（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习第一篇知识方法固基第四单元图形初步与三角形考点强化练19解直角三角形及其应用试题.docx

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1、1考点强化练 19 解直角三角形及其应用夯实基础1.(2018云南)在 Rt ABC 中, C=90,AC=1,BC=3,则 A 的正切值为( )A.3 B. C. D.13 1010 31010答案 A解析 根据正切的意义得 tanA= =3.BCAC=312.(2018湖南益阳)如图,小刚从山脚 A 出发,沿坡角为 的山坡向上走了 300 米到达 B 点,则小刚上升了( )A.300sin B.300cos C.300tan D.300tan答案 A解析 sin= ,BC=AB sin= 300sin ,故选 A.BCAB3.(2018吉林长春)如图,某地修建高速公路,要从 A 地向 B

2、地修一条隧道(点 A、 B 在同一水平面上) .为了测量 A、 B 两地之间的距离,一架直升飞机从 A 地出发,垂直上升 800 米到达 C 处,在 C 处观察 B地的俯角为 ,则 A、 B 两地之间的距离为( )A.800sin 米 B.800tan 米C. 米 D. 米800sin 800tan答案 D解析 由题中条件可知,在 Rt ABC 中, ABC= ,AC=800 米,由 tan= ,可得 AB= 米 .ACAB 800tan4.2(2018江苏苏州)如图,某海监船以 20 海里 /时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至 A 处时,测得岛屿 P 恰好在其正北方向,继续

3、向东航行 1 小时到达 B 处,测得岛屿 P 在其北偏西 30方向,保持航向不变又航行 2 小时到达 C 处,此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即 PC 的长)为( )A.40 海里 B.60 海里C.20 海里 D.40 海里3 3答案 D解析 本题解答时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算 .由题意可知AB=20, APB=30,PA= 20 ,3BC= 220=40,AC= 60,PC= =40 (海里),故选 D.PA2+AC2= (203)2+602 35.(2018长丰一模)计算:2cos 60 +4sin 60tan 30-cos245= . 答案52解析 原式 =2

4、+4 =1+2- .12 3233-(22)2 12=526.(2018山东枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31,AB 的长为 12 米,则大厅两层之间的高度为 米 .(结果保留两个有效数字) (参考数据:sin 31 =0.515,cos 31=0.857,sin 31=0.601)答案 6.2解析 在 Rt ABC 中, =sin BAC,即 =sin31,BC=120.515=6.186 .2(米),故填 6.2.BCAB BC127.(2018吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,先制定了如下测量方案,使用工具是测角仪和皮尺 .请帮助组长林平完成方格内容,用含

5、a,b,c 的代数式表示旗杆 AB 的高度 .数学活动方案活动时间:2018 年 4 月 2 日 活动地点:学校操场 填表人:林平课题 测量学校旗杆的高度活动目的 运用所学数学知识及方法解决实际问题3方案示意图测量步骤(1)用 测得 ADE= ; (2)用 测得 BC=a 米,CD=b 米 计算过程解 测量步骤:(1)测角仪 (2)皮尺计算过程:如题图, ADE= ,DE=BC=a,BE=CD=b,在 Rt ADE 中, AED=90, tan ADE= ,AEDEDE=AE tan ADE=atan.AB=AE+BE= (b+atan )(米) .8.(2018辽宁抚顺)如图, BC 是路边

6、坡角 30,长为 10 米的一道斜坡,在坡顶灯杆 CD 的顶端 D 处有一探射灯,射出的边缘光线 DA 和 DB 与水平路面 AB 所成的夹角 DAN 和 DBN 分别是 37和60(图中的点 A,B,C,D,M,N 均在同一平面内, CM AN).(1)求灯杆 CD 的高度;(2)求 AB 的长度(结果精确到 0.1 米) .(参考数据: =1.73,sin 370 .60,cos 370 .80,tan 370 .75)3解 (1)延长 DC 交 AN 于 E, DBN=60,BC=10 米, CBN=30, DCM=90,CM AN, BDE=30, DEB=90.CE= BC=5(米)

