（天津专用）2020版高考数学大一轮复习5.2平面向量数量积与应用精练.docx

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1、15.2 平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.理解数量积的性质并能运用2014 天津,8基底法线性表示向量向量的共线表示2.平面向量数量积的应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题2015 天津,14向量方法解决平面几何问题基本不等式2分析解读 在天津高考中,平面

2、向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积;遇到模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决,主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.破考点【考点集训】考点一 平面向量的数量积1.已知 A,B 是单位圆 O 上的两点(O 为圆心),AOB=120,点 C 是线段 AB 上不与 A、B 重合的动点.MN 是圆 O

3、的一条直径,则 的取值范围是( )CMCNA. B.-1,1) C. D.-1,0)-34,0) -12,1)答案 A 2.(2012 北京,13,5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 的值DECB为 ; 的最大值为 . DEDC答案 1;1考点二 平面向量数量积的应用3.已知向量| |=2,| |=1,且| -2 |=2 ,则向量 和 的夹角为( )AB CD ABCD 3 ABCDA.30 B.60 C.120 D.150答案 C 4.已知向量 a=(cos,sin),向量 b=( ,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是( )3A.4,0 B

4、.4 ,4 C.4 ,0 D.16,02 2答案 A 5.已知向量 a 是单位向量,向量 b=(2,2 ),若 a(2a+b),则 a,b 的夹角为 . 3答案 23炼技法3【方法集训】方法 1 求平面向量的模的方法1.已知平面向量 , 满足| |=| |=1, =- ,若| |=1,则| |的最大值为( )PAPB PA PB PAPB12 BC ACA. -1 B. -1 C. +1 D. +12 3 2 3答案 D 2.在ABC 中,BAC=60,AB=5,AC=4,D 是 AB 上一点,且 =5,则| |等于( )ABCD BDA.6 B.4 C.2 D.1答案 C 3.已知向量 a

5、与向量 b 的夹角为 ,且|a|=|b|=2,若向量 c=xa+yb(xR 且 x0,yR),则23的最大值为( )|xc|A. B. C. D.333 3 13答案 A 方法 2 求平面向量的夹角的方法4.ABC 是边长为 2 的等边三角形,向量 a,b 满足 =2a, =2a+b,则向量 a,b 的夹角为( )AB ACA.30 B.60 C.120 D.150答案 C 5.若 e1,e2是平面内夹角为 60的两个单位向量,则向量 a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30 B.60 C.90 D.120答案 D 6.已知|a|= ,ab=- ,且(a-b)(a+b)=-

6、15,则向量 a 与 b 的夹角 为( )105302A. B. C. D.23 34 56 3答案 C 方法 3 用向量法解决平面几何问题的方法7.(2015 湖南,9,5 分)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 ABBC.若点 P 的坐标为(2,0),则| + + |的最大值为( )PAPBPCA.6 B.7 C.8 D.9答案 B 48.已知向量 , 的夹角为 60,| |=| |=2,若 =2 + ,则ABC 为( )OAOB OA OB OCOAOBA.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案 C 过专题【五年高考】A 组 自主命题天津卷题

7、组考点一 平面向量的数量积1.(2016 天津,7,5 分)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则 的值为( )AFBCA.- B. C. D.58 18 14 118答案 B 2.(2014 天津,8,5 分)已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD=120,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BE=BC,DF=DC.若 =1, =- ,则 +=( )AEAF CECF23A. B. C. D.12 23 56 712答案 C 考点二 平面向量数量积的应用(2015 天津,14,5 分)在等腰梯形

8、 ABCD 中,已知 ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点 E 和F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 = , = ,则 的最小值为 . BE BCDF19 DC AEAF答案 2918B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 平面向量的数量积1.(2018 课标,4,5 分)已知向量 a,b 满足|a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0答案 B 2.(2014 课标,3,5 分)设向量 a,b 满足|a+b|= ,|a-b|= ,则 ab=( )10 6A.1 B.2 C.3 D.5答案 A 53.(2017 课标,13,5 分)已知向

9、量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 答案 2 34.(2016 课标,13,5 分)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b| 2=|a|2+|b|2,则 m= . 答案 -25.(2015 湖北,11,5 分)已知向量 ,| |=3,则 = . OAABOA OAOB答案 9考点二 平面向量数量积的应用1.(2018 浙江,9,4 分)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为 , 3向量 b 满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是( )A. -1 B. +1 C.2 D.2-3 3 3答案 A

10、2.(2017 课标,12,5 分)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 ( + )的最小值是( )PA PBPCA.-2 B.- C.- D.-132 43答案 B 3.(2016 课标,3,5 分)已知向量 = , = ,则ABC=( )BA(12,32)BC(32,12)A.30 B.45 C.60 D.120答案 A 4.(2016 山东,8,5 分)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos= .若 n(tm+n),则实数13t 的值为( )A.4 B.-4 C. D.-94 94答案 B 5.(2014 江西,14,5 分)已知单位向量

11、 e1与 e2的夹角为 ,且 cos= ,向量 a=3e1-2e2与13b=3e1-e2的夹角为 ,则 cos= . 答案 223C 组 教师专用题组61.(2015 广东,9,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形, =(1,-2),AB=(2,1),则 =( )AD ADACA.5 B.4 C.3 D.2答案 A 2.(2015 福建,7,5 分)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 bc,则实数 k 的值等于( )A.- B.- C. D.32 53 53 32答案 A 3.(2014 湖南,10,5 分)在平面直角坐标系中,O 为原点,

