2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十九圆锥曲线中的定点定值存在性问题大题练理20190220396.doc

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1、1课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大题练）A 卷大题保分练1(2018成都模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点 F( ，0)，长半轴长与x2a2 y2b2 3短半轴长的比值为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不经过点 B(0,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M， N，若点 B 在以线段 MN为直径的圆上，证明直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解：(1)由题意得， c ， 2， a2 b2 c2，3ab a2， b1，椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)证明：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx m(m1)，

2、 M(x1， y1)，N(x2， y2)由Error! 消去 y 可得(4 k21) x28 kmx4 m240. 16(4 k21 m2)0， x1 x2 ， x1x2 . 8km4k2 1 4m2 44k2 1点 B 在以线段 MN 为直径的圆上， 0.BM BN ( x1， kx1 m1)( x2， kx2 m1)( k21) x1x2 k(m1)( x1 x2)BM BN ( m1) 20，( k21) k(m1) ( m1) 20，4m2 44k2 1 8km4k2 1整理，得 5m22 m30，解得 m 或 m1(舍去)35直线 l 的方程为 y kx .35易知当直线 l 的斜率

3、不存在时，不符合题意故直线 l 过定点，且该定点的坐标为 .(0， 35)2(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；2(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题

4、设知 8，解得 k1 或 k1(舍去)4k2 4k2因此 l 的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.3.(2018贵阳模拟)如图，椭圆 C： 1( ab0)的左顶x2a2 y2b2点与上顶点分别为 A， B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 PF x 轴，若 AB OP，且|AB|2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)

5、已知 Q 是 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D，使得直线 QA与 QD 的斜率乘积恒为 ，若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，说明理由12解：(1)由题意得 A( a,0)， B(0， b)，可设 P(c， t)(t0)， 1，得 t ，即 P ，c2a2 t2b2 b2a (c， b2a)由 AB OP 得 ，即 b c， a2 b2 c22 b2，ba b2ac又| AB|2 ， a2 b212，3由得 a28， b24，椭圆 C 的方程为 1.x28 y243(2)假设存在 D(m,0)，使得直线 QA 与 QD 的斜率乘积恒为 ，设 Q(x0， y0)(y

6、00)，12则 1，x208 y204 kQAkQD ， A(2 ，0)，12 2 (x0 m)，y0x0 22 y0x0 m 12由得( m2 )x02 m80，2 2即Error! 解得 m2 ，2存在点 D(2 ，0)，使得 kQAkQD .2124(2018昆明模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的焦距为 4， P 是椭圆 Cx2a2 y2b2 (2， 55)上的点(1)求椭圆 C 的方程；(2)O 为坐标原点， A， B 是椭圆 C 上不关于坐标轴对称的两点，设 ，OD OA OB 证明：直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知 2c4，即 c2，则椭圆 C

7、的方程为 1，x2a2 y2a2 4因为点 P 在椭圆 C 上，(2，55)所以 1，解得 a25 或 a2 (舍去)，4a2 15 a2 4 165所以椭圆 C 的方程为 y21.x25(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2且 x1 x20，由 ，得OA OB OD D(x1 x2， y1 y2)，所以直线 AB 的斜率 kAB ，直线 OD 的斜率 kOD ，y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2由Error! 得 (x1 x2)(x1 x2)( y1 y2)(y1 y2)0，15即 ，所以 kABkOD .y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 15 1

8、54故直线 AB 的斜率与 OD 的斜率的乘积为定值 .15B 卷深化提能练1(2018安徽江南十校联考)在平面直角坐标系中，直线 x y m0 不过原点，2且与椭圆 1 有两个不同的公共点 A， B.y24 x22(1)求实数 m 的取值所组成的集合 M；(2)是否存在定点 P 使得任意的 m M，都有直线 PA， PB 的倾斜角互补？若存在，求出所有定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)因为直线 x y m0 不过原点，所以 m0.将 x y m0 与 12 2y24 x22联立，消去 y，得 4x22 mx m240.2因为直线与椭圆有两个不同的公共点 A， B，所以 8 m2

