【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即 和 化简，再根据tan=sincos sin(-)诱导公式和角的范围，确定正确答案。（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过 的变换化简，确定正确答(2-)4-2案。详解：方法一： tan=sincos即sincos=1+sincos sincos=cos+cossin整理得 sin(-)=

5、cos(0,2),(0,2)， -(-2,2) (-)+=2整理得 -2=-2方法二：1+sincos=1+cos(2-)sin(2-) = 2cos2(4-2)2sin(4-2)cos(4-2)= 1tan(4-2)tan= 1tan(4-2)(0,2),(0,2)， 4-2(0,4) +(4-2)=2整理得 -2=-2故选 B点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示，确定解题方向，选取适当三角函数公式化简求值。7.给出 个数： ， ， ， ， ， ，要计算这 个数的和.如图给出了该问题的程序30 1 2 4 7 1116 30框图，那么框图中判断框处和执行框处可以分别

6、填入（ ）4A. ？和 B. ？和i30 p=p+i1 i31 p=p+i+1C. ？和 D. ？和i31 p=p+i i30 p=p+i【答案】D【解析】试题分析：由于要计算 30 个数的和，故循环要执行 30 次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值应为 30即中应填写 i30；又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1+1=2；第 3 个数比第 2 个数大 2 即 2+2=4；第 4 个数比第 3 个数大 3 即 4+3=7；故中应填写 p=p+i考点：程序框图8.已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）f(x)=ex1+e1x f(x1)2详解：（1）当

7、直线 轴时，直线： 与抛物线交于 ，与圆lx x=1 (1,2)、(1,2)交于 ，满足 .(x1)2+y2=r2 (1,r)、(1,r) |AC|=|BD|（2）当直线不与 轴垂直时，设直线方程 .x y=k(x1) A(x1,y1),B(x2,y2)联立方程组 化简得y=k(x1)y2=4x k2x2(2k2+4)x+k2=0由韦达定理 x1+x2=2+4k2由抛物线得定义，过焦点 F 的线段 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+4k2当四点顺序为 时 A、C、D、B|AC|=|BD|AB 的中点为焦点 F（1，0） ，这样的不与 轴垂直的直线不存在； x当四点顺序为 时，A

8、、C、B、D|AC|=|BD|AB|=|CD|又 ，|CD|=2r8，即4+4k2=2r 2k2=r2当 时存在互为相反数的两斜率 k，即存在关于 对称的两条直线。r2 x=1综上，当 时有三条满足条件的直线.r(2,+)故选 B.点睛：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题代入法，考查了分类讨论思想、等价转化思想，由 到 的转化是解题关键 .|AC|=|BD| |AB|=|CD|12.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则对任意 ，函f(x) R x-1,m-1 m (-， -1 【易错点晴】本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式、 “错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属

9、于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积） ；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .1q18.在等腰直角 中， ， 分别为 ， 的中点， ，将 沿 折起，使得EBC A D EB EC AD=2 EBC AD二面角 为 .EADB 60（1）作出平面 和平面 的交线，并说明理由；EBC EAD（2）二面角 的余弦值.ECDB【答案】 （1）见解析（2）155【解析】分析：（1）通过 找到解题思路，再根据线面平行的判定、性

10、质以及公理 “过平面AD/BC内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条”说明理由.（2）过点 作 的垂线，垂足为 ，以 F 为坐标原点，FB 所在方向为 轴正方向，建立空E AB F x间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量 ，两平面法向量夹角n1,n2详解：（1）在面 内过点 作 的平行线即为所求.EAD E AD证明：因为 ，而在面 外， 在面 内，所以， 面 .l/AD ABCD AD ABCD l/ ABCD同理， 面 ，于是在面 上，从而即为平面 和平面 的交线.AD/ EBC EBC EBC EAD（2）由题意可得 为二面角 的平面角，所以， .EAB E-AD-B

11、 EAD=60过点 作 的垂线，垂足为 ，则 面 .E AB F EF ABCD以 为原点， 为 轴正方向， 为单位长度建立空间直角坐标系；F FB x |FB|则 ， ， ， ， ，B(1,0,0) C(1,4,0) A(-1,0,0) D(-1,2,0) E(0,0, 3)13从而 ， ，CD=(-2,-2,0) EC=(1,4, 3)设面 的一个法向量为 ,BCD n1=(x0,y0,z0)则由 得 ，所以 ，不妨取 .n1CD=0n1EC=0 -2x0-2y0=0x0+4y0- 3z0=0 x0=-y0z0= 3y0 n1=(1,-1,- 3)由 面 知平面 的法向量不妨设为EF AB

12、CD BCD n2=(0,0,1)于是， ，cos=n1n2|n1|n2|=35=155所以二面角 的余弦值为 .E-CD-B155点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标设两平面的法向量 ， 两法向量夹角为 ，求法向量及两向量夹角的余弦n1,n2 ；cos=n1n2|n1|n2|当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角 ；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为 .19.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位： ，

