[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷99及答案与解析.doc

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1、考研数学三（微积分）模拟试卷 99 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=x0 的某邻域内有定义，在 x=x0 的某去心邻域内可导，则下列说法正确的是（A）若 则 f(x0)存在且等于 A（B）若 f(x0)存在且等于 A，则（C）若 ，则 f(x0)不存在（D）若 f(x0)不存在，则2 在命题若 f(x)在 x=a 处连续，且f(x) 在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必可导，若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(xa)(x)在 x=a 处必可导，若 (x)在 x=a 处连续，则 f(x)=(x 一 a)(x)

2、在 x=a 处必不可导，若 f(x)在 x=a 处连续，且存在，则 f(x)在 x=a 处必可导中正确的是（A） （B） （C） （D） 3 设 f(x)在任意点 x0(一 2，+) 有定义，且 f(一 1)=1，a 为常数，若对任意x，x 0(一 2，+)满足 则函数 f(x)在(一2，+)内（A）连续，但不一定可微（B）可微，且（C）可微，且（D）可微，且4 若极限 则函数 f(x)在 x=a 处（A）不一定可导（B）不一定可导，但 f+(a)=A（C）不一定可导，但 f-(a)=A（D）可导，且 f(a)=A5 设有多项式 P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，又设 x=x0

3、 是它的最大实根，则 P(x0)满足（A）P(x 0)0 （B） P(x0)0（C） P(x0)0（D）P(x 0)0二、填空题6 设 则 f(1)=_7 设 f(x)=esinx，则 =_8 若函数 f(x)在 x=1 处的导数存在，则极限=_9 设函数 的导函数在 x=0 处连续，则参数 的取值范围为_10 设 则 f(t)=_11 设 y=y(x)由方程 y=1+xexy 确定，则dy x=0=_，y x=0=_12 设 y=sinx2，则 =_13 设 =_14 设 =_15 设 f(x)有任意阶导数且 f(x)=f3(x)，则 f(n)(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程

4、或演算步骤。16 计算下列各题：17 计算下列各题：(I)由方程 xy=yx 确定 x=x(y)，求 ()方程 y-xey=1 确定 y=y(x)，求 y ()18 设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f(a)=3，f(a)=1，f(a)=2，求 g(3)19 设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时 f(x)0，已知求极限20 设 求 a，b，c 的值，使 f(0)存在21 设 试确定常数 a，b 的值，使函数 f(x)在 x=0 处可导22 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的

5、变化趋势如何?23 求函数 的单调区间，极值点及其图形的凹凸区间与拐点24 已知 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点25 设 f(x)的定义域为1， +)，f(x) 在1，+)可积，并且满足方程讨论 f(x)的单调性26 求 a 的范围，使函数 f(x)=x3+3ax2 一 ax 一 1 既无极大值又无极小值27 设 求 f(x)的极值28 设 (I)求 f(x)；()证明：x=0 是f(x)的极大值点；()令 考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对 ，f(x)在( 一 ，0上不单调上升，在0，8上不单

6、调下降29 设 讨论 f(x)的连续性，并求其单调区间、极值与渐近线30 求曲线 的渐近线31 求下列极限：32 确定常数 a 和 b 的值，使得33 设 f(x)在点 x=0 处具有二阶导数，且 求 f(0)，f(0)与 f(0)34 设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导(n2)，且当 xa 时 f(x)是 x 一 a 的 n 阶无穷小量求证:f(x)的导函数 f(x)当 xa 时是 x 一 a 的 n 一 1 阶无穷小量35 设 f(x)在点 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)=f(a)=0，但 f(4)(a)0求证：当 f(4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极小值；当 f

7、(4)(a)0 时 f(a)是 f(x)的极大值36 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内具有二阶连续导数求证：存在(a， b)，使得考研数学三（微积分）模拟试卷 99 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 解答本题的关键是将 f(x0)的定义式与 联系来考虑对于A：取 但 f(x)在 x=x0 处不连续，从而f(x0)不存在故 A 不对，同时也说明 D 不对对于 B：取显然f(0)存在，但 不存在，故 B 也不对由排除法可知，应选 C或直接证明 C 正确反证法：假设 f(x0)存在，则 f(x)在 x=x0 处连

8、续，那么在条件下，由洛必达法则有矛盾，所以 f(x0)不存在【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 是正确的设 f(a)0，不妨设 f(a)0，由于 f(x)在 x=a 处连续，故存在 0，当 x(a 一 ，a+)时 f(x)0，于是在此区间上 f(x)f(x)，故f(a)=f(x) x=a 存在若 f(a)0 可类似证明若 f(a)=0，则所以由夹逼定理得 是正确的因为是错误的由正确即知 是错误的无妨取反例：(x)=x 2，则，即 f(x)在 x=a 处可导 也不正确可取反例：f(x)= x，显然 f(x)在 x=0 处不可导，但综上分析，应选 A【知识模块】 微积分3 【正确

