[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷445及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 445 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）=cosx+xsinx 在（2 ，2）内零点的个数为（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 设 m 与 n 是正整数，则 01xm（lnx） ndx=3 设 f（ x）在a，b上可导，f（x）+f（x） 2 一 axf（t ）dt=0，且 ab（t）dt=0，则ax（ t）dt 在（a，b）内必定（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）变号4 设 D 是以点 A（1，1），B（1，1），C（1，1）为顶点的三角形区域，则（A）2（B） 5（C） 8（

2、D）65 设 1， 2， 3 为 3 个 n 维向量，AX=0 是 n 元齐次方程组。则（ ）正确（A）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且线性无关，则 1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系（B）如果 1， 2， 3 都是 AX=0 的解，并且 r(A)=n3，则 1， 2， 3 为 AX=0的一个基础解系（C）如果 1， 2， 3 等价于 AX=0 的一个基础解系，则它也是 AX=0 的基础解系（D）如果 r(A)=n3，并且 AX=0 每个解都可以用 1， 2， 3 线性表示，则1， 2， 3 为 AX=0 的一个基础解系6 下列矩阵中不相似于对角矩阵的是7 在考核中，

3、若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次，设事件 A=“考核合格 ”，B=“ 最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为 p（0p1），则（A）AB 与 C 独立（B） BC 与 A 独立（C） AC 与 B 独立（D）A，B，C 相互独立8 设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4 相互独立且都服从标准正态分布 N（0，1），已知对给定的 （01），数 y满足 PYy =a，则有（A）y y1=1（B） y =1（C） y1=1（D）二、填空题9 曲线 的斜渐近线方程为_10 设函数 f（x）= 则 f（10） （1）=_ 11 设 f（x）= ，g（x）在

4、x=0 连续且满足 g（x）=1+2x+o （x）（x0）又 F（x）=fg（x） ，则 F（0）=_12 已知当 x0 与 y0 时 ，则函数 f（x，y）在点（x，y）=（1，1）处的全微分 df|（1，1） =_13 已知 B= ，矩阵 A 相似于 BA *为 A 的伴随矩阵，则|A+3E|=_14 设试验的成功率 p=20，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 次和 32 次之间的概率 =_（1）=08413， （3）=09987 ）三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 抛物线 y=x2 上任意点（a ，a 2）（a0）处引切线 L1，在另

5、一点处引另一切线L2，L 2 与 L1 垂直 （）求 L1 与 L2 交点的横坐标 x1； （）求 L1，L 2 与抛物线 y=x2 所围图形的面积 S（a）； （）问 a0 取何值时 S（a）取最小值16 （）求积分 f（t）= （）证明 f（t）在（一，+）连续，在 t=0 不可导17 设某企业生产一种产品，其成本 C（Q）= Q3 一 16Q2+100Q+1000平均收益（Q）=a bQ（a0，0b24），当边际收益 MR=44，需求价格弹性 Ep=时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值18 计算二重积分 其中 D 是由 x2+y2=1 的上半圆与 x2+y2

6、=2y 的下半圆围成的区域19 设数列a n，b n满足 an（n=1，2， 3，），求证：（）若an0，则 bn0；（）若 an0（n=1，2，3， ） an 收敛，则 收敛.20 设 1=（1，3，5，1） T， 2=（2，7，a，4） T， 3=（5，17，1，7） T 若 1， 2， 3 线性相关，求 a 当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量4 设 a=3， 4 是与 1， 2， 3 都正交的非零向量，证明 1， 2， 3， 4 可表示任何一个 4 维向量21 已知三元二次型 xTAx 的平方项系数都为 0，=（1，2，1） T 满足 A=2 求 xTAx 的表达式

7、求作正交变换 x=Qy，把 xTAx 化为标准二次型。22 设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球，每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求： （）这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3； （）这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn.23 设二维连续型随机变量（X，Y）服从区域 D 上的均匀分布，其中D=（x，y）10yx2 y试求：（）X+Y 的概率密度；（）X 的边缘概率密度；（）PY0 2|X=1 5考研数学（数学三）模拟试卷 445 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D

