（天津专用）2020版高考数学大一轮复习2.8函数模型及函数的综合应用精练.docx

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1、12.8 函数模型及函数的综合应用挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度1.函数的模型及实际应用了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2014 湖南,8实际应用问题中的函数思想2016 天津文 ,14 函数与方程2013 天津文 ,8指数函数与对数函数2.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2013 天津,8函数的综合应用问题函数的单调性分析解读 为了考查学生的

2、综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为 5 分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.破考点【考点集训】考点一 函数的模型及实际应用21.去年某地的月平均气温 y()与月份 x(月)近似地满足函数 y=a+bsin x+

3、 6.其中三个月份的月平均气温如下表:(a,b为常数, 01.=(x2-2)(x-1),xR. 若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( )A.(-1,1(2,+) B.(-2,-1(1,2 C.(-,-2)(1,2 D.-2,-1答案 B 4.(2016 天津文,14,5 分)已知函数 f(x)= (a0,且 a1)x2+(4a-3)x+3a,x4-x2g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是 . 答案 (2 ,+)10C 组 教师专用题组考点一 函数的模型及实际应用(2015 江苏,17,14 分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改

4、善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到l1,l2的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以l2,l1所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y= (其ax2+b中 a,b 为常数)模型.(1)求 a,b 的值;(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t.请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域;当

5、t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入 y= ,得 解得ax2+b a25+b=40,a400+b=2.5, a=1000,b=0. 6(2)由(1)知,y= (5x20),则点 P 的坐标为 ,1000x2 (t,1000t2)设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,y=- ,2000x3则 l 的方程为 y- =- (x-t),由此得 A ,B .1000t2 2000t3 (3t2,0) (0,3000t2)故 f(t)= = ,t5,20.(3t2)2+(3000t

6、2)232 t2+4106t4设 g(t)=t2+ ,则 g(t)=2t- .4106t4 16106t5令 g(t)=0,解得 t=10 .2当 t(5,10 )时,g(t)0,g(t)是增函数;2从而,当 t=10 时,函数 g(t)有极小值,也是最小值,所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 .2 3当 t=10 时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 千米.2 3评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.考点二 函数的综合应用问题1.(2017 浙江,17,4 分)已知 aR,函数 f(x)= +a 在

7、区间1,4上的最大值是 5,|x+4x-a|则 a 的取值范围是 . 答案 (-,922.(2014 湖北,14,5 分)设 f(x)是定义在(0,+)上的函数,且 f(x)0,对任意 a0,b0,若经过点(a,f(a),(b,-f(b)的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b).例如,当 f(x)=1(x0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平a+b2均数.(1)当 f(x)= (x0)时,M f(a,b)为 a,b 的几何平均数; (2)当 f(x)= (x0)时,M f(a,b)为 a,b

8、 的调和平均数 . 2aba+b7(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案 (1) (2)xx3.(2014 四川,15,5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数 (x),存在一个正数 M,使得函数 (x)的值域包含于区间-M,M.例如,当 1(x)=x3, 2(x)=sinx 时, 1(x)A, 2(x)B.现有如下命题:设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)A”的充要条件是“bR,aD,f(a)=b”;函数 f(x)B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值;若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)A,

9、g(x)B,则 f(x)+g(x)B;若函数 f(x)=aln(x+2)+ (x-2,aR)有最大值,则 f(x)B.xx2+1其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 4.(2016 浙江,18,15 分)已知 a3,函数 F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中 minp,q=p,p q,q,pq.(1)求使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围;(2)(i)求 F(x)的最小值 m(a);(ii)求 F(x)在区间0,6上的最大值 M(a).解析 (1)由于 a3,故当 x1 时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a

10、-1)(2-x)0,当 x1 时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式 F(x)=x2-2ax+4a-2 成立的 x 的取值范围为2,2a.(2)(i)设函数 f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由 F(x)的定义知 m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3 a 2+ 2,-a2+4a-2,a2+ 2.(ii)当 0x2 时,F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),当 2x6 时,F(x)g(x)maxg(2),g(

11、6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)= 34-8a,3 a0),若有且只有两个整数 x1,x2,使得 f(x1)0,且 f(x2)0,则 a 的取值范围是( )A.(ln3,2) B.2-ln3,2) C.(0,2-ln3 D.(0,2-ln3)答案 C 3.(2018 天津九校联考,8)定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x0 时,f(x)=则函数 F(x)=f(x)-a(00,-x2-2x+1,x 0,a,b,c,d,满足 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m.则以下三个结论:m1,2);a+b+c+de -3+e-1-2,e-4-1),其中 e 为

12、自然对数的底数;关于 x 的方程 f(x)=x+m 恰有三个不相等的实数解.正确结论的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 C 95.(2017 天津十二区县二模,8)已知函数 f(x)= 在定义域0,+)上2x-1(0 x 1),f(x-1)+m(x1)单调递增,且对于任意 a0,方程 f(x)=a 有且只有一个实数解,则函数 g(x)=f(x)-x 在区间0,2n(nN *)上所有零点的和为( )A. B.2 2n-1+2n-1 C. D.2 n-1n(n+1)2 (1+2n)22答案 B 6.(2017 天津和平四模,8)已知函数 f(x)= 当方程 f(x)=ax 恰有两个不

13、同的14x+1,x 1,lnx,x1, 实数根时,实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D.(0,1e) 14,1e) (0,14 (14,e)答案 B 7.(2018 天津静海一中模拟,8)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)对任意的 x 满足 f(x+1)=-f(x),当-1x0,-1x,x0, 6 个零点,则实数 a 的取值范围是( )A. (7,+) B. 7,9) C. (7,9 (0,17) (19,17 19,17)D. (1,919,1)答案 C 8.(2018 天津红桥二模,8)已知定义在-1,+)上的函数在区间-1,3)上的解析式为 f(x)=当 x3 时,函数满足 f(x)=f(x-4)+1,若函数 g(x)=f(x)-kx-k1-x2(-1 x1),32-32|x-2|(1 x3),有 5 个零点,则实数 k 为( )A. B. C. D.514 15 13 512答案 D