7、, BE= BC=5 (米) .12 BC2-CE2= 32 3 tan DBE= ,DEBE=DC+CEBE= 3解得 CD=10(米) .(2)由(1)可知, DE=15 米, BE=5 米 .3AE=AB+BE ,tan DAN= , DAN=37,DEAE= DEAB+BE 0 .75,解得 AB11 .4(米) .15AB+5349.(2018江苏徐州)如图,1 号楼在 2 号楼的南侧,两楼的高度均为 90 m,楼间距为 AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为 32.3,1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为 55.7,1 号楼在 2

8、号楼墙面上的影高为 DA.已知 CD=42 m.(1)求楼间距 AB;(2)若 2 号楼共有 30 层,层高均为 3 m,则点 C 位于第几层?(参考数据:sin 32 .30 .53,cos 32.30 .85,tan 32.30 .63,sin 55.70 .83,cos 55.70 .56,tan 55.71 .47)解 (1)过点 C,D 分别作 CE PB,DF PB,垂足分别为 E,F.则有 AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知: PCE=32.3, PDF=55.7,在 Rt PCE 中, PE=CEtan32.3=0.63CE.在 Rt PDF 中, PF=CEtan

9、55.7=1.47CE.PF-PE=EF , 1.47CE-0.63CE=42,AB=CE= 50(m).答:楼间距为 50m.(2)由(1)得: PE=0.63CE=31.5(m),AC=BP-PE= 90-31.5=58.5(m),58.53=19.5, 点 C 位于第 20 层 .答:点 C 位于第 20 层 .10.5(2017内蒙古包头)如图,在 ABC 中, C=90, B=30,AD 是 ABC 的角平分线, DE BA 交 AC于点 E,DF CA 交 AB 于点 F,已知 CD=3.(1)求 AD 的长;(2)求四边形 AEDF 的周长 .(注意:本题中的计算过程和结果均保留

10、根号)解(1)在 ABC 中, C=90, B=30, BAC=60.AD 是 ABC 的角平分线, CAD= BAD= BAC=30.12在 Rt ACD 中, CAD=30,CD=3,CD= AD,AD= 6.12(2)DE BA,DF CA, 四边形 AEDF 为平行四边形, BAD= EDA. CAD= BAD, CAD= EDA,AE=DE. 四边形 AEDF 为菱形 .DE BA, CDE= B=30,在 Rt CDE 中, C=90, cos CDE= ,CDEDED= =2 .3cos30 3 四边形 AEDF 的周长为 4ED=42 =8 .3 3提升能力11.(2018北京

11、)如图所示的网格是正方形网格, BAC DAE.(填“ ”“=”或“ 解析 如图,取格点 N,点 H,连接 NH、 BC,过 N 作 NP AD 于 P,6S ANH=22- 122- 11= AHNP,12 12 12PN,PN= ,Rt ANP 中,sin NAP= =0.6,32= 52 35 PNAN= 355=35Rt ABC 中,sin BAC= 0.6,BCAB= 222= 22 正弦值随着角度的增大而增大, BAC DAE.12.(2018内蒙古通辽)我市 304 国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚 A、 C 两地的海拔高度约为 1 000 米,山

12、顶 B 处的海拔高度约为 1 400 米,由 B 处望山脚 A 处的俯角为 30,由 B 处望山脚 C 处的俯角为 45,若在 A、 C 两地间打通一条隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据 1 .732).3解 作 BD AC,垂足为 D,如图所示 .由题意可得 BD=1400-1000=400(米), BAC=30, BCA=45,在 Rt ABD 中, tan30= ,即 ,AD= 400 (米) .BDAD 400AD= 33 3在 Rt BCD 中, BCA=45,DC=DB= 400(米) .AC=AD+DC= 400 +4001092 .81093(米) .3答:隧道最短

13、约为 1093 米 .13.(2018山东莱芜,20)在小水池旁有一盏路灯,已知支架 AB 的长是 0.8 m,A 端到地面的距离 AC为 4 m,支架 AB 与灯柱 AC 的夹角为 65.小明在水池的外沿 D 测得支架 B 端的仰角为 45,在水池的内沿 E 测得支架 A 端的仰角为 50(点 C,E,D 在同一直线上),求小水池的宽 DE.(结果精确到 0.1 m)(sin 650 .9,cos 650 .4,tan 501 .2)解 过点 B 作 BF AC 于 F,BG CD 于 G.在 Rt BAF 中, BAF=65,BF=ABsin BAF=0.80.9=0.72,7AF=ABc

