[考研类试卷]考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷28及答案与解析.doc

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1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 ，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f(0)=0， ，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的

2、拐点3 设 f(x)，g(x)，(x)的图形分别为则曲线 y=f(x)，y=g(x) ，y=(x)中恰有两个拐点的是（A）y=f(x)（B） y=f(x)， y=g(x)（C） y=f(x)， y=(x)（D）y=f(x)，y=g(x) ，y=(x)4 曲线 的渐近线的条数为（A）1（B） 2（C） 3（D）4.5 设 f(x)在 x=x0 可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 证明当 x(-1，1) 时成立函数恒等式 arcta

3、nx=7 设 f(x)在(a ，b)内可导，证明：对于 ，x 0(a， b)且 xx0 时，f(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x 0)+f(x0)(x-x0)f(x) (*)8 求 y(x)= 的极值点、拐点、凹凸区间与渐近线9 求曲线 y=xe-x 在点 处的切线方程.10 求曲线 上点(0，0)处的切线方程.11 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=-1+xy3 在点(1，-1) 处相切，求常数 a，b12 设总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ ，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= 求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性13 设某产品的需

4、求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P0，对应的需求量为 Q0 时，边际收益 R(Q0)=2，而 R(P0)=-150，需求对价格的弹性 EP 满足E P= 求 P0 和 Q014 设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性() 设 R 为总收益函数，证明 ()求 p=6 时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义15 在椭圆 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积16 求 f(x)= 在(0，+)内的最大、最小值.17 求 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式18 求 带皮亚诺余项的麦克劳林公式19 求 arctanx 带皮亚诺

5、余项的 5 阶麦克劳林公式20 求极限21 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)= 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量22 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 ，求 f(0)，f(0)，f (n)(0)23 设 0x24 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)a，f(1)a，f(x)b，其中 a，b为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有25 设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0， =-1证明：考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析

6、】 本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点由可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内；由于 1-cosx0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当x0 时 f(x)0=f(0) ，可见 x=0 不是极值点，故选 (C)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 又 f(x)在x=0 的某邻域内有二阶连续导数，所以 f(0)=0，但不能确定点(0，f(0)为曲线y=f(x)的拐点由 ，根据极限的保号性可知，在 x=0 的某邻域内必有 ，即 f(x)0，从而 f(x)

7、在该邻域内单调增加又因 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 两侧变号，且在 x=0 的空心邻域内，当 x0 时 f(x)f(0)=0，当x0 时 f(x)f(0)=0 ，由极值第一充分条件可知，x=0 为 f(x)的极小值点即 f(0)是 f(x)的极小值，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 (1)由 f(x)的图形可知，在 (x0，x 1)上为凸弧，(x 1，x 2)上为凹弧，(x2，+) 为凸弧，故 (x1，f(x 1)，(x 2，f(x 2)是 y=f(x)的两个拐点又因 f(x)在点x=x0 处不连续，所以点(x 0，f(x 0)不是拐点(拐点定

8、义要求函数在该点处连续) (2)由 g(x)的图形可知，在 x=x1 和 x=x2 处有 g(x)=0，且在 x=x1，x=x 2 的左右两侧二阶导数异号，故有两个拐点(x 1，g(x 1)与(x 2，g(xv)由于在 x0 处 g(x)不连续，且在 x0 附近，当 xx 0 和 xx 0 时均有 g(x)0，故点(x 0，g(x 0)不是拐点因此g(x)只有两个拐点(3)由 (x)的图形可知，在点 x=x0 与 x=x2 处 (x)的二阶导数等于零，且二阶导数在其左右异号，故点(x 0，(x 0)与(x 2，(x 2)为拐点因为点 x1 的附近二阶导数均为正，故点(x 1，(x 1)不是拐点

9、综上所述，曲线 y=f(x)，y=g(x)，y=(x) 均有两个拐点故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 先考察垂直渐近线间断点为 x=0 与 x=1因 ，所以 x=0x=1 分别是该曲线的垂直渐近线再考察水平渐近线由于所以沿 x+方向无水平渐近线又所以沿 x+方向有水平渐近线 y=0最后考察斜渐近线由于所以沿 x+方向有一条斜渐近线 y=x因沿 x-方向有水平渐近线，当然就没有斜近线，所以共有 4 条，故选(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f(x)在 x0 可导 存在因f(x)在 x=x0 处的右导数与左导数分别是由

10、可导的充要条件知f(x 0)= f(x 0) f(x 0)=0，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(-1，1)时成立，只需证明：1f(x)，g(x)在(-1 ，1)可导且当 x(-1，1)时 f(x)=g(x)； 2 存在 x0(-1，1) 使得 f(x0)=g(x0) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(-1，1)内可导，计算可得 即当 x(-1，1) 时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(-1，1)时 f(x)=

11、g(x)，即恒等式成立【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 充分性：设(*)成立， ，x 2(a， b)且 x1x 2，则 f(x 2)f(x 1)+f(x1)(x2-x1)，f(x 1)f(x 2)+f(x2)(x1-x2) 两式相加可得f(x 1)-f(x2)(x2-x1)0，于是由 x1x 2 知 f(x1)f(x 2)，即 f(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于 ，x 0(a， b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)-f(x0)+f(x0)(x-x0)=f()-f(x0)(x-x0) 0，其中 在 x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模

