2019年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2命题的四种形式讲义（含解析）湘教版选修2_1.doc

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1、111.2 命题的四种形式读教材填要点1四种命题结构2四种命题的相互关系3四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假(2)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系小问题大思维1命题 a 的否命题是 b，命题 b 的逆否命题是 c，命题 c 的逆命题是 d，则命题 a 与命题 d 的关系是怎样的？提示：由四种命题间的关系可知 a 与 d 是一个命题2如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：

2、一定为真命题因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同23在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为 0,2,4.四种命题的概念写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若 ，则 sin cos ； 2(2)对任意非正数 c，若有 a b c 成立，则 a b.自主解答 逆命题：若 sin cos ，则 . 2否命题：若 ，则 sin cos . 2逆否命题：若 sin cos ，则 . 2(2)逆命题：对任意非正数 c，若有 a b 成立，则 a b c.否命题：对任意非正数

3、 c，若有 ab c 成立，则 ab.逆否命题：对任意非正数 c，若有 ab 成立，则 ab c.四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)负数的平方是正数；(2)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面解：(1)原命题改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数” 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数逆否命题：若一个数的平方不

4、是正数，则它不是负数3(2)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线四种命题真假的判断判断下列命题的真假，并说明理由(1)“若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否命题；(2)“正三角形都相似”的逆命题；(3)“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题；(4)“若 x 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题2自主解答 (1)原命题的否命题为“若 x2 y20，则 x， y 全为零” 真命题(2)原命

5、题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形” 假命题(3)原命题的逆否命题为“若 x2 x m0 无实根，则 m0” 方程无实根，判别式 14 m0，则 mx2 x10 有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若 mx2 x10 无实根，则 m0” 因为方程mx2 x10 无实根，则 m0，所以判别式 14 m2，5则 m2 n22” 由于 m n2，则 m2 n2 (m n)2 222，12 12所以 m2 n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试判断命题“已知 a， x 为实数，若关于 x

6、 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集非空，则 a1”的逆否命题的真假解 法一：逆否命题：已知 a， x 为实数，若 a1，则关于 x 的不等式 x2(2 a1)x a220 的解集为.判断如下：抛物线 y x2(2 a1) x a22 开口向上，令 x2(2 a1) x a220，则 (2 a1) 24( a22)4 a7.因为 a1，所以 4a70，即抛物线 y x2(2 a1) x a220 的解集为.故逆否命题为真命题法二：利用原命题的真假去判断逆否命题的真假因为关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集非空，所以 (2 a1)24( a22)0.即 4a7

7、0，解得a 1.所以原命题为真，故其逆否命题为真74法三：利用集合的包含关系求解命题 p：关于 x 的不等式 x2(2 a1) x a220 的解集非空，命题 q： a1，所以 p： A a|(2a1) 24( a22)0 ；a|a74q： B a|a1因为 AB，所以“若 p，则 q”为真命题所以原命题的逆否命题为真点评 因为互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，所以判断某个命题真假时，可以改为判断它的逆否命题的真假当命题与不等式的解集有关时，也可以利用集合的包含关系61设 mR，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是( )A若方程 x2 x m0 有实根，则 m0B

8、若方程 x2 x m0 有实根，则 m0C若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0D若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0解析：根据逆否命题的定义，命题“若 m0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是“若方程 x2 x m0 没有实根，则 m0” 故选 D.答案：D2已知 a， b， cR，命题“若 a b c3，则 a2 b2 c23”的否命题是( )A若 a b c3，则 a2 b2 c23，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A0 B1C2 D4解析：“若 a3，则 a6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题又逆命题、否命题为假命题，所

9、以真命题的个数为 2.故选 C.答案：C4命题“若 ab，则 2a2b1”的否命题为_解析：“ ab”的否定是“ a b”， “2a2b1”的否定是“2 a2 b1” 答案：若 a b，则 2a2 b15有下列四个命题：命题“若 x y0，则 x， y 互为相反数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若 m1，则 x22 x m0 有实根”的逆否命题；命题“若 A B B，则 AB”的逆否命题其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号)解析：中由 A B B，应该得出 BA，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题答案：76写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假(1)在

10、 ABC 中，若 ab，则 A B；(2)若 ab0，则 a0；(3)若 x A，则 x A B.解：(1)逆命题：在 ABC 中，若 A B，则 ab，真命题；否命题：在 ABC 中，若 a b，则 A B，真命题；逆否命题：在 ABC 中，若 A B，则 a b，真命题(2)逆命题：若 a0，则 ab0，真命题；否命题：若 ab0，则 a0，真命题；逆否命题：若 a0，则 ab0，假命题(3)逆命题：若 x A B，则 x A，假命题；否命题：若 xA，则 xA B，假命题；逆否命题：若 xA B，则 xA，真命题一、选择题1命题“若 ab，则 a1 b”的逆否命题是( )A若 a1 b，

11、则 ab B若 a1bC若 a1 b，则 a b D若 a11，则 x10”的否命题是“若 x1，则 x10”的否命题应该是“若 x1，则 x10” 答案：B4命题“函数 f(x)g(x)在定义 R 上， h(x) f(x)g(x)，若 f(x)， g(x)均为奇函数，则 h(x)为偶函数”的逆命题，否命题，逆否命题中正确的命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：由 f(x)g(x)均为奇函数可得 h(x) f(x)g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x) x2是偶函数，但函数 f(x) ， g(x) x21 都不是奇函数，故逆命题不正确，x2x2 1故其否命题也不正确，即只有逆否命题正

12、确答案：B二、填空题5命题“若 A B B，则 AB”的否命题是_，逆否命题是_解析：命题“若 A B B，则 AB”的否命题是“若 A B B，则 A B”，逆否命题是“若 A B，则 A B B”答案：若 A B B，则 A B 若 A B，则 A B B6给定下列命题：“若 k0，则方程 x22 x k0”有实根；“若 a b，则 a c b c”的否命题其中真命题的序号是_解析： 44 k0，是真命题否命题为“若 a b，则 a c b c”，是真命题答案：7已知命题“若 m1 xm1，则 1x2”的逆命题为真命题，则 m 的取值范围是_解析：由已知得，若 1x2 成立，则 m1 xm

13、1 也成立Error!1 m2.答案：1,28下列命题中：9若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_解析：命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等” ；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补” ；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆” ，再依据四种命题间的关系便不难判断答案：和，和 和，和 和，和三、解答题9写出下列命题的逆命题、否命题、逆否

14、命题，并判断其真假(1)若 x1 时，则 x23 x20；(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧解：(1)逆命题：若 x23 x20，则 x1，是真命题；否命题：若 x1，则 x23 x20，是真命题；逆否命题：若 x23 x20，则 x1，是假命题(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题10已知集合 A x|x24 mx2 m60， B x|x0，若命题“ A B”是假命题，求实数 m 的取值范围解：因为 A B是假命题，所以 A B.设全集 U m| (4 m)24(2 m6)0，则 UError! .假设方程 x24 mx2 m60 的两根 x1， x2都非负，则有Error!即 Error!解得 m .3210又集合Error! 在全集 U 中的补集是 m|m1，所以实数 m 的取值范围是(，1