13、且均为整数） ，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，cm但已知所有运动员中成绩在 以上（包括 ）的只有两个人，且均在甲队.规定：190cm 190cm跳高成绩在 以上（包括 ）定义为“优秀”.185cm 185cm（1）求甲，乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在 （单位： ）内的运动人数 ；160,170) cm b（2）在甲，乙两队所有成绩在 以上的运动员中随机选取 人，已知至少有 人成绩为180cm 2 114“优秀” ，求两人成绩均“优秀”的概率；（3）在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 人参加省中学生运动会2正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列及期望

14、.X【答案】 （1） ， （2） （3） 见解析a=40b=9513【解析】分析：由频率分布直方图可知，成绩在 以上的运动员频数为 2，频率为190cm，由此求出全体运动员总人数，由成绩在 内频率求出运动员人数，0.00510=0.05 160,170)再减去甲队人数，即可求出乙队人数 ；b（2）分别求出“至少有 人成绩为优秀”和“两人成绩均优秀”的概率；再根据条件概率1即为所求；P(A|B)=P(AB)P(A)（3）由题设确定随机变量 所有可能值为 ，分别求三个概率，由此求出 的分布列X 0、1、2 X和数学期望 .EX详解：（1）由频率直方图可知：成绩在以 以上的运动员的频率为 ， 190

15、cm 0.00510=0.05全体运动馆总人数 （人） ，a=20.05=40成绩位于 中运动员的频率为 ，人数为 ，160,170) 0.0310=0.3 400.3=12由茎叶图可知：甲队成绩在 的运动员有 名， （人） ；160,170) 3 b=12-3=9（2）由频率直方图可得： 以上运动员总数为： ，180cm (0.020+0.005)1040=10由茎叶图可得，甲乙队 以上人数恰好 人，180cm 10所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为 人，6设事件 为“至少有 人成绩优秀 ”，事件 为“两人成绩均优秀” ，A 1 B ， ，P(A)=1-P(A)=1-C24C210=1

16、315P(AB)=C26C210=13 ；P(B|A )=P(AB)P(A)=131513=51315（3） 可取的值为 ， ， ，X 0 1 2 ， ， ，P(X=0)=C04C22C26=115P(X=1)=C14C12C26=815P(X=2)=C24C02C26=615=25 的分布列为：XX 0 1 2P 115 815 25 .E(X)=0115+1815+225=43点睛：随机变量 分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质：一是Xpi0( i1,2，)；二是 ，三是 p1 p2 pn1 检验分布列的正误P(A)=1P(A)20.已知椭圆 的左右顶点分别为 ， ，右焦点 的坐标为

17、 ，点E:x2a2+y2b2=1(ab0) A1 A2 F ( 3,0)坐标为 ，且直线 轴，过点 作直线与椭圆 交于 ， 两点（ ， 在第一象限P (2,2) PA1x P E A B A B且点 在点 的上方） ，直线 与 交于点 ，连接 .A B OP AA2 Q QA1（1）求椭圆 的方程；E（2）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，问： 的斜率乘积是否为定值，若QA1 k1 A1B k2 k1k2是求出该定值，若不是，说明理由.【答案】 （1） （2） . x24+y2=1 14【解析】分析：（1）由题意可知 ，则 ，即可求得椭圆方程.c= 3,a=2 b= a2c2=1（2）由题

18、意设 ， ， ，设直线 的方程为 ，代入椭圆方A(x1,y1) B(x2,y2) Q(-t,t) AB x=m(y2)2程，写出韦达定理关系式，再根据 三点共线，得到 ，然后计算 的值Q、A、A2 t=2y1x1+y12 k1k2为定值 .14详解：（1）设椭圆方程为 ，由题意可知： ，所以 ，x2a2+y2b2=1(ab0) a=2c= 3 b=1所以椭圆的方程为x24+y2=1（2）是定值，定值为 .-1416设 ， ，因为直线 过点 ，设直线 的方程为： ，A(x1,y1) B(x2,y2) AB P(-2,2) AB x=my-2m-2联立 x2+4y2=4x=my-2m-2 (m2+

19、4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0所以 ， ，y1+y2=4m2+4mm2+4 y1y2=4m2+8mm2+4因为点 在直线 上，所以可设 ，Q OP Q(-t,t)又 在直线 上，所以：Q AA2t-t-2= y1x1-2t=- 2y1x1+y1-2所以k1k2= - 2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2 y2x2+2=- y1y2(x2+2)(x1+2y2-2)=- y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=- y1y2(m2+2m)(y1y2-2(y1+y2)+4)=-14点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为：设动点和动直线、