12、块】 一元函数微分学8 【正确答案】 () 先求驻点与不可导点由当 xx 1 时y 0， y=y(x)为增函数；当 x1x1 时 y0，y=y(x)为减函数；当 x=1 时函数无定义 y=y(x)不可导；当 1xx 2 时 y0，y=y(x)为减函数；当 xx 2 时y 0， y=y(x)为增函数于是 x=x1 为极大值点，x=x 2 为极小值点，x=1 为不可导点 ( )再考虑凹凸区间与拐点由 令 y=0，解得 3= ；在x=1 处 y不存在当 x1 时y 0， y=y(x)图形为凹；当 x1 时 y(x)0，y=y(x)图形为凹，于是 y=y(x)图形的拐点为 ()最后考察渐近线由于因此

13、x=1 为曲线 y=y(x)的垂直渐近线又，因此无水平渐近线由可知曲线 y=y(x)有斜渐近线 y=x+1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 因为 y=(1-x)e-x，于是 y(1)=0从而曲线 y=xe-x 在点处的切线方程是【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 因 y(0)= ，于是曲线在点(0，0)处的切线方程是 y=2x【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 曲线 y=x2+ax+b 在点(1，-1)处切线的斜率为 y=(x 2+ax+b) x=1=2+a 将方程 2y=-1+xy3 对 x 求导得 2y=y3+3xy2y由此知，该曲线在点(1，-1)处的

14、斜率 y(1)满足 2y(1)=(-1)3+3y(1)，解出得 y(1)=1因这两条曲线在点(1，-1)处相切，所以在该点它们切线的斜率相同，即 2+a=1，即 a=-1又曲线y=x2+ax+b 过点(1，-1)，所以 1+a+b=-1，即 b=-2-a=-1因此 a=-1，b=-1【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 由边际成本的定义知，边际成本 MC=C(x)=3+x又因总收益函数 R=Px= 从而边际利润 ML=MR-MC= -x-3由于函数 ，由此可得收益对价格的弹性【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 因需求函数 Q=Q(P)单调减少，故需求对价格的弹性 EP0，

15、且反函数 P=P(Q)存在由题设知 Q0=Q(P0)，P 0=P(Q0)，且 把它们代入分析中所得的关系式就有【试题解析】 为了解决本题，必须建立 R(Q)，R(P)与 EP 之间的关系因R=PQ=PQ(P)，于是 R(P)=Q(P)+ =Q(1+EP)设 P=P(Q)是需求函数 Q=Q(P)的反函数，则 R=PQ=QP(Q)，于是【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 () R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导得经济意义：当价格 p=6 时若价格上涨 1则总收益将增加 054【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面

16、积为 下面求 S(x)在0，a 上的最大值先求S(x)： 令 S(x)=0 解得，所以 S(x)在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为 2ab【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由 解得唯一驻点x0=e-2(0，+) 当 x(0，e -2)时 f(x)0，f(x) 单调减少；当 x(e-2，+)时 f(x)0，f(x)单调增加，于是 x0=e-2 为 f(x)的极小值点另一方面，由可知 f(x)在(0，+)内的最小值为 f(e-2)=-2e-1，无最大值【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 把 t=-x2 代入 et= (t

17、0)即得【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由于(arctanx)= =1-x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 不难看出当1-a-b=0 与 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a=，f(x)是 x 的 5 阶无穷小量(x0)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 1)先转化已知条件由再用当 x0 时的等价无穷小替换ln1+f(x)-f(x)，可得 2)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 xno(1

18、)=o(xn)可得 f(x)=4xn+o(x)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n-1)(0)=0， =4，故 f(n)(0)=4n!【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： (0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ f()(x-c)2， (*)其中 =c+(x-c)，01在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(-c)+ f(1)c2，0 1c1；在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+

19、f(2)(1-c)2，0c 21上面两式相减得 f(1)-f(0)=f(c)+ f(2)(1-c)2-f(1)c2从而 f(c)=f(1)-f(0)+ f(1)c2-f(2)(1-c)2，两端取绝对值并放大即得 其中利用了对任何 c(0，1) 有(1-c) 21-c，c 2c，于是(1-c) 2+c21.【试题解析】 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本题涉及证明f(c)2a+ ，自然联想到将 f(x)在点x=c 处展开【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 将 f(x)在 x0= 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有在上式中分别令 x=0，x=1，并利用八 f(0)=f(1)=0 即得将式与式相加消去未知的一阶导数值【试题解析】 为了得到 f(x)的估值可以利用泰勒公式找出它与 f(0)，f(1) 及minf(x)之间的关系 .由于题设条件中给出了 f(0)与 f(1)的函数值，又涉及二阶导数f(x)，因此可考虑利用 f(0)和 f(1)在展开点 x0= 处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式【知识模块】 一元函数微分学