12、A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点 D3满足| |=1,则| + + |的取值范围是( )CD OAOBODA.4,6 B. -1, +1 C.2 ,2 D. -1, +119 19 3 7 7 7答案 D 4.(2018 上海,8,5 分)在平面直角坐标系中,已知点 A(-1,0)、B(2,0),E、F 是 y 轴上的两个动点,且| |=2,则 的最小值为 . EF AEBF答案 -35.(2015 安徽文,15,5 分)ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足=2a, =2a+b,则下列结论中正确的是 .(写出所有正确结论的编号) AB ACa 为单位向量;

13、 b 为单位向量; ab;b ; (4a+b) .BC BC答案 6.(2014 江苏,12,5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5, =3 , =2,则CPPDAPBP 的值是 . ABAD答案 227.(2014 重庆,12,5 分)已知向量 a 与 b 的夹角为 60,且 a=(-2,-6),|b|= ,则 ab= .10答案 1078.(2013 课标,13,5 分)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60,c=ta+(1-t)b.若 bc=0,则 t= . 答案 29.(2013 课标,13,5 分)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点

14、,则 = .AEBD答案 2解析 解法一: = ( - )= - =22- 22=2.AEBD(AD+12AB) ADABAD212AB2 12解法二:以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图),可得 A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),则 =(1,2), =(-2,2),则 =(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.AE BD AEBD【三年模拟】一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2018 天津芦台一中模拟,7)在直角梯形 ABCD 中,ABCD,ABAD,AB=2,CD=1,P 为线段 BC上的一点,设 = ,若 = ,则| |=( )B

15、P23BC PAPD89 ADA.2 B. C. D.13 2答案 A 2.(2018 天津南开二模,8)设ABC 是边长为 1 的正三角形,M 是ABC 所在平面上的一点,且+2 + = ,则当 取得最小值时, 的值为( )MA MBMCCA MAMCA. B. C.2 D.313 12答案 A 3.(2019 届天津新华中学期中,5)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|,且(a-b)(3a+2b),则 a223与 b 的夹角为( )A. B. C. D. 4 2 34答案 A 84.(2017 天津南开一模,7)在ABC 中,AB=AC=1, = , = , =- ,则ABC=( )A

16、MMBBNNCCMAN14A. B. C. D.512 3 4 6答案 C 5.(2017 天津五校联考一模,7)在ABC 中,AC=2AB=2,BAC=120,O 是 BC 的中点,M 是 AO上的一点,且 =3 ,则 的值是( )AOMO MBMCA.- B.- C.- D.-53 76 73 56答案 A 6.(2019 届天津南开中学第二次月考,7)在ABC 中, =4,| |=3,M,N 分别是 BC 边上ABAC BC的三等分点,则 的值是( )AMANA.5 B. C.6 D.8214答案 C 7.(2017 天津和平一模,7)如图,在平行四边形 ABCD 中,BAD= ,AB=

17、2,AD=1.若 M、N 分别是 3边 AD、CD 上的点,且满足 = =,其中 0,1,则 的取值范围是( )MDADNCDC ANBMA.-3,1 B.-3,-1 C.-1,1 D.1,3答案 B 8.(2018 天津部分区县一模,7)已知点 G 是ABC 内的一点,且满足 + + =0,若BAC= ,GAGBGC 3 =1,则| |的最小值是( )ABAC AGA. B. C. D.33 32 63 62答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 45 分)9.(2018 天津南开中学第三次月考,12)已知向量 a 与 b 的夹角为 60,若 a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|=

18、. 答案 2 3910.(2017 天津南开三模,11)已知向量 a,b 满足|a|= ,|b|=2,(a+b)a,则向量 a,b 的夹3角为 . 答案 5611.(2017 天津河西三模,12)已知等边ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 = + ,3 CM16CB23CA则 = . MAMB答案 -212.(2017 天津八校联考,13)如图,在矩形 ABCD 中,AB= ,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在2边 CD 上,若 = ,则 的值是 . ABAF 2 AEBF答案 213.(2018 天津红桥二模,12)如图,在ABC 中,ADAB, = ,| |=1,则

19、= .BC 3BDAD ACAD答案 314.(2019 届天津耀华中学第二次月考,13)已知向量 、 、 满足ABACAD= + ,| |=2,| |=1,E、F 分别是线段 BC、CD 的中点,若 =- ,则向量 与 的ACABADAB AD DEBF54 ABAD夹角为 . 答案 315.(2018 天津南开一模,13)在四边形 ABCD 中,AB=AC=AD= ,ABAD,则 的最小值为 .2 CBCD答案 2-2 21016.(2018 天津十二区县一模,13)在等腰梯形中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若 =3 ,BCCE= (R),且 =-1,则 = . AF AB AEDF答案 1417.(2018 天津北辰模拟,14)在梯形 ABCD 中,BCAD,BAD=60,CDA=30,AB=2,AD=6,CD=2 ,在边 BC,DC 上分别有动点 E,F,使 =, =,+=1,则 的3|BE|BC| |DF|DC| AEAF最小值为 . 答案 6