[考研类试卷]考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编14及答案与解析.doc

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1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1998 年) 设函数 f(x)= 讨论函数 f(x)的间断点，其结论为( )（A）不存在间断点。（B）存在间断点 x=1。（C）存在间断点 x=0。（D）存在间断点 x=一 1。2 (2004 年) 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且 =a，g(x)= 则( )（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点。（B） x=0 必是 g(x)的第二类间断点。（C） x=0 必是 g(x)的连续点。（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关。3 (2008 年)

2、 设函数 f(x)在区间 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）跳跃间断点。（B）可去间断点。（C）无穷间断点。（D）振荡间断点。4 (2009 年) 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）无穷多个。5 (2013 年) 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。6 (2017 年) 若函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则( )（A）（B）（C） ab=0。（D）ab=2 。7 (1998 年) 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4。又 =一 1，则曲线 y=

3、f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为( )（A）（B） 0。（C）一 1。（D）一 2。8 (2000 年) 设函数 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0。 （B） f(a)=0 且 f(a)0。（C） f(a)0 且 f(a)0。（D）f(a)0 且 f(a)0。9 (2003 年) 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 g(x)=（A）在 x=0 处左极限不存在。（B）有跳跃间断点 x=0。（C）在 x=0 处右极限不存在。（D）有可去间断点 x0。10 (2006 年) 设

4、函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f“(x)0， x 为自变量 x 在x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dxy。（B） 0 ydy。（C） ydy0。（D）dyy0。11 (2006 年) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在。（B） f(0)=1 且 f-(0)存在。（C） f(0)=0 且 f+(0)存在。（D）f(0)=1 且 f+(0)存在。12 (2007 年) 设函数 f(x)在 x=0 连续，则下列命题错误的是( )13 (2011 年) 已知函数

5、 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，则（A）一 2f(0)。（B）一 f(0)。（C） f(0)。（D）0。14 (2012 年) 设函数 f(x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)=( )（A）(一 1)n-1(n 一 1)!。（B） (一 1)n(n 一 1)!。（C） (一 1)n-1n!。（D）(一 1)nn!。15 (2014 年)设函数 f(x)具有二阶导数， g(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x，则在区间0 ，1上( )（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)。（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)。

6、（C）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)。（D）当 f“(x)0 时，f(x)g(x)。二、填空题16 (2012 年) =_17 (2008 年) 设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，则 c=_。18 (2003 年) 设 f(x)= 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_。19 (2006 年) 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_。20 (2007 年) 设函数 则 y(n)(0)=_。21 (2010 年) 设可导函数 y=y(x)由方程 =0xxsint2dt 确定，则 =_22 (2011 年) 设

7、f(x)= 则 f(x)=_。23 (2012 年) 设函数 f(x)= =_。24 (2015 年) 设函数 f(x)连续， (x)= xf(t)dt，若 (1)=1，(1)=5，则 f(1)=_。25 (1998 年) 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为( n，0)，则=_。26 (2003 年) 已知曲线 y=x3 一 3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为b2=_。27 (2011 年) 曲线 =ey 在点(0，0)处的切线方程为_。28 (2013 年) 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1 ，0)处有公共切线，则=_

8、。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 (2016 年) 求极限30 (2003 年) 设 f(x)= ，试补充定义 f(1)使得 f(x)在上连续。31 (2015 年)()设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义式证明 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)； () 设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x)=u 1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式。32 (1999 年) 设函数 f(x)连续，且 0xtf(2x-t)dt= 已知 f(1)=1，求 12f(x)dx 的值。33 (1999 年) 曲线 的切线与 x 轴

9、和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何?34 (2000 年) 求函数 y= 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。35 (2007 年)设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性。36 (2005 年) 设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0。 证明：对任何 a0，1 ，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。37 (2006 年)证明：当 0a b 时，bsinb+2

10、cosb+basina+2cosa+a 。考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 现求 f(x)的( 分段)表达式：当|x|1 时，再讨论函数 f(x)的性质：在 x=一 1 处，【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g(0)=0，故当a=0 时， 即 g(x)在点 x=0 处连续；当 a0时， 即 x=0是 g(x)的第一类间断点。因此，g(x) 在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意