14、os BAF=0.80.4=0.32,FC=AF+AC= 4.32.由题意可知四边形 FCGB 是矩形,BG=FC= 4.32,CG=BF=0.72. BDG=45, DBG= GDB,GD=GB= 4.32,CD=CG+GD= 5.04.在 Rt ACE 中, AEC=50,CE= 3 .33,ACtan AEC= 41.2DE=CD-CE= 5.04-3.33=1.711 .7.答:小水池的宽是 1.7m. 导学号 1673412414.(2018江苏扬州)问题呈现:如图 1,在边长为 1 的正方形网格中,连接格点 D、 N 和 E、 C,DN 和EC 相交于点 P,求 tan CPN 的

15、值 .方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形 .观察发现问题中 CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点 M,N,可得 MN EC,则 DNM= CPN,连接 DM,那么 CPN 就变换到 Rt DMN 中 .问题解决(1)直接写出图 1 中 tan CPN 的值为 ; (2)如图 2,在边长为 1 的正方形网格中, AN 与 CM 相交于点 P,求 cos CPN 的值;思维拓展(3)如图 3,AB BC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到 N,使 BN=2BC,连接 AN 交 C

16、M 的延长线于点 P,用上述方法构造网格求 CPN 的度数 .解 (1)由勾股定理得: DM=2 ,MN= ,DN= , (2 )2+( )2=( )2,2 2 10 2 2 10DM 2+MN2=DN2, DMN 是直角三角形 .MN EC, CPN= DNM. tan DNM= =2,DMMN=2228 tan CPN=2.(2)法 1:如图,cos CPN=cos QCM= .22法 2:如图中,取格点 D,连接 CD,DM.CD AN, CPN= DCM, DCM 是等腰直角三角形, DCM= CDM=45, cos CPN=cos DCM= .22(3)法 1:如图, CPN= CM

17、Q=45.法 2:如图, CPN= QAN=45.法 3:如图中,取格点 Q,连接 AQ、 NQ.PC QN, CPN= ANQ.9AQ=QN , AQN=90, ANQ= QAN=45, CPN=45. 导学号 1673412515.(2018山东莱芜)如图,若 ABC 内一点 P 满足 PAC= PCB= PBA,则称点 P 为 ABC 的布罗卡尔点 .三角形的布罗卡尔点是法国数学家和教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮 .已知 ABC 中, CA=CB, ACB=120,P 为 ABC 的布

18、罗卡尔点,若 PA= ,则 PB+PC= . 3答案 1+33解析 如图,由“布罗卡尔点”的定义,设 PAC= PCB= PBA= ,又 CA=CB, ACB=120, ABC= BAC=30, CBP= PAB=30-= , BCP ABP, ,而在 ABC 中,作 CD AB 于 D,则 BD= AB,而 cosB= ,PBPA=BCAB=PCPB 12 BDBC= 32 , ,BCAB= 13 PB3= 13=PCPBPB= 1,PC= ,PB+PC= 1+ .故答案为 1+ .33 33 33创新拓展16.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, P 是 BC 边上任意一点,过点 P

19、分别作 PM AB,PN AC,M,N 分别为垂足 .(1)求证:不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高;(2)求当 BP 的长为何值时,四边形 AMPN 的面积最大,并求出最大值 .(1)证明 连接 AP, ABC 是等边三角形,故不妨设 AB=BC=AC=a,其中 BC 边上的高记作 h,PM AB,PN AC,S ABC=S ABP+S ACP10= ABMP+ ACPN12 12= a(PM+PN),12又 S ABC= BCh= ah,12 12PM+PN=h.即不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高 .(2)解 设 BP=x,在 Rt BNP 中, BMP=90, B=60,BP=x,BM=BP cos60= x,12MP=BPsin60= x,32S BMP= BMMP= x x= x2;12 1212 32 38PC= 2-x,同理可得 S PNC= (2-x)2,38又 S ABC= 22= ,34 3S 四边形 AMPN=S ABC-S BMP-S PNC= x2- (2-x)23-38 38=- (x-1)2+ ,34 334 当 BP=1 时,四边形 AMPN 的面积最大,是 .33411