[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷389及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 389 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 为有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内满足：0，则( )（A）f(x，y)在 D 取到最小值和最大值（B） f(x，y)在 D 内取到最小值但取不到最大值（C） f(x，y)在 D 内取到最大值但取不到最小值（D）f(x，y)在 D 内既取不到最大值又取不到最小值2 当 x0 时，f(lnx)= ，则 xf(x)dx 为( )（A）（B）（C）（D）3 设 f(xz)= tln(1+u2)du，g(x)= (1 一 cost)dt，则当 x

2、0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）低阶无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价的无穷小，4 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）连续、可偏导但不可微（D）可微5 设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( ) （A）若 AX=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解（B）若 AX=0 有非零解 9 则 AX=b 有无数个解（C）若 r(A)=n，则 AX=b 有唯一解（D）若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解6 设 A 为三阶矩阵，特征值为 1=2=1， 3=2，其对应的线性无关的特征向量为a1，a 2

3、，a 3，令 P1=(a1 一 a3，a 2+a3，) ，则 A*P1=( )（A）（B）（C）（D）7 设随机变量 XN(， 2)，其分布函数为 F(x)，又 Y=F(X)，则 PY 等于( ) （A） 1（B）（C）（D）8 设 X1，X 2，X 16 为正态总体 XN( ，4)的简单随机样本，设H0：=0，H 1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为( )（A）2(1)1（B） 22(1)（C） 2( )l（D）22( )二、填空题9 设 f(x)= ，在 x=0 处连续，则 a=_10 _11 设 y=y(x)由 确定，则 =_12 微分方程 xy= +y 的通解为_13 设 A

4、为三阶实对称矩阵， 1= 为方程组 AX=0 的解， 2= 方程组(2EA)X=0 的一个解，E+A=0，则 A=_.14 设 X1，X 2，X m 与 Y1，Y 2，Y n 分别为来自相互独立的标准正态总体 X与 Y 的简单随机样本，令 Z= (Xi 一 )2+ (Yi )2，则 D(z)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)二阶可导，且 f(0)=0，令 g(x)= ()确定 a 的取值，使得g(x)为连续函数； ()求 g(x)并讨论函数 g(x)的连续性16 设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 q1(吨)与 q2(吨)时，总收入函数为

5、 R(q1，q 2)=15q1+34q2 一 一 2q1q236(万元) ，设生产 1 吨甲产品要支付排污费 1 万元，生产 1 吨乙产品要支付排污费 2 万元 ()如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少? ()当排污费总量为 6 万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?17 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(0ab ).证明：存 ， (a，b)，使得18 设 f(x)为二阶连续可导，且 ，证明级数 绝对收敛19 设 u=f( )二阶连续可导，又 ，求 f(x)20 设 A 是 n 阶矩阵，证明： (I)r(A)=1 的充分必要

6、条件是存在 n 阶非零列向量a，使得 A=aT； ()r(A)=1 且 tr(A)0，证明 A 可相似对角化21 设 A 是三阶矩阵，a 1，a 2，a 3 为三维列向量且 a10，若Aa1=a1，Aa 1=a1+a2，Aa 3=a2+a3 ()证明：向量组 a1，a 2，a 3 线性无关 ()证明：A 不可相似对角化22 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 对 X 作两次独立观察，设两次的观察值为 X1，X 2，令 (I)求常数口及PX10，X 21)；() 求(y 1，y 2)的联合分布23 设总体 X 的密度函数为 其中 0 为未知参数，(X 1，X 2，X n)为来自总体 X 的

7、简单随机样本，求参数 的矩估计量和极大似然估计量考研数学（数学三）模拟试卷 389 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对区域 D 内任意一点(x，y)，A= ，B= ，C= ，因为ACB2=一( )2 一( )22 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(1nx)= 得 f(x)= ， 则 xf(x)dx= xdf(x)=xf(x)f(x)dx = 选(C)3 【正确答案】 B【试题解析】 由得f(x) x5； 得g(x) x6则 f(x)是 g(x)的低阶无穷小，选(B)4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0f(x，y

8、)一 0= ，所以 f(x，y)=0=f(0 ，0)，故 f(x，y)在(0，0)处连续 =0，所以 (0，0)=0，同理 (0，0)=0，即 f(x，y)在(0， 0)处可偏导.z 一 dz=f(x，y)=，令 = ，因为 不存在，所以 f(x，y)在(0， 0)处不可微，选 (C).5 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)=r( )=m，于是若 r(A)=m，则 AX=b 一定有解，选(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 A*的特征值为 2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为a1，a 2，a 3， 令 P=(a1，a 2，a 3)，则 p1 A*P= ，

9、 由 P1=P 得选(A)7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 F(x)=( )，于是 Y=F(X)=( )，Y =( ) )等价于 0，即X，故 PY )=PX= ，选(B)8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 2=4 已知，所以取检验统计量 N(0 ，1)，犯第一类错误的概率为 P =0=P 2 1)=1 一 P2 1)=1(1)+(1)=22(1)，选(B).二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a= . 10 【正确答案】 【试题解析】 而d(1 一 x2+y2) 所以11 【正确答案】 【试题解析】 当