9、答案】 D【试题解析】 由题设增量等式应得到 f(x)在 x=x0 处可导，而 x0 又是(一 2，+)内任意一点，于是 f(x)在(一 2，+) 内处处可导，且再由 f(一 1)=1，即得 lnC=1，解得 C=e所以在(一 2，+)内有表达式 故应选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 只有极限 存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选 A请读者试举一例【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 反证法设 x0 是 P(x)=0 的最大实根，且使 0x 一 x0 时 P(x)0，又 由此可见 P(x)在区间 必由取负值变为取正值，于是 ，使

10、P(x1)=0，与 x=x0 是 P(x)=0 的最大实根矛盾故应选 D另外，该题也可以通过P(x)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 的图形来进行判定4 次函数与 x 轴的交点有如下四种情况，由此可知 P(x0)0【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 一(e sinx) x=1=一(cosx)e sinx X=1=【试题解析】 根据导数定义所以，所求极限为一(e sinx) x=1=一(cosx)e sinx X=1=或把函数代入用洛必达法则求极限【知识模块】 微积分8 【正确答案】 9f(1)【试题解析】 按导数定义，将原式改写成【知识

11、模块】 微积分9 【正确答案】 (3，+)【试题解析】 由导数定义可求得上述根限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有 而这一极限为零应满足 3因此，参数 的取值范围为(3，+) (当 13 时 不存在)【知识模块】 微积分10 【正确答案】 f(t)=e 2t+2te2t=(1+2t)e2t【试题解析】 先求出 f(t)，再求 f(t)由于所以 f(t)=e 2t+2te2t=(1+2t)e2t【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1；2【试题解析】 根据隐函数微分法有 dy=e xydx+xd(exy)=exydx+xex

12、y(ydx+xdy) 由y(0)=1，在上述等式中令 x=0，得到 dy=dx 另外，由隐函数求导法则得到 y=exy+xexy(y+xy) 两边再次关于 x 求导一次，得到 y=e xy(x2y+2xy+xy+y)+exy(x2y+xy+1)(xy+y)， 再次令 x=0，y(0)=1，由式得到 y(0)=1，由式得到 y(0)=2【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 设 u=x3，则 于是由复合函数求导法则即得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导数，关键在于正确了解复合结构，设利用复合函数求导法则即得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试

13、题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 (2n 一 1)!f2n+1(x)【试题解析】 用归纳法由 f(x)=f3(x)=1.f3(x)求导得 f(x)=1.3f 2(x)f(x)=1.3f5(x)，再求导又得 f(x)=1.3.5f 4(x)f(x)=1.3.5f7(x)，由此可猜想 f (n)(x)=1.3(2n 一 1)f(2n+1)(x)=(2n1)!f(2n+1)(x)(n=1，2，3，) 设 n=k 上述公式成立，则有 f (k+1)(x)=f(k)(x)=(2k 一 1)!f2k+1(x) =(2k 一 1)!(2k+1)f2k(x)f(x)=(2k+1)!f2k+3(

14、x)， 由上述讨论可知当 n=1，2，3，时 f (n)(x)=(2n 一 1)!f2n+1(x)成立【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (I)用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得()用对数求导法因 两边对 x 求导数得()dy=d(e xsin)=exsinxd(xsinx)=exsinxsinxdx+xd(sinx)=exsinx(sinxdx+xcosxdx)=exsinx(sinx+xcosx)dx(1V)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (I)因 ，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得()因将恒等式两边对

15、x 求导数，得()因 2xtan(x 一 y)=0x-ysec2tdt=tan(xy)x=tan(x 一 y)将恒等式两边对 x 求导数，得将上式两端再对 x 求导，又得 y=2sin(x 一 y)cos(x 一 y).(1 一 y)=sin2(x 一 y).cos2(x一 y)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 记 y=f(x)应注意到，g(x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反而数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y)由反函数求导公式有 f(x)g(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f(x)g(y)+f(x)g(y)y=0，或 f(x)g(y)+f(x) 2

16、g(y)=0注意到 在上式中令 x=a，应有 y=3，因此得到 g(3)=一f(a)g(3)=一 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 所求极限为 1型，设法利用重要极限，并与导数 f(0)的定义相联系由于 因此，由复合函数的极限运算性质，只需考虑极限由于 f(0)=0， 存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有于是【知识模块】 微积分20 【正确答案】 为使 f(0)存在，需 f(x)，f(x)在 x=0 处连续。由 f(x)的连续性，有由 f(x)在 x=0 处的连续性，有从而可得 b=1欲使 f(0)存在，需 f-(0)=f+(0)又【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由于

