[专升本类试卷]江苏省专转本（高等数学）模拟试卷59及答案与解析.doc

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1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 =e2，则 m 的值为( )。（A）（B） 2（C）一 2（D）2 当 x0 时，在下列变量中为无穷小量的是( )。（A）e x 一 1（B）（C）（D）3 41|x23x+2|dx 的值为( )。（A）（B）（C）（D）4 下列说法不正确的是( )。（A） 是发散的（B） 是发散的（C） 是收敛的（D） 是发散的5 在下面曲面中，为旋转抛物面的是( )。（A）x 2+y2=z2（B） x2+y2+2z2=1（C）（D）x 2+y2=2x6 设 f(x，y)= +(y 一 1)

2、ln(x2.y)，贝 fx(x，1)=( )。（A）（B）（C）（D）二、填空题7 定积分 20|x1|dx=_。8 曲线 y=4 的拐点是_。9 若 f(x)= ，则 ff(f(x)=_。10 已知 a，b 均为单位向量，且 a.b= ，则以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为_。11 的收敛半径和收敛域为_。12 若 z= ，则 =_。三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程确定 x2+y2+z24z=0 确定 z=z(x，y)，求 。14 计算 I= (x+y)dxdy，其中 D：x 2+y22x。15 判别 的敛散性。16 将 f(x)= 展开成 x 的幂级数。17 求

3、xydx+ =0 满足 y(一 1)=2 的特解。18 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1、2 =12i，求此微分方程。19 设 y=xarcsin + ，求 y及 y。20 求曲线 y= x2+ 的凹凸区间与拐点。四、综合题21 试求由抛物线(y 一 2)2=x 一 1 和与抛物线相切于纵坐标 y0=3 处的切线以及 x 轴所围成图形面积。22 从半径为 R 的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?23 某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是 y(x)= ，其中x 为正数，每生产一件产品可赢利 A 元，但生产一件次品要损失 元，问为了获得最大盈利，每大

4、的生产量为多少?五、证明题24 证明：函数 f(x)= 在 x=0 处连续，在 x=0 处不可导。25 证明：当 x0 时，(x 21)lnx(x 一 1)。江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 = 一 2。2 【正确答案】 A【试题解析】 选项 A： (ex 一 1)=0：选项 B： =1：选项 C：=e；选项 D： =1。3 【正确答案】 B【试题解析】 41|x23x+2|dx=21(x2+3x2)dx+42(x23x+2)dx=4 【正确答案】 D【试题解析】 u n= =ln(n+

5、1)lnn， S n=u1+2+un=ln(n+1)，=所以 是发散的；因为 不存在，所以是发散的；u n= ； 是收敛的，由比较审敛法知 也收敛。因为 =0是收敛的。5 【正确答案】 C【试题解析】 A 项为圆锥面，B 项为球面。6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x，1)= ，故 。二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 20|x1|dx=10(1x)dx+21(x1)dx=(x )|10+( x)|21= + =1。8 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 y= ，y= 当 x=1 时，y= =0。当 x(一，1)时，y0，当 x=1 时，y=4，所以拐点是(1，4)。9 【正确答

6、案】 x【试题解析】 ff(f(x)= = = = =x。10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S=|a|.|b|sin=|ab|，由已知，|a|=1，|b|=1，a.b=|a|.|b|cos= ，所以 cos= ，可得sin= ，可得平行四边形面积为 |ab|=|a|b|sin= 。11 【正确答案】 ， ， 【试题解析】 an= ， R= = = ，当 x= 时，级数= ，收敛；当 x= 时，级数 =收敛。故原级数收敛域为 ， 12 【正确答案】 ( ， )【试题解析】 = ， = ，把(1，一 1)代入即可。三、解答题解答时应写出推理、

7、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 (1)F=x 2+y2+z2 一 4z，F x=2x，F y=2y，F z=2z 一 4。(2)(3)14 【正确答案】 【试题解析】 (1)画出积分区域 D(2)I= D 关于 x 轴对称，Y 关于 y 为奇函数， =0I=15 【正确答案】 收敛【试题解析】 解法(1)：这是正项级数， 且 收敛|q|= 1，由比较法非极限形式知 收敛。解法(2)： 收敛， 收敛，由性质知 也收敛。16 【正确答案】 (一 1x1)【试题解析】 解法(1)：f(x)=x =x =，收敛域：| | |x|= (一1x1)17 【正确答案】 y=【试题解析】 (1)

8、可分离变量方程。(2) ，lny= +C1，lny= +C1。(3)y= ，又 y(一 1)=2，C=2，特解 y=18 【正确答案】 y一 2y+5y=0【试题解析】 (1)特征方程： (r 一 12i)(r 一 1+2i)=0， (r 一 1)2 一(2i) 2=0，(r 一 1)2 一 4i2=0(i2= 一 1)，r 2 一 2r+1+4=0， r 2 一 2r+5=0。 (2)微分方程：y一2y+5y=0。19 【正确答案】 、【试题解析】 (1)y= (2)y=20 【正确答案】 拐点(0，一 1)及(1， )；(一，0)，(1，+)为凹区间，(0，1)为凸区间【试题解析】 (1)

9、定义域( 一，+)。(2)y= y=令 y=0，y= =0，得 x=0；y不存在的点为 x=1。(3)列表四、综合题21 【正确答案】 抛物线(y 一 2)2=x 一 1，顶点在(1 ，2)，开口向右，切点纵坐标为3，则 x 坐标为 2，则切线斜率为 k= ，而 y= ，所以 k= ，切线方程 y 一 3= ，改写成 x=2y 一 4，S= 30(y2)2+1(2y4)dy=922 【正确答案】 设余下部分的圆心角为 时所卷成的漏斗容积 V 最大，漏斗的底半径为 r，高为 h，则 2r=R，h= ，V= r2h= r2 ，V=，r= R 此时 = ，即当余下的圆心角为 = 时漏斗容积最大。23

10、 【正确答案】 设日生产量为 x 件，日利润为 u 元，则日次品数为 xy 件，日正品数为(x xy)件，因为当 x50 时次品率为 1，为获最大利润故必 0x xy，(0x 令 u=0，得 y+xy= 将 y= 代入，解得 x=51 ，即 x428或 x5925，舍去 x5925比较 U(0)=0，U(42)=166 4，u(43)=1899 的值，故日生产量为 43 件时，获得最大盈利。五、证明题24 【正确答案】 因为 ，所以=0，又 f(0)=0，所以函数 f(x)在 x=0 处连续。因为= = ， = = ，所以函数 f(x)在 x=0 处不可导。25 【正确答案】 令 F(x)=lnx 一 ，显然，F(x) 在(0，+)上连续。由于 F(x)=，故 F(x)在(0，+) 上单调递增，于是，当 0x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2，故(x 2 一 1)lnx(x 一 1)2；当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 lnx ，又 x2 一 10，故(x 21)lnx(x 一 1)2