2019高考数学二轮复习课时跟踪检测十七圆锥曲线的方程与性质小题练理20190220398.doc

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1、1课时跟踪检测（十七） 圆锥曲线的方程与性质 （小题练）A 级124 提速练一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线 1 的渐近线方程为( )x225 y220A y x B y x45 54C y x D y x15 255解析：选 D 在双曲线 1 中， a5， b2 ，其渐近线方程为 y x，x225 y220 5 255故选 D.2(2018福州模拟)已知双曲线 C 的两个焦点 F1， F2都在 x 轴上，对称中心为原点O，离心率为 .若点 M 在 C 上，且 MF1 MF2， M 到原点的距离为 ，则 C 的方程为( )3 3A. 1 B. 1x24 y28 y24 x28C x2

2、 1 D y2 1y22 x22解析：选 C 由题意可知， OM 为 Rt MF1F2斜边上的中线，所以| OM| |F1F2| c.由12M 到原点的距离为 ，得 c ，又 e ，所以 a 1，所以 b2 c2 a2312.故3 3ca 3双曲线 C 的方程为 x2 1.故选 C.y223已知椭圆 C 的方程为 1( m0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A2 B2 2C8 D2 3解析：选 B 根据已知条件得 c ，则点 在椭圆16 m2 (16 m2，22 16 m2) 1( m0)上， 1，可

3、得 m2 .x216 y2m2 16 m216 16 m22m2 24已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，准线为 l.若射线 y2( x1)( x1)与 C， l 分别交于 P， Q 两点，则 ( )|PQ|PF|A. B22C. D552解析：选 C 由题意，知抛物线 C： y24 x 的焦点 F(1,0)，设准线 l： x1 与 x 轴的交点为 F1.过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 P1(图略)，由Error!得点 Q 的坐标为(1，4)，所以| FQ|2 .又| PF| PP1|，所以 ，故选5|PQ|PF| |PQ|PP1| |QF|FF1| 252 5C.5(2018湘

4、东五校联考)设 F 是双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，过 F 作双x2a2 y2b2曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于 P， Q，若 3 ，则双曲线的离心FP FQ 率为( )A. B.62 52C. D.3102解析：选 C 不妨设 F( c,0)，过 F 作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y (x c)，与 y x 联立可得 xQ ，与 y x 联立可得 xP ， 3ab ba a2c ba a2cb2 a2 FP ， c3 ， a2c2( c22 a2)(2c23 a2)，两边同时除以 a4得，FQ a2cb2 a2 ( a2c c)e44 e230， e1， e .

5、故选 C.36(2019 届高三山西八校联考)已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 4 ，渐x2a2 y2b2 5近线方程为 2xy0，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x24 y216 x216 y24C. 1 D. 1x216 y264 x264 y216解析：选 A 法一：易知双曲线 1( a0， b0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线x2a2 y2b2方程为 2xy0，得 2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，结合 c2 a2 b2，可ba 5 5得 a2， b4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y216法二：易知双曲线的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为

6、2xy0，可设双曲线的方程为 x2 ( 0)，即 1，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c2 ，所以y24 x2 y24 5 5 4 20， 4，所以双曲线的方程为 1，故选 A.x24 y21637.过椭圆 C： 1( ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆x2a2 y2b2C 于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若 0， b0)的左、右两个焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，以线段 F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，若|MF1| MF2|2 b，该双曲线的离心率为 e，则 e2( )A2 B.2 12C. D.3 222 5 1

7、2解析：选 D 由Error!得Error!即点 M(a， b)，则| MF1| MF2| c a 2 b22 b，即 2 ， 2 c a 2 b2 2c2 2ca 2c2 2ca c2 a2 2e2 2e 2e2 2e4，化简得 e4 e210，故 e2 ，故选 D.e2 15 1210(2018石家庄一模)已知直线 l： y2 x3 被椭圆 C： 1( ab0)截得的x2a2 y2b2弦长为 7，有下列直线： y2 x3; y2 x1; y2 x3； y2 x3.其中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 C 易知直线 y2 x3 与直线

8、l 关于原点对称，直线 y2 x3 与直线 l关于 x 轴对称，直线 y2 x3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.故选 C.11(2018洛阳尖子生统考)设双曲线 C： 1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 Cx216 y29的渐近线的垂线，垂足分别为 M， N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则的值为( )d|PF|A. B.34 45C. D无法确定54解析：选 B 双曲线 C： 1 中， a4， b3， c5，右焦点 F(5,0)，渐近线方x216 y29程为 y x.不妨设 M 在直线 y x 上