8、【试题解析】 f(x)为偶函数，f(0)=1 ，故只需讨论（0，2）内零点的个数由此可知，f(x)在 无零点f(x)在 均单调且端点函数值异号，因而各有唯一零点，所以 f(x)在 2，2内共有 4 个零点2 【正确答案】 B【试题解析】 用分部积分法计算这里积分下限 0 是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限继续进行分部积分可得故应选(B)3 【正确答案】 C【试题解析】 设 F(x)=ax(t）dt，若 F(x)在（a，b）内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故 F(x)在（a，b）内存在最大值且为正，从而知 F(x)必在（a，b ）内存在正的极大值，记该极大值点为 x0，于是 F（x

9、 0）=0，F(x 0)0即 f(x0）=0 ， ax0f(t)dt0，代入原方程，得 F“（x 0）= ax0f(t)dt0，这表明 F(x0)应是极小值，导致矛盾同理可知 F(x)在（a， b）内也不可能取到负值，故选(C)4 【正确答案】 C【试题解析】 D 如图所示，连 将 D 分成 D=D1D2，D 1，D 2 分别关于 x，y 轴对称，选(C)5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 缺少 nr(A)=3 的条件 (B) 缺少 1， 2， 3 线性无关的条件 (C)例如 1， 2 是基础解系 1+2=3，则 1， 2， 3 和 1， 2 等价，但是1， 2， 3 不是基础解系 要说

10、明(D)的正确性，就要证明 1， 2， 3 都是 AX=0的解，并且线性无关方法如下： 设 1， 2， 3 是 AX =0 的一个基础解系，则由条件， 1， 2， 3 可以用 1， 2， 3 线性表示，于是 3r（ 1， 2， 3）=r（ 1， 2， 3， 1， 2， 3）r （ 1， 2， 3）=3， 则 r （ 1， 2， 3)=r（ 1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3， 于是 1， 2， 3 线性无关，并且和 1， 2， 3 等价，从而都是 AX=0 的解6 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 矩阵的 3 个特征值两两不同，(D)是实对称矩阵，因此它们都相似于

11、对角矩阵(C)矩阵的秩为 1，它的特征值都为 0，其重数 3 3 一(C) 矩阵的秩，因此(C)不相似于对角矩阵(B)矩阵的秩也为 1，它的特征值为 0，0，6，0 的重数 2=3(B)矩阵的秩，因此相似于对角矩阵7 【正确答案】 A【试题解析】 依题意 A 与 B 为对立事件，因此 AB= ，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A)若进一步分析， P(ABC)=0，而 P(A)，P(B)，P(C) ， P(AC)，P(BC)均不为 0，因此(B) 、(C) 、(D)均不正确8 【正确答案】 A【试题解析】 依题意可知，X 12+X22 与 X32+X42 相互独立且都服从自由度

12、为 2 的 2分布，因此 Y= 因为 PYy =，即 y=F(2，2)，又 1= 1PY y = PY y = PY y = 而 F(2，2)，所以 1= 由 =PYy 可知 y1= ，即 Yy1=1故应选(A) 二、填空题9 【正确答案】 y=x 【试题解析】 因为因此斜渐近线方程为 y=x10 【正确答案】 10!2 10【试题解析】 f（10） (1)= 210(一 31)=10!21011 【正确答案】 4e 【试题解析】 由 g（x）在点 x=0 处连续及 g（x）=1+2x+o(x) （x0）由复合函数求导法及变限积分求导法12 【正确答案】 【试题解析】 由于从而当x0y0 时

13、f(x，y)= （e x+lny）求全微分可得令 x=1，y=1就有13 【正确答案】 27【试题解析】 A 相似于 B，则 A*+3E 相似于 B*+3E，于是|A *+3E|=|B*+3E|B 的特征值为 2，2，3，|B|=12，于是 B*的特征值为6， 6，4，B *+3E 的特征值为3，9，一 1，|B *+3E|=2714 【正确答案】 084【试题解析】 以 X 表示“100 次独立重复试验成功的次数 ”，则 X 服从参数为n=100，p=0 20 的二项分布，且 EX=np=20， 根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理可知随机变量 近似服从分布 N(0，1) ，于是(3)一 （1）

14、=(3)1(1)=09987 01587=084，其中 (u)是标准正态分布函数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 抛物线 y=x2 在点（a，a 2）处的切线为 L1:y=a2+2a（x 一 a），即 y=2ax a2另一点(b，b 2)处的切线为 L2：y=b 2+2b（x 一 b），即 y=2bxb2由 L1 与 L2 垂直 它们的交点（x i，y 1）满足 2ax1 a2= 2bx1 b2，x 1= 于是 x 1= ()L 1，L 2 与 y=x2 所围图形的面积由 x1 的表达式知，x1b=ax1 ()求导解最值问题，由16 【正确答案】 ()