11、可知， 所以 x=0 是函数 g(x)的可去间断点。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(x)= 则当 x 取任何整数时，f(x)均无意义。故 f(x)的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是 xx3=0 的解，x=0 ，1。故可去间断点为 3 个，即 0，1。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 根据已知所以 x=0 是可去间断点。 所以 x=1 是可去间断点。所以 x=一 1 是第二类间断点。综上可知，函数 f(x)的可去间断点有 2 个，故应选 C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确

12、答案】 D【试题解析】 根据导数定义：所以 f(1)=一 2。 因为f(x)周期为 4，f(x)的周期也是 4，即 f(x)=f(x+4)，所以 f(5)=f(1+4)=f(1)=-2。 所以曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线的斜率为 f(5)=f(1)=一 2。选 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A：f(x)=x 2，满足 f(0)=0 且 f(0)=0，但|f(x)|=x 2 在 x=0 处可导； 选项 C：f(x)=x+1，满足 f(0)=10，f(0)=10，但|f(x)|=x+1，当 x(一 1，1)，在x=0 处可导； 选项 D：f(x)=

13、一 x 一 1，满足 f(0)=一 10，f(0)=一 10，但|f(x)|=x+1，当 x(一 1,1)，在 x=0 处可导。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 显然 x=0 为 g(x)的无定义点，且由 f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0。于是有 即 f(0)存在，故 x=0为可去间断点。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x) 0，则 f(x)严格单调增加；因为 f“(x)0，则 f(x)是凹函数，又x0，画 f(x)=x2 的图形如右图所示。 结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C

14、【试题解析】 令t=h2，则 所以 f+(0)存在，故本题选 C。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 证明 A，B，C 都正确，从而只有 D 不正确。由 存在及 f(x)在 x=0 处连续，所以所以 A 正确；由选项 A 知，f(0)=0 ，所以 存在，根据导数定义，存在，所以 C 也正确； 由 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(一 x)在 x=0 处连续，从而即有 f(0)=0。所以 B 正确，故此题选择 D。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 根据导数的定义，由于 f(x)在 x=0 处可导，因此 故选 B。【知识模块】 微积分14 【正确答案】

15、 A【试题解析】 根据导数的定义因此正确选项是 A。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D【试题解析】 令 F(x)=g(x)一 f(x)=f(0)(1 一 x)+f(1)x 一 f(x)，则 F(0)=F(1)=0，且F(x)=一 x(0)+f(1)一 f(x)，F“(x)= 一 f“(x)。若 f“(x)0，则 F“(x)0，曲线 F(x)在0 ，1上是向上凸的。又 F(0)=F(1)=0，所以当 x0，1时，F(x)0，从而 g(x)f(x)，故选 D。【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 根据对数恒等式可知，原式【知识模块】 微积分17 【正确答案】 1【

16、试题解析】 由题设知 x|x0，所以 f(x)=又因为 f(x)在(一，+)内连续，f(x)必在 x=c 处连续，所以 =f(c)，即 即得c=1。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 2【试题解析】 当 1 时，有 显然当2 时，有 =f(0)，即其导函数在 x=0 处连续。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题干知，f(x)=e f(x)，两边对 x 求导得 f”(x)=e f(x)f(x)=e2f(x)， f“(x)=2e2f(x)f(x)=2e3f(x)， 又 f(2)=1，故 f“(2)=2e3f(x)=2e3。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【

17、试题解析】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 =x0xsin2tdt，令 x=0，则 y=0。等式两端同时对 x 求导，得 =0xsint2dt+xsinx2 将 x=0，y=0 代入上式，得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 e 3x(1+3x)【试题解析】 由于 f(x)= 因此有 f(x)=e3x+x.e3x.3=e3x(1+3x)。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件有 (1)=01f(t)dt=1， (x)= f(t)dt+xf(x2).2x，(1)= 01f(t)d