9、， N 在直线 y x 上，则直线 MF 的斜率为 ，34 34 34 43其方程为 y (x5)，设 M ，代入直线 MF 的方程，得 t (t5)，解得 t43 (t， 34t) 34 43，即 M .由对称性可得 N ，所以直线 MN 的方程为 x .设 P(m， n)，165 (165， 125) (165， 125) 165则 d ， 1，即 n2 (m216)，则| PF| |5m16|.故|m165| m216 n29 916 m 5 2 n2 14 ，故选 B.d|PF|m 165|14|5m 16| 4512已知椭圆 1， F 为其右焦点， A 为其左顶点， P 为该椭圆上的

10、动点，则能x29 y255够使 0 的点 P 的个数为( )PA PF A4 B3C2 D1解析：选 B 由题意知， a3， b ， c2，则 F(2,0)， A(3,0)当点 P 与点 A 重5合时，显然 0，此时 P(3,0)PA PF 当点 P 与点 A 不重合时，设 P(x， y)， 0 PA PF，PA PF 即点 P 在以 AF 为直径的圆上，则圆的方程为 2 y2 .(x12) 254又点 P 在椭圆上，所以 1，x29 y25由得 4x29 x90，解得 x3(舍去)或 ，34则 y ，此时 P .534 (34， 534)故能够使 0 的点 P 的个数为 3.PA PF 二、

11、填空题13(2018陕西模拟)若直线 2x y c0 是抛物线 x24 y 的一条切线，则c_.解析：由 x24 y，可得 y ，由于直线 2x y c0 的斜率 k2，因此令 2，x2 x2得 x4，代入 x24 y 得 y4，所以切点为(4,4)，代入切线方程可得 84 c0，故c4.答案：414(2018益阳、湘潭联考)已知 F 为双曲线 1( a0， b0)的左焦点，定点 Ax2a2 y2b2为双曲线虚轴的一个端点，过 F， A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为B，若 3 ，则此双曲线的离心率为_AB FA 解析： F( c,0)，不妨令 A(0， b)，得直线 A

12、F： y x b.根据题意知，直线 AF 与渐bc6近线 y x 相交，联立得Error!消去 x 得， yB .ba bcc a由 3 ，得 yB4 b，AB FA 所以 4 b，化简得 3c4 a，离心率 e .bcc a 43答案：4315(2018广州模拟)过抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A， B两点若| AF|6，| BF|3，则 p 的值为_解析：设抛物线 C 的准线交 x 轴于点 F，分别过 A， B 作准线的垂线，垂足为A， B(图略)，设直线 AB 交准线于点 C，则|AA| AF|6，| BB| BF|3，| AB|9，| FF| p

13、， ，|BB |AA | |BC|AC|即 ，解得| BC|9，36 |BC|BC| 9又 ，即 ，解得 p4.|BB |FF | |BC|CF| 3p 912答案：416(2018南昌质检)已知抛物线 y22 x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，若点A(3,2)，则| PA| PF|取最小值时，点 P 的坐标为_解析：将 x3 代入抛物线方程 y22 x，得 y .6 2， A 在抛物线内部6如图，设抛物线上点 P 到准线 l： x 的距离为 d，由定义知12|PA| PF| PA| d，则当 PA l 时，| PA| d 有最小值，最小值为 ，即| PA| PF|的72最小值为 ，

14、此时点 P 纵坐标为 2，代入 y22 x，得 x2，点 P 的坐标为(2,2)72答案：(2,2)B 级难度小题强化练1(2018郑州模拟)已知椭圆 1( ab0)的左顶点和上顶点分别为 A， B，左、x2a2 y2b2右焦点分别是 F1， F2，在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 PF2，则椭圆的离心率的平方为( )7A. B.32 3 52C. D. 1 52 3 12解析：选 B 由题意得， A( a,0)， B(0， b)，由在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1 PF2，得点 P 是以点 O 为圆心，线段 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2与线段 AB 的