10、 t=0 时，x=1.y= ln(1+u)du=uln(1+u)=2ln21 ，e xsintx+1=0 两边对 t 求导，得exsin. +excost =0，于是 =e；y= ln(1+u)du 两边对 t 求导，得=1n(t+2)，于是 =ln2故 12 【正确答案】 arcsin =lnx+C【试题解析】 由 xy= +y，得 y= ，令 =u，则 u+x =u+，解得 arcsinu=1nx+C，则原方程通解为 arcsin =1nx+C13 【正确答案】 【试题解析】 显然 1= 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以 =k2 一 2k

11、+1=0，解得 k=1，于是 1=， 2= 又因为E+A=0，所以 =一 1 为 A 的特征值，令 3=一 1 对应的特征向量为 3= ，由 得 3= .令 P=，得 A= .14 【正确答案】 2(m+n 2)【试题解析】 令 ，则(m-1) =(Xi 一 )2 2(m 一 1)，(n1) = 2(n 一 1)，因为 X 与 y 相互独立，所以(Xi 一 )2 与 相互独立，于是 D(z)一 2(m 一 1)+2(n 一 1)=2(m+n 一2)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () ，当 a=f(0)时，g(x)在 x=0 处连续.( )当 x0时，g(

12、x)= ，当 x=0 时 g(0)=于是 g(x)= 因为16 【正确答案】 () 利润函数为 L(q1，q 2)=R(q1，q 2)一 q12q2=14q1+32q2一 2q1q2 一 36令 得 q1=4，q 2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当 q1=4，q 2=3 时 L(q1，q 2)达到最大，最大值为 L(4，3)=40(万).()令 F(q1，q 2，)=L(q 1，q 2)+(q1+2q26)，令得 q1=2，q 2=2，于是在 q1+2q2=6 下，当q1=2， q2=2 时， L(q1，q 2)取到最大值，最大值为 L(2，2)=28(万)17 【正确答案】

13、令 g(x)=cosx，g(x)=sinx0(axb)， 由柯西中值定理，存在(a， b)，使得 ； 令 h(x)=sinx， h(x)=cosx0(axb)， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 从而(sinbsina)， 于是， 故18 【正确答案】 由 =2 得 f(0)=1，由洛必达法则得，于是有 f(0)=0，再由因为 f(x)二阶连续可导，所以有 f(x)=f(0)+f(0)x+ x2+o(x2)，即 f(x)=1+ x2+o(x2)，于是 因为，而 收敛，所以 收敛，即级数 绝对收敛.19 【正确答案】 由 =2 得 f(1)=0，f(1)=2 ，令 =r 则 ， 同理 由

14、=0 得(r)+ ，解得 rf(r)=C1，由 f(1)=2 得C1=2，于是 f(r)= ，f(r)=lnr 2+C2，由 f(1)=0 得 C2=0，所以 f(x)=lnx2.20 【正确答案】 (I)若 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例，即于是 A= (b1，b 2，b n)，令a= ，显然 a， 都不是零向量且 A=aT；反之，若 A=aT，其中A， 都是 n 维非零列向量，则 r(A)=r(aT)r(a)=1，又因为 a， 为非零列向量，所以 A 为非零矩阵，从而 r(A)1，于是 r(A)=1()因为 r(A)=1，所以存在非零列向量 a，J=，使得 A=a

15、T，显然 tr(A)=(a，) ，因为 tr(A)0，所以(a，)=k0 令AX=X，因为 A2=kA，所以 2X=kX，或( 2 一 k)X=0，注意到 X0，所以矩阵A 的特征值为 =0或 =k因为 1+2+ n=tr(A)=k，所以 1=k， 2=3= n=0，由 r(OEA)=r(A)=1，得 A 一定可以对角化21 【正确答案】 (I)由 Aa1=a1 得(A E)a1=0， 由 Aa2 一 a1+a2 得(A E)a2=a1，由Aa36=a2+a3 得(AE)a 3=a2令 k 1a1+k2a2+k3a3=0， 1)两边左乘以(A E)得k2a1+k3a2=0，两边再左乘(AE)

16、得 k3a1=0，由 a10得 k3=0，代人 2)得 k2a1=0，则k2=0，再代人 1)得 k1a1=0，从而 k1=0，于是 a1，a 2，a 3 线性无关()令P=(a1，a 2，a 3)，由(Aa 1，Aa 2，Aa 3)=(a1，a 1+a2，a 2+a3)得 AP=P ，从而由E 一 A=E 一 B一( 一 1)3=0 得 A 的特征值为 1=2=3=1，E B= ，因为 r(EB)=2，所以 B 只有一个线性无关的特征向量，即 B 不可相似对角化，而 AB，故 A 不可相似对角化22 【正确答案】 (I)由 1= ，得 a= ，因为 X1，X 2 相互独立，所以 Px10，X

17、 21一 PX10PX 21，注意到 f(x)为偶函数，所以PX10= ，于是 PX10，X 21)= pX21)=()(Y 1，Y 2)可能的取值为(0，0)，(0 ，1)，(1，0)，(1，1)PY 1=0，Y 2=0=PX11，X 21=PX 11PX 21=， PY 1=0，Y 2=1=PX11，X 21=PX 11)PX 21) =*1556arctane(1 arctahe)=PY1=1，Y 2=0， PY 1=1，Y 2=1)=PX11，X 11=PX11PX21)= 23 【正确答案】 E(X)=0，令 E(X2)= ，则参数 的矩估计量为 似然函数 L()=f(x1；)f(x2；)f(x n；)一 ， 令 lnL(0)=一，得 ，则参数 的极大似然估计量为 =