18、t+f(1).2=5。故 f(1)=2。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【试题解析】 曲线 y=xn 在点(1，1)处的切线斜率 y|x=1=(xn)|x=1=nxn-1|x=1=n，根据点斜式，切线方程为 y 一 1=n(x 一 1)。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 4a 6【试题解析】 由题设，在切点处有 y=3x2 一 3a2=0，有 x02=a2。又在此点纵坐标为0，于是有 x03 一 3a2x0+b=0，故 b 2=x02(3a2 一 x02)2=a2.4a4=4a6。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 y=一 2x【试题解析】 方程两边关于 x 求导，可得 (1

19、+y)=ey.y。可得点(0，0)处的切线方程为 y=一 2x。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 一 2【试题解析】 两曲线有公共的切线，则 f(1)=1。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 【正确答案】 其中，cos2x=12 sin2x，且用到的等价无穷小替换有：x0 时【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因为【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (I)根据导数的定义有又因为函数可导必连续，故有 (x+x)=u(x)，综上所述 u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)。() 由()的结论得 f(x)=u1(x)u2(x)un(

20、x)=u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)。【知识模块】 微积分32 【正确答案】 令 u=2x-t,则 t=2x-u 所以 dt=一 du 代入 0xtf(2x-t)dt= 得0xtf(2xt)dt=一 2xx(2x 一 u)f(u)du=x2x(2x 一 u)f(u)du=2xx2xf(u)dux2xuf(u)du=将等式 2xx2xf(u)du 一 x2xuf(u)du= 两边对 x 求导得 2x2xf(u)du+2x2f(2x)一 f(x)一2xf(2x).2 一 xf(x)= 化简得 2 x2xf(u)duxf(x)=令 x=

21、1，得 212f(u)du 一 f(1)= 化简得【知识模块】 微积分33 【正确答案】 曲线由直线的点斜式方程得切线方程 分别令 x=0，y=0 得到与 y 轴,x 轴的交点分别为 与 Q(3a，0)。于是切线与 x 轴和 y 轴围成一个直角三角形，由三角形的面积公式得 当切点按 x 轴正项趋于无穷大时，这时a+，所以 当切点按 y 轴正项趋于无穷大时，这时 a0，所以【知识模块】 微积分34 【正确答案】 原函数对 x 求导，所以令 y=0，得驻点 x1=0，x 2=-1。 列表所以由上表可以得出函数的大概形状，严格单调增区间为(一，一 1)与(0，+)；严格单调减区间为(一 1，0) 。

22、f(0)= 为极小值，f(一 1)= 为极大值。以下求渐近线。通过对函数大概形状的估计，同理, 所以此函数无水平渐近线；同理，也没有垂直渐近线。令所以，有斜渐近线y=a1x+b1=e(x 一 2)及 y=a2x+b2=x 一 2，共两条。【知识模块】 微积分35 【正确答案】 对方程两边求导得再对 y表达式两边求导得 由于 y(x)的二阶导在 x=1 处是连续的，因此有 =y“(1)0，则由极限的保号性可知：存在0，当 x(1 一 ，1) (1，1+)时，y“(x) 0，可知 y=y(x)在点(1，1)附近是凸的。【知识模块】 微积分36 【正确答案】 设 F(x)=0xg(t)f(t)dt+

23、01f(t)g(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=g(x)f(x)一 f(x)g(1)=f(x)g(x)一 g(1)。 由于 x0，1 时，g(x)0，因此 g(x)一 g(1)0，又 f(x)0，故 F(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减，注意到 F(1)= 01g(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dtf(1)g(1)，=f(t)g(t)| 01 一 f(1)g(1)=0， 故 F(1)=0。因此 x0，1时，F(x)0，对任何 a0，1，都有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)dxf(a)g(1)。【知识模块】 微积分37 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+xasina 一 2cosa 一 a，(0axb)，则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+，且 f()=0。又 f“(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，(0x 时，xsinx0)，故当0axb 时，f(x)单调减少，因此 f(x)f()=0，则 f(x)单调增加，于是 f(b)f(a)=0，即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a。【知识模块】 微积分