15、切点，连接 OP，则 OP AB，且 OP c，即点 O 到直线 AB 的距离为 c.又直线AB 的方程为 y x b，整理得 bx ay ab0，点 O 到直线 AB 的距离 d c，两ba abb2 a2边同时平方整理得， a2b2 c2(a2 b2)( a2 b2)(a2 b2) a4 b4，可得 b4 a2b2 a40，两边同时除以 a4，得 2 10，可得 ，则(b2a2) b2a2 b2a2 1 52e2 1 1 ，故选 B.c2a2 a2 b2a2 b2a2 1 52 3 522.(2018益阳、湘潭联考)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点F 的直线交抛物线于点 A， B

16、，交其准线 l 于点 C，若 F 是 AC 的中点，且| AF|4，则线段 AB 的长为( )A5 B6C. D.163 203解析：选 C 法一：如图，设 l 与 x 轴交于点 M，过点 A 作 AD l 交 l 于点 D，由抛物线的定义知，| AD| AF|4，由 F 是 AC 的中点，知| AF|2| MF|2 p，所以 2p4，解得 p2，抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则| AF| x1 x114，所以 x13，解得 y12 ，所以p2 3A(3,2 )，又 F(1,0)，所以直线 AF 的斜率 k ，所以直线 AF 的方程为3233 1 3y

17、 (x1)，代入抛物线方程 y24 x，得 3x210 x30，所以3x1 x2 ，| AB| x1 x2 p .故选 C.103 163法二：同法一得抛物线的方程为 y24 x.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则|AF| x1 x114，所以 x13，又 x1x2 1，所以 x2 ，所以p2 p24 138|AB| x1 x2 p .故选 C.1633(2018长郡中学模拟)已知椭圆 C： 1，若直线 l 经过 M(0,1)，与椭圆交x29 y25于 A， B 两点，且 ，则直线 l 的方程为( )MA 23MB A y x1 B y x112 13C y x1 D y x12

18、3解析：选 B 依题意，设直线 l： y kx1，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)则由Error!消去 y，整理得(9 k25) x218 kx360， (18 k)2436(9 k25)0，则Error!由此解得 k ，即直线 l 的方程为 y x1，故选 B.13 134(2018齐鲁名校联考)已知双曲线 C 过点 A(2 ， )，渐近线为 y x，抛物2 552线 M 的焦点与双曲线 C 的右焦点 F 重合， Q 是抛物线上的点 P 在直线 x4 上的射影，点B(4,7)，则| BP| PQ|的最小值为( )A6 B5 2C15 D152 2解析：选 D 由题意，双曲线 C

19、的渐近线为 y x，故可设双曲线 C 的方程为522 2 ( 0)，即 ( 0)又点 A(2 ， )在双曲线上，所以(x2) (y5) x24 y25 2 5 ，解得 1，故双曲线 C 的方程 22 24 5 25为 1，其右焦点为 F(3,0)，所以抛物线 M 的方程x24 y25为 y212 x.如图，作出抛物线 M，其准线为 x3，显然点 B 在抛物线的上方设 PQ与直线 x3 交于点 H，连接 PF，则由抛物线的定义可得| PH| PF|，所以|PQ| PH| QH| PF|1，故| BP| PQ| BP| PF|1，显然，当 P 为线段 BF 与抛物线的交点时，| BP| PQ|取得

20、最小值，且最小值为|BF|1 15 1.所以| BP| PQ|的最小值为 15 .故选 D. 4 3 2 72 2 25(2018沈阳模拟)已知抛物线 y24 x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点，则弦 AB9所在直线的方程是_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1 x2，则 y1 y22，又点 A， B 在抛物线 y24 x 上，所以Error! 两式相减，得( y1 y2)(y1 y2)4( x1 x2)，则 2，y1 y2x1 x2 4y1 y2即直线 AB 的斜率 k2，所以直线 AB 的方程为 y12( x1)，即 2x y10.答案：2 x y106

21、已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)， Px2a2 y2b2是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为2,4，则 的最小值的取值PF1 PF2 范围是_解析：设 P(m， n)，则 1，m2a2 n2b2即 m2 a2 .(1n2b2)又 F1(1,0)， F2(1,0)，则 (1 m， n)， (1 m， n)，PF1 PF2 n2 m21 n2 a2 1PF1 PF2 (1 n2b2) n2 a21 a21，(1a2b2)当且仅当 n0 时取等号，所以 的最小值为 a21.PF1 PF2 由 2 4，得 a ，1a 14 12故 a21 ，1516 34即 的最小值的取值范围是 .PF1 PF2 1516， 34答案： 1516， 34