9、16( m24)0，所以2 b0)x2a2 y2b2的右焦点 F，抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，且 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，点3A， F， B 在直线 x4 上的射影依次为 D， K， E.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且 1 ， 2 ，当 m 变化时，证明：MA AF MB BF 1 2为定值；(3)当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1)直线 x my1 过椭圆的右焦点，5右焦点 F(1,0)， c1，即 c21. x24 y 的焦点(0， )为椭圆 C

10、 的上顶点，3 3 b ，即 b23， a2 b2 c24，3椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意知 m0，由Error!得(3 m24) y26 my90.显然 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4 1 ， 2 ， M ，MA AF MB BF (0， 1m) 1(1 x1， y1)， 2(1 x2， y2)， 11(x1， y11m) (x2， y2 1m)， 21 ，1my1 1my2 1 22 2 .y1 y2my1y2 6m3m2 4 9m3m2 4 83综上所述，当 m 变化时， 1 2

11、为定值 .83(3)当 m0 时，直线 l x 轴，则四边形 ABED 为矩形，易知 AE 与 BD 相交于点N ，则若当 m 变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点，则定点必为 N ，证明如下：(52， 0) (52， 0) ，易知 E(4， y2)，则 .AN (52 x1， y1) (32 my1， y1) NE (32， y2) y2 ( y1) (y1 y2) my1y2 m 0，(32 my1) 32 32 32( 6m3m2 4) ( 93m2 4) ，即 A， N， E 三点共线AN NE 同理可得 B， N， D 三点共线则猜想成立，故当 m 变化时，直线 AE 与 BD

12、相交于定点 N .(52， 0)3(2018贵州六校联考)已知点 M 是椭圆 C： 1( ab0)上一点， F1， F2分别x2a2 y2b2为 C 的左、右焦点，| F1F2|4， F1MF260， F1MF2的面积为 .433(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 于异于 N 的 A， B 两点，直线NA， NB 的斜率分别为 k1， k2，证明： k1 k2为定值6解：(1)在 F1MF2中，由 |MF1|MF2|sin 60 ，得| MF1|MF2| .12 433 163由余弦定理，得| F1F2|2| MF1|2| MF2|22|

13、 MF1|MF2|cos 60(| MF1| MF2|)22| MF1|MF2|(1cos 60)，从而 2a| MF1| MF2|4 ，2即 a2 ，从而 b2，2故椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2 k(x1)，由Error! 得(12 k2)x24 k(k2) x2 k28 k0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k k 21 2k2 2k2 8k1 2k2从而 k1 k2 y1 2x1 y2 2x22kx1x2 k 4 x1 x2x1x22 k( k4) 4.4k k 22k2 8k当直线

14、 l 的斜率不存在时，可取 A ， B ，得 k1 k24.( 1，142) ( 1， 142)综上，恒有 k1 k24.4(2019 届高三湘东五校联考)已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 ，它的一个12短轴端点恰好是抛物线 x28 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，已知 P(2,3)， Q(2，3)是椭圆上的两点， A， B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；12当 A， B 运动时，满足 APQ BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( ab0)，x2a2 y2

15、b27则 b2 .由 ， a2 c2 b2，得 a4，3ca 12椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AB 的方程为 y x t，12代入 1，得 x2 tx t2120，x216 y212由 0，解得4 t4，由一元二次方程根与系数的关系得 x1 x2 t， x1x2 t212，| x1 x2| . x1 x2 2 4x1x2 t2 4 t2 12 48 3t2四边形 APBQ 的面积 S 6|x1 x2|3 .12 48 3t2当 t0 时， S 取得最大值，且 Smax12 .3若 APQ BPQ，则直线 PA， PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为 y3 k(x2)，由Error!得(34 k2)x28(32 k)kx4(32 k)2480， x12 ，8 2k 3 k3 4k2将 k 换成 k 可得 x22 ， 8k 2k 33 4k2 8k 2k 33 4k2 x1 x2 ， x1 x2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2 kAB ，y1 y2x1 x2 k x1 2 3 k x2 2 3x1 x2 k x1 x2 4kx1 x2 12直线 AB 的斜率为定值 .12