17、 f(0)=f(0+0)=9arctanx+2b(x 一 1)3 x=0=一 2b，故当一 2b=2a，即 a=一b 时，f(x)在 x=0 处连续当 a=一 b 时有令 f-(0)=f+(0)，得 1+2a=9+6b，与 a=一 b 联立可解得 a=1，b=一 1综上所述，当a=1，b=一 1 时 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=3【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 处的切线方程为切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为 4(3a，0)和于是，AOB 的面积为 当切点沿 x 轴正方向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正方向趋于无穷远时，有【知识模块】 微积分23 【正确答案】

18、函数 的定义域是(一，1)(1，+)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：故函数的单调减少区间为(一，0(1，+)；单调增加区间为0，1)；极小值点为x=0函数图形的凸区间为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 f(x)=3 ax 2+2x，f(0)=0，f(一 1)=3a 一 2=0，从而 于是f(x)=2x2+2x,f(x)=4x+2令 f(x)=0，得 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下：由此可知，f(x)在(一，一 1)(0，+) 内单调增加，在(一 1，0)内单调减少；极大值 f(一

19、 1)= 极小值 f(0)=2；拐点为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 首先确定 f(x)的表达式，由题设 f(x)在1 ，+) 可积，于是可设1+f(x)dx=A，代入即得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 f(x)=3x 2+6ax 一 a，当 =36a 2+12a0 时，f(x)无驻点，即 f(x)无极值点当 =36a 2+1 2a=0，即 或 a=0 时， 或 f(x)=3x2，此时所对应的函数分别为 或 f(x)=x3+c2，由此可知其无极值点当 0 时， f(x)有两个驻点，且为极值点所以当时，函数 f(x)无极值【知识模块】 微积分27 【正确答案】 f(x)=0 的点

20、及 f(x)不存在的点都可能是极值点，为此先求f(x)当 x0 时，f(x)=(x 2x)=(e2xlnx)=e2xlnx(2lnx+2)=2x2x(lnx+1)；当 x0 时，f(x)=(x+2)=1又 所以 f(x)在点 x=0 处不连续，从而不可导，于是 令 f(x)=0，得驻点 于是 x=0 和 是可能的极值点在点为 f(x)的极小值点，极小值为 在点 x=0 处：由于当 x0 时 f(x)=10，所以 f(x)单调增加，从而 f(x)f(0)=2；而当存在 0，当 0x 时故由极值的定义可知 x=0 为f(x)的极大值点，极大值为 f(0)=2【知识模块】 微积分28 【正确答案】

21、(I)当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得()由于，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点()令，于是()对 ，当 n 为 负奇数且n充分大时 xn(一 ，0)，f(x 0)0f(x) 在(一 ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0， )，f(x n)0f(x) 在(0， )不单调下降【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 ，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为初等函数，所以连续因此 f(x)在0，+) 上连续因为 x0 时 令 f(x)=0，解得驻点为 x=e因 ，故当 0x

22、e 时 f(x)0；当 xe 时 f(x)0，所以 f(x)在(0， e)上严格增加，在(e，+) 上严格减少由上述 f(x)的单调性得为极大值，无极小值由于所以 y=f(x)有水平渐近线 y=1【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设渐近线方程为 y=kx+b，则【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)由于当 x0 时分母是 x3 阶的无穷小量，而当 x0 时()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数()【知识模块】 微积分32 【正确答案】 【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 由题设 f(x)在 x=a 处 n 阶可导且

23、 知，把 f(x)在 x=a 的带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式代入即得从而f(a)=f(a)=fn(a)=f(n-1)(a)=0，f (n)(a)=n!A0设 g(x)=f(x)，由题设知 g(x)在 x=a 处n 一 1 阶可导，且 g(a)=f(n)=0，g(a)=f(a)=0 ， g(n-2)(a=f(n-1)(a)=0，g (n-1)(a)=f(n)(a)=n!A0由此可得 f(x)=g(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 n 一 1 阶泰勒公式为故 f(x)当 xa 时是 xa 的 n 一 1 阶无穷小量【知识模块】 微积分35 【正确答案】 由题设可得 f(x)在 x=a 处带皮亚诺余项的 4 阶泰勒公式为由极限的保号性质可得，存在 0 使得当 0xa 时同号，即 f(x)一 f(a)与 f(4)(a)同号故当 f(4)(a)0 时就有f(x)一 f(a)0 在 0x 一 a 中成立，即 f(a)是 f(x)的一个极小值；当 f(4)(a)【知识模块】 微积分36 【正确答案】 把函数 f(x)在 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式可得【知识模块】 微积分