[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷397及答案与解析.doc
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1、考研数学(数学一)模拟试卷 397 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 ( )。(A)(B)(C) 1(D)12 设 ,则 fx(2,2)( )。(A)1(B) 2(C) 3(D)43 直线 ( )。(A)异面(B)相交一点(C)平行但不重合(D)重合4 若视为曲面 x2y 2z 2a 2(y0,z0)的上侧,则当 f(x,y,z)为下述选项中的函数( ),曲线积分 。(A)e xsinz(B) x3y2(C) xycos(1z 2)(D)x 4y45 已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。(A) 1 2,
2、2 3, 3 4, 4 1(B) 1 2, 12 3, 1 2 3,5 2 3(C) 1 2 3, 1 2 3, 13 29 3(D) 1 3, 22 3 4, 12 3 4, 23 32 46 设 A,B 均为 n 阶实对称矩阵,则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )。(A)A,B 的秩相等(B) A,B 的全部特征值相同(C) A,B 的行列式相等(D)A,B 的二次型具有相同的标准形7 设 A,B 为随机事件满足条件 1P(A)0, 1P(B) 0, 且 P(AB)0,则成立( )。8 设有随机变量 X,已知 E(X) ,D(X) 2,则对常数 C(C)必有( )。(A)E(X C)
3、2E(X 2)E(C 2)(B) E(XC) 2E(X ) 2(C) E(XC) 2E(X ) 2(D)E(X C)2E(X ) 2二、填空题9 设 若 f(x)在点 x0 处可导,则a, b。10 若 2f(x)sin 3x2sin 2x0f(x)dxsinx 0f(x)dx,则 0f(x)dx。11 设 ,其中 f(,) 是连续函数,则dz。12 ,其中 L 为 x22y 21 的正向。13 A 是 n 阶矩阵,AXb 有唯一解,则二次型 f(x1,x 2,x n)X T(ATA)X 的正惯性指数 p。14 设随机变量 X1,X 2,X 3,X 4 相互独立,且都服从正态分布 N(0, 2
4、),如果二阶行列式 Y ,则 2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在a,b上连续,在(a,b) 内有二阶导数 f“(x),又设连接点 A(a,f(a)及点 B(b,f(b)的线段与 f(x)的图形有交点 P,而 P 点异于 A,B 两点,证明存在点 c(a,b),使得 f“(c)0。16 求 ,a 为任意正实数。17 求由方程 2x22y 2z 28xz z80 所确定的隐函数 zz(x ,y)的极值。18 计算 x2ydx(x 2y 2)dy(xyz)dz,其中 L 为 x2y 2z 211, zx 2y 21 的交线,从 z 轴正向往负向看,L 是逆时针
5、的。19 求微分方程 y“aye bx(a,b 为实常数,且 a0,b0)的通解。20 如果 A 是一个 r 行 n 列的其秩为 r 的矩阵,A 的所有行向量形成一个齐次线性方程组的基础解系,而 B 是一个任意 r 阶可逆矩阵,则矩阵 BA 的所有行向量也形成该齐次线性方程组的基础解系。21 用非退化(可逆) 的线性变换化二次型 f(x 1,x 2,x 3)4x 1x22x 1x32x 2x3 为标准形,并求此非退化的线性变换。22 测量某物体高度时,测量误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,5 2),即 X 的概率密度为 , x ,求测量误差的绝对值X的数学期望与方差。23 设 X1,X
6、2,X 10 是取自正态总体分布 N(, 2)的简单随机样本, 是样本均值,记 已知 P(Ta)005,求 a 的值。考研数学(数学一)模拟试卷 397 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 注意 求参数方程 xx(t),yy(t) 二阶导数的公式是:不要将二阶导数求错!常出现的错误的做法是其原因是忘记了t 是中间变量,x 才是自变量。2 【正确答案】 D【试题解析】 解 因 f(x,2)x 2,故 fx(2,2)(x 2) x2 4,仅(D) 入选。 注意 如不先将 y2 代入 f(x,y) 中化简其表示式而是直接对 x 求
7、偏导,那就麻烦多了!3 【正确答案】 B【试题解析】 解 易求得 L1 与 L2 的方向向量,由知,它们的方向向量分别为 n 1(2,1,1),n 2(2,1,3)。因它们不成比例,故它们不平行,排除(C) 和(D) 。 为考察 L1 与 L2 是否有交点,只需考察由方程组与方程组组成的联立方程组是否有公共解,为此解方程组故其交点为 x0,y32,z12,排除(A) ,仅(B)入选。4 【正确答案】 D【试题解析】 解 因积分曲面关于坐标平面 yOz 对称,而 f(x,y,z)x 4y4 关于 x为偶函数,则 ,仅(D)入选。5 【正确答案】 D【试题解析】 解 因为 ( 1 2)( 2 3)
8、( 3 4)( 4 1)0,所以向量组(A)线性相关。 若令 1 1 2, 2 12 3, 3 1 2 3, 45 2 3。则1, 2, 3, 4 可由 1, 2, 3 线性表示,即多数向量可由少数向量线性表示。因此 1, 2, 3, 4 线性相关,即向量组(B)线性相关。 关于(C),由 1, 2, 3, 4线性无关知, 1, 2, 3 线性无关,若令 1 1 2 3, 2 1 2 3, 3 13 29 3,则 1, 2, 3 1, 2, 3 。因为是范德蒙行列式,不为 0,所以 r( 1, 2, 3)r( 1, 2, 3)3,即向量组(C) 线性无关,故仅 (C)入选。因 1 3, 2 2
9、3 4, 12 3 4, 23 32 4 1, 2, 3, 4而右边行列式等于 0,故(D)中向量组线性相关。6 【正确答案】 D【试题解析】 解一 因实对称矩阵 A 与 B 合同的充要条件是正负惯性指数相等,表现在 A,B 的二次型的标准形相同,因而仅(D)入选。解二 仅有 A,B 的秩相等不能保证正(或负)惯性指数相等,因而(A) 不对。(B)项为 A,B 合同的充分条件,但不是 A,B 合同的必要条件。(C)项仅证明 A 和 B 的秩相等,同(A) 项一样不能证明 A 与 B 合同,仅(D)入选。7 【正确答案】 D【试题解析】 仅(D)入选。解二 由排错法求之。如(A)成立,则 P(A
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