[考研类试卷]考研数学三（无穷级数）模拟试卷5及答案与解析.doc

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1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 收敛，则必收敛的级数为( )2 如果级数 都发散，则( )3 已知级数 收敛，则下列级数中必收敛的是( )4 设 an0(n=1，2，)，且（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 有关5 下列命题成立的是( )6 设 (n=1，2，) ，则下列级数中肯定收敛的是( )7 级数 (0，0)的敛散性( )（A）仅与 取值有关（B）仅与 取值有关（C）与 和 的取值都有关（D）与 和 的取值都无关8 设常数 0，且级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛

2、性与 有关9 设 则下列命题正确的是( )二、填空题10 幂级数 的收敛半径 R=_11 若数列a n收敛，则级数12 13 若数列(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)+发散，则级数 =_14 设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 的收敛区间为_15 幂级数 的收敛域为_16 无穷级数 的收敛区间为_17 幂级数 的收敛半径 R=_18 已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 求幂级数 在区间(一 1，1)内的和函数 S(x)20 求级数 的和21 设 a1=2， 证明：22 求23

3、 设正项数列a n单调递减，且 是否收敛?并说明理由24 (2)证明对任意的常数 0，级数 收敛25 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性26 求幂级数 的收敛域及和函数 S(x)27 (1)验证函数 y(x)= (一 x+)满足微分方程 y”+y+y=ex(2)求幂级数 y(x)= 的和函数28 将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并指出其收敛区间29 设方程 xn+nx 一 1=0，其中 n 为正整数证明此方程存在唯一正实根 xn，并证明当 1 时，级数 收敛考研数学三（无穷级数）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求

4、。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为级数 收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数 收敛，故选 D【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(|an|+|bn|)必发散，故选 D【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【试题解析】 由于去掉了前 k 项，则其敛散性相同，故 (an+an+k)必收敛，应选 D【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 A【试题解析】 利用比较法因为而由正项级数收敛，再由比较法极限形式知，原级数绝对收敛，故选 A【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 中至少有一个不成立，则级数 中至少有一个发散，故选 C【知识模块】 无穷级

5、数6 【正确答案】 D【试题解析】 由 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 收敛，从而 绝对收敛，故选 D【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 (1)当 01 时，级数发散(2)当 1 时，级数收敛(3)当 =1时，原级数为 当 1 时收敛，当1时发散，故选 C【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 取 显然满足题设条件而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选 C【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 B【试题解析】 若 收敛，由级数绝对收敛的性质知收敛而 pn= ，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选 B【知识模块】 无穷级数二、填空题10 【正

6、确答案】 【试题解析】 首先设 则当满足条件该幂级数是收敛的因此，此幂级数的收敛半径是【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 收敛【试题解析】 由题干知，级数 的部分和数列为 Sn=(a2a1)+(a3a2)+(an+1 一 an)=an+1 一 a1，因为数列a n收敛，所以S n收敛因此，级数收敛【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，有令上式的结论中的 x=1，则有【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 发散【试题解析】 根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛假设 收敛，则级数(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)+收敛，与题设矛盾，故

7、 发散【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得其收敛半径不变，因此有其收敛区间为|x 一 1|3，即(一 2， 4)【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 因为 则收敛半径 R=1当 x=一 1 时，原级数为 收敛；当 x=1 时，原级数为 发散因此收敛域为一 1，1) 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 【试题解析】 幂级数的系数为 根据收敛半径的判断方法，有【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【试题解析】 根据收敛半径的判断方法，有由于该幂级数缺奇数项，则【知识模块】 无穷级数18

8、 【正确答案】 (1，5【试题解析】 由题意可知， 的收敛域为(一 2，2 所以 的收敛域为(1，5【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设 则 S(x)=S1(x)一 S2(x)，x(一1，1) 由于又由于S1(0)=0，故【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 (1)显然 an0(n=1，2，)，由初等不等式：对任意的非负数x，y 必有 x+y 易知因此an单调递减且有下界，故极限 存在【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 由于则根据夹逼定理可知，原式=【知识模块】 无穷级数23 【正确答

9、案】 由于正项数列a n单调递减，因此极限 存在，将极限记为a，则有 ana，且 a0又因为 是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知 a0(否则级数 是收敛的) 已知正项级数a n单调递减，因此【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 (1)因为 又由部分和数列(2)先估计 an 的值，因为【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 因为所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为(一 3，3) 当 x=3 时，因为且 发散，所以原级数在点 x=3 处发散；当 x=一 3时，由于 且都收敛所以原级数在点 x=-3 处收敛【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 所以当|x|1时，即|x|1 时，所

10、给幂级数收敛；当|x| 1 时，所给幂级数发散；故所给幂级数的收敛域为一 1，1 在(一 1，1) 内，又 S1(0)=0，于是 S1(x)=arctanx 同理 S 1(x)一 S1(0)=0xS1(t)dt=0xarctantdt=又 S1(0)=0，所以故 S(x)=2x 2arctanxxln(1+x2)，x(一 1，1) 由于所给幂级数在 x=1 处都收敛，且 S(x)=2x 2arctanxxln(1+x2)在 x=1 处都连续，所以 S(x)在 x=1 成立，即 S(x)=2x2arctanxxln(1+x2)，x 一 1，1【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 (1)因为幂

11、级数 的收敛域是(一 x+)，因而可在(一 x+)上逐项求导数，得所以(2)与 y”+y+y=ex 对应的齐次微分方程为 y”+y+y=0，其特征方程为 2+1=0，特征根为因此齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y*=Aex，将 y*代入方程 y”+y+y=ex 可得当 x=0 时，有【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 记 fn(x)=xn+nx 一 1由 fn(0)=一 10，f n(1)=n0，及连续函数的介值定理知，方程 xn+nx 一 1=0 存在正实数根 xn(0，1) 当 x0 时，f n(x)=nxn-1+n0 ，可见 fn(x)在0，+)上单调增加，故方程 xn+nx 一 1=0 存在唯一正实数根xn 由 xn+nx1=0 与 xn 0 知【知识模块】 无穷级数