20、即引入参数；结合已知条件将目标式用参变量表示，（3）通过化简消参求得定值.设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算.21.设函数 ，其中 .f(x)=x+a(e2x3ex+2) aR（1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；f(x)（2）若 成立，求的取值范围.x0,f(x)0【答案】 （1）见解析（2） 0a1【解析】分析：（1）求函数的导数，再换元 ，令 ，对与 分类讨t=ex(t0) f(x)=g(t)=2at2-3at+1 论 ，即可得出函数的极值的情况 . a=0 a0,0 a0,0 a0（2）由（1）可知：当 时，函数 在 为增函数，又 所以满足条件；0a89 f(x)

21、(0,+) f(0)=0当 时，因换元 满足题意需在此区间 ，即 ；最后得到的取值a89 t(1,+) g(t)g(1)0 a1范围.详解：（） ，设 ，则 ，f(x)=2ae2x-3aex+1 ex=t0 f(x)=g(t)=2at2-3at+1当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点.a=0 f(x)=10 f(x) R17当 时， ，a0 =9a2-8a若 时 ， ，函数 在 为增函数，无极值点 .089 0 g(t)=2at2-3at+1 t1 t2 t10 f(x) x(lnt1,lnt2)f(x)0 f(x) f(x)同理当 时 的两个不相等的实数根 ， ，且 ，a0 f(x)所以

22、函数只有一个极值点.综上可知当 时 的无极值点；当 时 有一个极值点；当 时， 的有两0a89 f(x) a89 f(x)个极值点.（）对于 ，x0 ex=t1由（）知当 时函数 在 上为增函数，由 ，所以 成立.0a89 f(x) R f(0)=0 f(x)0若 ，设 的两个不相等的正实数根 ， ，a89 g(t)=2at2-3at+1 t1 t2且 ， ， .则若 ， 成立，则要求 ，t10 f(x)0 t20 f(x)0若当 时a1 (t)=at2-(3a-1)t+2a0综上所述，的取值范围是 .0a1点睛：函数的导数或换元后的导数为二次函数 题型，求函数的单调性或f(x)=ax2+bx

23、+c极值点个数的解题步骤为：（1）确定定义域；（2）二次项系数 ；（3） ；（4）a=0 0，再讨论 ，两个根的大小关系。0 f(x)=0请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.1822.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （为参数， ） ，xOy C1 P(a,1)x=a22ty=122t aR以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为O x C2.cos2+3cos=0（1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；C1 C2（2）求已知曲线 和曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数的值.C1

24、C2 A B |PA|=3|PB|【答案】 （1） , （2） 或 .x-y-a+1=0y2=3x7121348【解析】【分析】（1）利用参数方程、普通方程与极坐标方程的转化方法，求曲线 的普通方程和曲线C1的直角坐标方程.C2（2）先将曲线 的方程转化为标准参数方程，然后将其代入曲线 的直角坐标方程中，C1 C2因曲线 和曲线 有两个交点，所以整理后的关于的二次方程 ，初步确定的范围，再C1 C2 0根据参数方程的几何意义可知 ， ，引入已知 ，分类讨论，求实|PA|=|t1| |PB|=|t2| |PA|=3|PB|数的值.【详解】 （1） 的参数方程 ，消参得普通方程为 ，C1 x=a-

25、 22ty=1- 22t x-y-a+1=0的极坐标方程化为 即 ；C2 2cos2+3cos-2=0 y2=3x（2）将曲线 的参数方程标准化为 （为参数， ）C1 x=a+22ty=1+22t aR代入曲线 得 ，由 ，C2:y2=3x t2- 2t+2-6a=0 =(- 2)2-41(2-6a)0得 a14设 ， 对应的参数为 ， ，由题意得 即 或 ，A B t1 t2 |t1|=3|t2| t1=3t2 t1=-3t219当 时， ，解得 ，t1=3t2 t1=3t2t1+t2= 2t1t2=2-6a a=1348 14当 时， 解得 ，t1=-3t2 t1=-3t2t1+t2= 2

26、t1t2=2-6a a=712综上： 或 .a=7121348点睛：过点 倾斜角为 的直线标准参数方程为 （为参数） ，通过如下P(x0,y0) x=x0+tcosy=y0+tsin 方式辨别标准直线参数方程：（1）系数平方和 ， （2）纵坐标系数为正cos2+sin2=1 .sin0 23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .f(x)=|2x2|+|2x+3|（1）求不等式 的解集；f(x)-4 -4x-32当 时， 恒成立，即 ；-32x1 515 -32x1当 时，有 ，解得 ，即 .x1 4x+115 x72 1x72综上，解集为 .(-4,72)（2）由 恒成立得 恒成立，f(x)a-x2+x a|2x-2|+|2x+3|+x2-x ，当且仅当 ，即 是等|2x-2|+|2x+3|(2x-2)-(2x+3)|=5 (2x-2)(2x+3)0 -32x120号成立；又因为 ，当且仅当 时等号成立，又因为 ，所以 ，所以 .点睛：含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如 ） ；（4）图象法或数形结合法；