15、()t0 时 f(t）与初等函数相同，故连续，又故 f(t)在 t=0 也连续因此 f(x）在（一，+）连续17 【正确答案】 收益函数 当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即 MR=MC 又 MR =R=a bQ，于是 44=C(Q)=2Q232Q+100，即 Q 2 一 16Q+28=0解得 Q 1=14， Q 2=2当Q=2 时，得 b=38，不满足 0b24 的条件，故舍去所以当产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值18 【正确答案】 因区域 D 关于 y 轴对称， 为偶函数，对 D1，D 2 引入极坐标19 【正确答案】 () 由 an0 证 bn0 1+a n证明数列

16、不等式转化为证明函数不等式 ex 1+x ，（x0）令 f（x）e x（1+x），则f（x）=e x1 0（x0）又由 f(x)在0 ，+）连续 f（x）在0，+ ）单调上升 f（ x）f(0)=0（x0） 一 an1，即 bn0()设 an0， ean 一 an）=1为证 与 an 的关系20 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关，则 r（ 1， 2， 3）3( 1， 2， 3)=得 a=3 与 1， 2， 3都正交的非零向量即齐次方程组 的非零解，解此方程组：解得 4=c（19，6，0，1） T，c0 只用证明 1， 2， 3， 4 线性无关，此时对任何 4 维向量 ，有 1， 2， 3

17、， 4， 线性相关，从而 可以用 1， 2， 3， 4线性表示方法一 由知， a=3 时， 1， 2， 3 线性无关，只用证明 4 不能用1， 2， 3 线性表示用反证法，如果 4 能用 1， 2， 3 线性表示，设(4=c11+c22+c33，则( 4， 4)=(4，c 11+c22+c33)=c1(4， 1)+c2(4， 2)+c3(4， 3)=0得 4=0，与 4 是非零向量矛盾方法二 计算行列式| 1， 2， 3， 4| 于是 1， 2， 3， 4线性无关21 【正确答案】 设 则条件 A=2 即得 2ab=2，ac=4 ，b+2c=2，解出 a=b=2，c=2此二次型为 4x1x2+

18、4x1x3 4x2x3 先求 A 特征值于是 A 的特征值就是 2，2，4再求单位正交特征向量组属于 2 的特征向量是（A 2E）x=0 的非零解得（A 2E）x=0 的同解方程组：x 1x2x3=0显然 1=(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为 2=（1，1，c） T（这样的设定保证了两个解是正交的！），代入方程得 c=2，得到属于特征值 2 的两个正交的特征向量 1， 2再把它们单位化：记 1=1/ |1|= 1， 2=2/|2|= 属于4 的特征向量是(A+4E)x=0 的非零解，求出 3=（1，1，1） T 是一个解，单位化：记 3=3/|3|= 3则 3， 2， 3 是 A 的

19、单位正交特征向量组，特征值依次为 2，2，4作正交矩阵 Q=（ 3， 2， 3），则 Q1AQ 是对角矩阵，对角线上的元素为 2，2，4作正交变换 x= Qy，它把 f(x1，x 2，x 3)化为 2y12+2y224y3222 【正确答案】 () 不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立，三次取球交换可以看成三次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到 0 次或 2 次的概率，因此所求概率为 p3=C30(01) 0(09) 3+C32(01)209=0756 ( )根据()的分析，当交换了 n

20、次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为【试题解析】 本题可以用全概率公式求解，但比较麻烦，而用伯努利概型比较方便23 【正确答案】 () 如图，区域 D 即 AOB 的面积 Sd=1，因此(X ，Y)的概率密度为 X+Y 的分布函数记为 F(z)，则当 z0 时，F(x)=0；当 z2 时， F(z)=1；当 0z2 时，于是 X+Y 的概率密度 f(x）为或者直接用随机变量和的卷积公式求 X+Y 的概率密度由于 f（x，z x）只有在 0zxx2（zx）时才不为 0，即只有当0 xz2 时，()当X=15 时 fX(i5)=05，条件密度 故 PY02|X=15 =002 fY|X(y|15)dy = 002 2dy = 04